Зміст
Вступ............................................................................................................................1
Розділ 1. Основні теоретичнівідомості.................................................................2
1.1 Походження поняттяпохідної....................................................................2
1.2Екстремумифункції.....................................................................................5
1.3Зростання та спаданняфункції...................................................................9
1.4Найбільше та найменше значенняфункції..............................................11
1.5Означення дотичної, під дотичної,нормалі............................................13
Розділ 2. Застосування похідної............................................................................17
2.1 Правиладиференціювання........................................................................17
2.2 Дослідження функції та побудова їїграфіка...........................................21
2.3 Застосування похідної для розв’язуваннярівнянь..................................26
2.4 Текстові задачі наекстремум....................................................................28
Висновок....................................................................................................................31
Список використаноїлітератури.........................................................................32
Вступ
Розділ алгебри та початків аналізу“Похідна та її застосування” займає значне місце у шкільному курсі математики,в першу чергу тому, що має велике прикладне значення.
Програма з математики длязагальноосвітньої школи відводить на вивчення теми “Похідна та її застосування”приблизно, 26 годин (загальноосвітньої школи), 46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленимвивченням математики).
Основна складність полягає в тому,щоб навчити школярів застосувати похідну для дослідження функцій, розв’язанняприкладних задач алгебри та геометрії. Показати алгоритми застосуванняпохідної, що значно полегшує розв’язання багатьох типів задач.
Об’єктом дослідження даноїатестаційної курсової роботи є питання: застосування похідної для дослідженняфункцій на монотонність та екстремум, побудова графіків функцій після їхповного дослідження, знаходження найбільшого та найменшого значення функції навідрізку, прикладні задачі на знаходження найбільшого та найменшого значенняфункції, складання рівняння дотичної, нормалі, піддотичної і текстові задачі наекстремум функції.
Робота складається з вступу і двохосновних частин: основні теоретичні відомості, де наведено означення похідної,історія виникнення похідної, основні теореми, необхідні та достатні умовизростання (спадання) функції, достатня ознака екстремуму функції, та наведеніалгоритми розв’язання конкретного типу задач; другий розділ, який розбито напідрозділи, в якому розглядаються різноманітні приклади, наводиться їхрозв’язання з повним поясненням.
Розділ 1
Основні теоретичнівідомості1.1. Походженняпоняття похідної
Ряд задач диференціальноговирахування був вирішений ще в стародавності.
Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло вXVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки іматематики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійногонерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої.
Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном.Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинськогоfluere — текти), похідну ж — флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначавфункції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їхфлюксії, тобто похідні від флюент за часом, — відповідно тими ж літерами зкрапкою над ними: />
Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи восновному з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що вінпозначав знаком х0, відмінним від нуля. Вираз x0, що позначаєтьсянині />і називається диференціалом(dx), Ньютон називав моментом.
Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питаньмеханіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм«Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р.Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVIIв., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.
Математиків XV — XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального методу для побудовидотичної в будь-якій точці кривої. Задача ця була зв'язана також з вивченнямрухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і найменших значень різнихфункцій.
Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще встародавності. Так у «Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної доокружності, Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я,Аполлоній — до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені невирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного дляпобудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в похідній її точці.
Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числіТоррічеллі, Вивиани, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання,прибігаючи до кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичноїдо алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального іважливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови дотичнихФерма.
Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких іншихвисновках, Лейбниц значно повніше своїх попередників вирішив задачу, про якуйде мова, створивши відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tgj, тобтокутового коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленоюфункцією />, зводиться до знаходженнюпохідної функції y по незалежній змінній x при даному її значенні(або в даній точці) x = x1.
Можна навести й інші приклади, що показують, якувелику роль грає поняття похідної в науці і техніці: прискорення – є похіднавід швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла потемпературі, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивноїречовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних іїхнє застосування до дослідження функцій складає головний предметдиференціального вирахування.
Перша друкована праця по диференціальному вирахуваннюбула опублікована Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з'явилися в 1682 р.в математичному журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних записок») іозаглавлений «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якогоне є перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий для цього рідвирахування». У цій статті, що складається усього лише з 6 сторінок, міститьсявиклад суті методу вирахування нескінченно малих, зокрема викладаються основніправила диференціювання. Отже, якщо в «Методі флюксій» як первісне поняттяфігурує швидкість, то в «Новому методі» Лейбница таким поняттям є дотична .
Збільшення абсциси Лейбниц позначавчерез dx, що відповідає збільшенню ординати – через dy. Ниніуживаний символ похідної
бере свій початоквід Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна, для якої він навітьспеціального терміна не мав, а диференціал.
У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькоюлітерою ∆ для позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y2– y1, ∆х = x2 – x1 і т.д. Цепозначення збереглося понині. Ми пишемо:
/>.
Позначення />і />для похідної ввів Лагранж.
Сам термін «похідна» уперше зустрічається у французаЛуа Арбогаста в його книзі «Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидковвійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цьоготерміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).
Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символипохідної утратили своє значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадкахпозначають крапками над літерами похідні за часом.
Перший друкованийкурс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в 1696 р. підзаголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де Лопиталь за основуцієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з найближчих співробітниківЛейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як типовий добуток школи Лейбница.
У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щобвеличина, збільшена або зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бутирозглянута як незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можнавідкидати. Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малихЛейбница, нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і приустановленні формул диференціювання.
У перший період розробки математичного аналізуосновоположники цієї теорії не могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципицієї теорії і тому шукали підтвердження правильності теорії в узгодженостіматематичних висