Содержание
Задание 1
Задание 2
Список литературы
Вариант 6
Задание 1
Имеются данные, характеризующиевыручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х,млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).
Таблица 1Время, t 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Выручка, у 3,0 2,9 3,0 3,1 3,2 2,8 2,9 3,4 3,5 3,6
Объем капитало-
вложений, х 1,1 1,1 1,2 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 1,3 1,4
1. Построить поле корреляции.
2. Найти параметры уравнения линейнойрегрессии />; дать экономическуюинтерпретацию параметров а и b.
3. Составить уравнения нелинейныхрегрессий:
· гиперболической />;
· степной />;
· показательной />
4. Для каждой из моделей:
- найти коэффициент парнойкорреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);
- найти коэффициент детерминации;
- проверить значимость уравнениярегрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
- найти среднюю относительную ошибкуаппроксимации.
5. Составить сводную таблицувычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанныххарактеристик.
6. По лучшей модели составить прогнозна следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений)увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
7. Построить графики уравненийрегрессии; отметить точки прогноза.
РЕШЕНИЕ:
1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Полекорреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставленыизучаемые признаки (рис. 1).
/>
Рис. 1
Точки награфике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабойзависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.
2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙРЕГРЕССИИ />
Расчет неизвестных параметроввыполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальныхуравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.
Система нормальных уравнений имеетвид:
/>/>
/>
Необходимые расчеты представлены втаблице 2.
/> />
/>
/>
Построена линейная модель зависимостивыручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
/>
В линейном регрессии коэффициентрегрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значениерезультативного признака Y,если фактор увеличить на единицу измерения.
b = 0,843, т.е. при увеличении объемакапиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн.руб.
Таблица 2
Вспомогательные вычисления длянахождения параметров линейной моделиt Y X
X2 X*Y 1998 3,0 1,1 1,21 3,3 1999 2,9 1,1 1,21 3,19 2000 3,0 1,2 1,44 3,6 2001 3,1 1,4 1,96 4,34 2002 3,2 1,4 1,96 4,48 2003 2,8 1,4 1,96 3,92 2004 2,9 1,3 1,69 3,77 2005 3,4 1,6 2,56 5,44 2006 3,5 1,3 1,69 4,55 2007 3,6 1,4 1,96 5,04 Σ 31,4 13,2 17,64 41,63
3. РАССЧИТАЕМ:
- коэффициент парной корреляции.
Коэффициент парной корреляциипоказывает направление и тесноту линейной связи.
/>
/> />
/>
Т. е. связь между объемомкапиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчетакоэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимацииt Y X
/>
/>
/>
/> A 1998 3,0 1,1 0,048 0,020 0,031 2,955 0,015 1999 2,9 1,1 0,048 0,058 0,053 2,955 0,019 2000 3,0 1,2 0,014 0,020 0,017 3,039 0,013 2001 3,1 1,4 0,006 0,002 -0,003 3,207 0,035 2002 3,2 1,4 0,006 0,004 0,005 3,207 0,002 2003 2,8 1,4 0,006 0,116 -0,027 3,207 0,146 2004 2,9 1,3 0,000 0,058 0,005 3,123 0,077 2005 3,4 1,6 0,078 0,068 0,073 3,376 0,007 2006 3,5 1,3 0,000 0,130 -0,007 3,123 0,108 2007 3,6 1,4 0,006 0,212 0,037 3,207 0,109 Σ 31,4 13,2 0,216 0,684 0,182 0,530
коэффициентдетерминации
Коэффициент детерминации показываетдолю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.
/>
22,42% изменения выручки предприятияобусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов,не учтенных в модели.
/>
Рис. 2
F – критерий Фишера
Для проверки значимости уравнениярегрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:
/>
Расчетное значение статистики Фишерасравниваем с табличным
F(α; d.f.1; d.f.2), где
α – уровень значимости (длябольшей надежности примем его равным 0,05);
Число степеней свободы d.f.1 = k = 1, где k – число факторовв модели;
Число степеней свободы d.f.2 = n – k – 1 = 10 – 1 – 1 = 8
F (0.05; 1; 8) = 5,318.
В силу того, что F(расч.) = 2,312
Среднююотносительную ошибку аппроксимации:
/>
Фактическиезначения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибканебольшая, модель считается точной
4. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ />
Расчет неизвестных параметроввыполним методом наименьших квадратов (МНК).
Система нормальных уравнений имеетвид:
/>/>
/>
Необходимые расчеты представлены втаблице 4.
/> />
/>
/>
Таблица4
Вспомогательнаятаблица для расчетов показателей по гиперболической моделиt Y X 1/Х 1/Х^2 Y/X
/>
/> A 1998 3,0 1,1 0,909 0,826 2,727 2,940 0,004 0,020 1999 2,9 1,1 0,909 0,826 2,636 2,940 0,002 0,014 2000 3,0 1,2 0,833 0,694 2,500 3,047 0,002 0,016 2001 3,1 1,4 0,714 0,510 2,214 3,215 0,013 0,037 2002 3,2 1,4 0,714 0,510 2,286 3,215 0,000 0,005 2003 2,8 1,4 0,714 0,510 2,000 3,215 0,172 0,148 2004 2,9 1,3 0,769 0,592 2,231 3,137 0,056 0,082 2005 3,4 1,6 0,625 0,391 2,125 3,341 0,004 0,017 2006 3,5 1,3 0,769 0,592 2,692 3,137 0,132 0,104 2007 3,6 1,4 0,714 0,510 2,571 3,215 0,148 0,107 Σ 31,4 13,2 7,672 5,962 23,983 0,533 0,549
Построена гиперболическая модельзависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
/>
5. РАССЧИТАЕМ:
- индекс корреляции:
/>
Связь между объемом капиталовложенийи выручкой предприятия в гиперболической модели слабая
- коэффициент детерминации
/>
22,13% изменения выручки предприятия вгиперболической модели происходит под влиянием изменением объемакапиталовложений и на 77,87% под влиянием факторов, не включенных в модель.
- F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
/>
F(расч.) = 2,274
Среднююотносительную ошибку аппроксимации:
/>
Ошибка меньше7%, модель можно считать точной.
/>
Рис. 3
6. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ СТЕПЕННОЙМОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
/>
Произведем линеаризацию переменныхпутем логарифмирования обеих частей уравнения.
/>
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A + b ∙ X –линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
/>/>
Необходимые расчеты представлены втаблице 5.
/> />
/>
/>
Построена степенная модельзависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: />
Таблица5
Вспомогательная таблица для расчетовпоказателей по степенной модельt y x Y = lg y X = lg x
X2 =
=lg x2
X*Y =
lg x*lg y
/>
/> A 1998 3,0 1,1 0,477 0,041 0,002 0,020 2,946 0,003 0,018 1999 2,9 1,1 0,462 0,041 0,002 0,019 2,946 0,002 0,016 2000 3,0 1,2 0,477 0,079 0,006 0,038 3,035 0,001 0,012 2001 3,1 1,4 0,491 0,146 0,021 0,072 3,200 0,010 0,032 2002 3,2 1,4 0,505 0,146 0,021 0,074 3,200 0,000 0,000 2003 2,8 1,4 0,447 0,146 0,021 0,065 3,200 0,160 0,143 2004 2,9 1,3 0,462 0,114 0,013 0,053 3,120 0,048 0,076 2005 3,4 1,6 0,531 0,204 0,042 0,108 3,350 0,002 0,015 2006 3,5 1,3 0,544 0,114 0,013 0,062 3,120 0,145 0,109 2007 3,6 1,4 0,556 0,146 0,021 0,081 3,200 0,160 0,111 Σ 31,4 13,2 4,955 1,178 0,163 0,592 0,532 0,531
7. РАССЧИТАЕМ:
индекскорреляции:
/>
Связь между объемом капиталовложенийи выручкой предприятия в степенной модели слабая.
коэффициентдетерминации
/>
Степенная модель всего на 13,44% детерминируетзависимость выручки предприятия от объема капиталовложений. 86,56% детерминациипроисходит под влиянием факторов не учтенных в модели.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
/>
F(расч.) = 1,242
Среднююотносительную ошибку аппроксимации:
/>
Ошибкаменьше 7%, степенную модель можно считать точной.
/>
Рис. 4
8. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫПОКАЗАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ />
Произведем линеаризацию переменныхпутем логарифмирования обеих частей уравнения.
/>
Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда Y = A + B ∙ x –линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.
/>/>
Необходимыерасчеты представлены в таблице 6.
/> />
/>
/>
Таблица 6
Вспомогательнаятаблица для расчетов показателей по показательной моделиt y x Y = lg y
x2
x*Y =
x*lg y
/>
/> A 1998 3,0 1,1 0,477 1,21 0,525 2,953 0,002 0,016 1999 2,9 1,1 0,462 1,21 0,509 2,953 0,003 0,018 2000 3,0 1,2 0,477 1,44 0,573 3,032 0,001 0,011 2001 3,1 1,4 0,491 1,96 0,688 3,196 0,009 0,031 2002 3,2 1,4 0,505 1,96 0,707 3,196 0,000 0,001 2003 2,8 1,4 0,447 1,96 0,626 3,196 0,157 0,141 2004 2,9 1,3 0,462 1,69 0,601 3,113 0,045 0,073 2005 3,4 1,6 0,531 2,56 0,850 3,369 0,001 0,009 2006 3,5 1,3 0,544 1,69 0,707 3,113 0,150 0,111 2007 3,6 1,4 0,556 1,96 0,779 3,196 0,163 0,112 Σ 31,4 13,2 4,955 17,640 6,565 0,531 0,524
Построена показательная модельзависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: />
9. РАССЧИТАЕМ:
индекскорреляции:
/>
Связь между объемом капиталовложенийи выручкой предприятия в степенной модели очень слабая.
коэффициентдетерминации
/>
В показательной модели изменениевыручки на 22,30% обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,70% — влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
/>
F(расч.) = 2,297
Среднююотносительную ошибку аппроксимации:
/>
Ошибкаменьше 7%, показательную модель можно считать точной.
/>
Рис. 5
10. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУВЫЧИСЛЕНИЙ (таблица 7)
Таблица 7
Пар-
аметры Модель линейная гиперболическая степенная показательная
/>
/>
/>
/>
Ryx 0,4735 0,4705 0,3666 0,4723
Ryx2 0,2242 0,2213 0,1344 0,2230
Fрасч 2,31 2,27 1,24 0,78 A, % 5,30 5,49 5,31 5,24
Все модели имеют примерно одинаковыехарактеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициентадетерминации, F – критерия Фишера и меньшее значениесредней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т.е. оналучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки отобъема капиталовложений.
Ее можно взять в качестве лучшей дляпостроения прогноза.
11. СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НАСЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у
(выручка),если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последнимгодом.
Лучшей является линейная модель вида />
Сначала найдем прогнозные значенияпоказателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложенийсоставил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1= 1,54 млн. руб., а в 2009 году - 1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб.
Подставим прогнозные значения х вуравнение регрессии />
Это будут точечные прогнозырезультата у (выручка предприятия).
В 2008 году выручка предприятиясоставит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.)
В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46(млн. руб.)
/>
Рис. 6
Задание 2
Имеются данные, характеризующиевыручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1,млн. руб.) и основных производственных фондов (х2, млн. руб.) запоследние 10 лет (табл. 8)
Таблица 8Время, t 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Выручка, у 3,0 2,9 3,0 3,1 3,2 2,8 2,9 3,4 3,5 3,6
Объем капитало-
вложений, х1 1,1 1,1 1,2 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 1,3 1,4
Основные
производственные фонды, х2 0,4 0,4 0,7 0,9 0,9 0,8 0,8 1,1 0,4 0,5
1. Построить матрицукоэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связирезультата у и факторов х1 и х2. Установить, проявляетсяли в модели мультиколлинеарность.
2. Построить линейную модельмножественной регрессии />; датьэкономическую интерпретацию параметров b1 и b2.
3. Построить степенную модельмножественной регрессии />; датьэкономическую интерпретацию параметров β1 и β2.
4. Для каждой из моделей:
- найти коэффициент множественнойкорреляции;
- найти коэффициент детерминации;
- проверить значимость уравнениярегрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
- найти среднюю относительную ошибкуаппроксимации.
5. Составить сводную таблицувычислений; выбрать лучшую модель.
6. Пояснить экономический смыслвсех рассчитанных характеристик.
7. Найти частные коэффициентыэластичности и β – коэффициенты.
8. По линейной модели регрессиисделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости отх1 (объема капиталовложений) и х2 (основныхпроизводственных фондов).
РЕШЕНИЕ:
1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУКОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для этогорассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:
/>
Необходимые расчеты представлены втаблице 9.
/> -
связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х1 слабая и прямая;
/> —
связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х2практически нет;
/>-
связь между объемом капиталовложенийХ1 и основными производственными фондами Х2 тесная ипрямая;
Таблица 9
Вспомогательная таблица для расчетакоэффициентов парных корреляцийt Y X1 X2
(y-yср)2
(х1-х1ср)2
(x2-x2ср)2
(y-yср)*
(x1-x1ср)
(y-yср)*
(x2-x2ср)
(х1-х1ср)*
(x2-x2ср) 1998 3,0 1,1 0,4 0,0196 0,0484 0,0841 0,0308 0,0406 0,0638 1999 2,9 1,1 0,4 0,0576 0,0484 0,0841 0,0528 0,0696 0,0638 2000 3,0 1,2 0,7 0,0196 0,0144 1E-04 0,0168 -0,0014 -0,0012 2001 3,1 1,4 0,9 0,0016 0,0064 0,0441 -0,0032 -0,0084 0,0168 2002 3,2 1,4 0,9 0,0036 0,0064 0,0441 0,0048 0,0126 0,0168 2003 2,8 1,4 0,8 0,1156 0,0064 0,0121 -0,0272 -0,0374 0,0088 2004 2,9 1,3 0,8 0,0576 0,0004 0,0121 0,0048 -0,0264 -0,0022 2005 3,4 1,6 1,1 0,0676 0,0784 0,1681 0,0728 0,1066 0,1148 2006 3,5 1,3 0,4 0,1296 0,0004 0,0841 -0,0072 -0,1044 0,0058 2007 3,6 1,4 0,5 0,2116 0,0064 0,0361 0,0368 -0,0874 -0,0152 Σ 31,4 13,2 6,9 0,684 0,216 0,569 0,182 -0,036 0,272 Средн. 3,14 1,32 0,69
Также матрицу коэффициентов парныхкорреляций можно найти в среде Excelс помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ.
Матрица коэффициентов парнойкорреляции имеет вид: Y X1 X2 Y 1 X1 0,4735 1 X2 -0,0577 0,7759 1
Матрица парных коэффициентовкорреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабуюсвязь с объемом капиталовложений х1, а с Размером ОПФ связипрактически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, чтоговорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности.
2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬМНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ />
Параметры модели найдем с помощьюМНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.
/>/>
Расчеты представлены в таблице 10.
/>/>
Решим систему уравнений, используяметод Крамера:
/> />
/> />
/> /> />
Таблица 10
Вспомогательные вычисления длянахождения параметров линейной модели множественной регрессииy
x1
x2
x12
x1*x2
x22
y*x1
y*x2 3,0 1,1 0,4 1,21 0,44 0,16 3,3 1,2 2,9 1,1 0,4 1,21 0,44 0,16 3,19 1,16 3,0 1,2 0,7 1,44 0,84 0,49 3,6 2,1 3,1 1,4 0,9 1,96 1,26 0,81 4,34 2,79 3,2 1,4 0,9 1,96 1,26 0,81 4,48 2,88 2,8 1,4 0,8 1,96 1,12 0,64 3,92 2,24 2,9 1,3 0,8 1,69 1,04 0,64 3,77 2,32 3,4 1,6 1,1 2,56 1,76 1,21 5,44 3,74 3,5 1,3 0,4 1,69 0,52 0,16 4,55 1,4 3,6 1,4 0,5 1,96 0,7 0,25 5,04 1,8 31,4 13,2 6,9 17,64 9,38 5,33 41,63 21,63
Линейная модель множественнойрегрессии имеет вид:
/>
Если объем капиталовложений увеличитьна 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб.при неизменных размерах основных производственных фондов.
Если основные производственные фондыувеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений.
3. РАССЧИТАЕМ:
коэффициентмножественной корреляции:
/>
Связь выручки предприятия с объемомкапиталовложений и основными производственными фондами тесная.
коэффициентдетерминации:
/>
67,82% изменения выручки предприятияобусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственныхфондов, на 32,18% — влиянием факторов, не включенных в модель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
/>
Табличное значение F – критерия при уровне значимостиα = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2 (количество факторов), числестепеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.
Так как Fрасч. = 7,375 > Fтабл. = 4.74, то уравнение регрессии вцелом можно считать статистически значимым.
Рассчитанные показатели можно найти всреде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ,инструмента РЕГРЕССИЯ.
Таблица 11
Вспомогательные вычисления длянахождения средней относительной ошибки аппроксимацииy
x1
x2
yрасч.
y-yрасч А 3,0 1,1 0,4 2,97 0,03 0,010 2,9 1,1 0,4 2,97 -0,07 0,024 3,0 1,2 0,7 2,85 0,15 0,050 3,1 1,4 0,9 3,08 0,02 0,007 3,2 1,4 0,9 3,08 0,12 0,038 2,8 1,4 0,8 3,20 -0,40 0,142 2,9 1,3 0,8 2,96 -0,06 0,022 3,4 1,6 1,1 3,31 0,09 0,027 3,5 1,3 0,4 3,43 0,07 0,019 3,6 1,4 0,5 3,55 0,05 0,014 0,353
среднююотносительную ошибку аппроксимации
/>
В среднем расчетные значения отличаютсяот фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.
4. Построить степенную модельмножественной регрессии />
Для построения данной моделипрологарифмируем обе части равенства
lg y = lg a + β1∙ lg x1 + β2 ∙ lg x2.
Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X1 = lg x1, X2 = lg x2.
Тогда Y = A + β1 ∙ X1 + β2 ∙ X2 – линейнаядвухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.
/>/>
Расчеты представлены в таблице 12.
/>/>
Таблица 12
Вспомогательные вычисления длянахождения параметров степенной модели множественной регрессииy
x1
x2
lg x1
lg x2 lg y
lg2 x1
lg x1*
lg x2
lg y*lg x1
lg2 x2
lg y*
lg x2 3,0 1,1 0,4 0,041 -0,398 0,477 0,002 -0,016 0,020 0,158 -0,190 2,9 1,1 0,4 0,041 -0,398 0,462 0,002 -0,016 0,019 0,158 -0,184 3,0 1,2 0,7 0,079 -0,155 0,477 0,006 -0,012 0,038 0,024 -0,074 3,1 1,4 0,9 0,146 -0,046 0,491 0,021 -0,007 0,072 0,002 -0,022 3,2 1,4 0,9 0,146 -0,046 0,505 0,021 -0,007 0,074 0,002 -0,023 2,8 1,4 0,8 0,146 -0,097 0,447 0,021 -0,014 0,065 0,009 -0,043 2,9 1,3 0,8 0,114 -0,097 0,462 0,013 -0,011 0,053 0,009 -0,045 3,4 1,6 1,1 0,204 0,041 0,531 0,042 0,008 0,108 0,002 0,022 3,5 1,3 0,4 0,114 -0,398 0,544 0,013 -0,045 0,062 0,158 -0,217 3,6 1,4 0,5 0,146 -0,301 0,556 0,021 -0,044 0,081 0,091 -0,167 31,4 13,2 6,9 1,178 -1,894 4,955 0,163 -0,165 0,592 0,614 -0,943
Решаем систему уравнений применяяметод Крамера.
/> />
/> />
/>
/> />
Степенная модель множественнойрегрессии имеет вид:
/>
В степенной функции коэффициенты прифакторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичностипоказывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативногопризнака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значениидругих факторов.
Если объем капиталовложений увеличитьна 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерахосновных производственных фондов.
Если основные производственные фондыувеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменныхкапиталовложениях.
5. РАССЧИТАЕМ:
коэффициентмножественной корреляции:
/>
Связь выручки предприятия с объемомкапиталовложений и основными производственными фондами тесная.
Таблица 13
Вспомогательные вычисления длянахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации,ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессииY
X1
X2
Y расч.
(Y-Yрасч.)2
(Y-Yср)2 A 3,0 1,1 0,4 2,978 0,000 0,020 0,007 2,9 1,1 0,4 2,978 0,006 0,058 0,027 3,0 1,2 0,7 2,838 0,026 0,020 0,054 3,1 1,4 0,9 3,079 0,000 0,002 0,007 3,2 1,4 0,9 3,079 0,015 0,004 0,038 2,8 1,4 0,8 3,162 0,131 0,116 0,129 2,9 1,3 0,8 2,959 0,003 0,058 0,020 3,4 1,6 1,1 3,317 0,007 0,068 0,024 3,5 1,3 0,4 3,460 0,002 0,130 0,012 3,6 1,4 0,5 3,516 0,007 0,212 0,023 31,4 13,2 6,9 0,198 0,684 0,342
коэффициентдетерминации:
/>
71,06% изменения выручки предприятия встепенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основныхпроизводственных фондов, на 28,94 % — влиянием факторов, не включенных вмодель.
F – критерий Фишера
Проверим значимость уравнения
/>
Табличное значение F – критерия при уровне значимостиα = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит4,74.
Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессиив целом можно считать статистически значимым.
среднююотносительную ошибку аппроксимации
/>
В среднем в степенной моделирасчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая,модель можно считать точной.
6. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14)
Таблица 14Параметры Модель линейная степенная
/>
/>
Коэффициент множественной
корреляции 0,8235 0,8429
Коэффициент
детерминации 0,6782 0,7106
F – критерий
Фишера 7,375 8,592
Средняя
относительная ошибка
аппроксимации, % 3,53 3,42
В целом модели имеют примерноодинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значениекоэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительнаяошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.
7. НАЙДЕМ ЧАСТНЫЕКОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ И β – КОЭФФИЦИЕНТЫ
Для нахождения частных коэффициентовэластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии,которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х призакреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> и т.д.
Результаты расчетов представлены втаблице 15.
Таблица 15
Вспомогательная таблица длявычисления частных коэффициентов эластичностиY X1 X2 Э(ух1) Э(ух2) 3,0 1,1 0,4 0,524 -0,135 2,9 1,1 0,4 0,524 -0,135 3,0 1,2 0,7 0,545 -0,262 3,1 1,4 0,9 0,583 -0,364 3,2 1,4 0,9 0,583 -0,364 2,8 1,4 0,8 0,583 -0,311 2,9 1,3 0,8 0,565 -0,311 3,4 1,6 1,1 0,615 -0,484 3,5 1,3 0,4 0,565 -0,135 3,6 1,4 0,5 0,583 -0,174
Бета коэффициент рассчитываем поформуле:
/>
/> - среднее квадратическое отклонение.
Необходимые вычисления для расчетаСКО представлены в таблице 9.
/> />
/>
/>
Если объем капиталовложений увеличитьна величину своего СКО, т.е. 0,147 млн. руб., то выручка предприятия увеличитсяна 1,302 величины своего СКО, т.е. на 1,302 * 0,262 = 0,341 млн. руб.
/>
Если основные производственные фондыувеличить на величину своего СКО, т.е. на 0,239 млн. руб., то выручкапредприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т.е. на 1,068 * 0,262 = 0,280 млн.руб.
8. ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИРЕГРЕССИИ СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), взависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2(основных производственных фондов).
Прогнозные значения факторов можнополучить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютногоприроста:
/>,
где /> -средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:
/>;
k – период упреждения;
n – количество наблюдений.
/>, тогда
Х1, 11 = 1,4 + 1 ∙0,0333 = 1,4333 (млн.руб.)
Х1, 12 = 1,4 + 2 ∙0,0333 = 1,4667(млн.руб.)
/>
Х2, 11 = 0,5 + 1 ∙0,0111 = 0,5111
Х2, 12 = 0,5 + 2 ∙0,0111= 0,5222
Составляем вектор прогнозных значенийфакторов:
/>
/> />.
Вычислим точечные прогнозы поведениявыручки предприятия на моменты времени t = 11 и t =12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.
/> (млн. руб.)
/> (млн. руб.)
Для получения интервального прогноза /> рассчитываем доверительныеинтервалы, используя величину отклонения от линии регрессии (U):
/>,
/>
/> />
Операции с матрицами осуществим всреде Excel с помощью встроенных математическихфункций МУНОЖ и МОБР.
/> />
/>
/>
Среднее квадратическое отклонениерасчетных значений от фактических:
/>
Коэффициент Стьюдента tα для m = 10 – 2 – 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости α= 0,05 равен 2,36.
U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙0,61610,5 = 0,329
U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙0.74810,5 = 0,362
/>
/>
Результаты вычислений представим ввиде таблицы.
Таблица 16Шаг
Точечный прогноз,
млн. руб.
Нижняя граница,
млн. руб.
Верхняя граница,
млн. руб. 11 3,6121 3,2829 3,9412 12 3,6763 3,3136 4,0390
Список литературы:
1. Доугерти К. Введение в эконометрику.– М.: Инфра – М, 2001. – 402 с.
2. Катышев П. К.,Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело,1999. – 72 с.
3. Практикум поэконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы истатистика, 2001. – 192 с.
4. Тутыгин А.Г.,Амбросевич М.А., Третьяков В.И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебноепособие. – М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. – 54 с.
5. Эконометрика:Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. –245с.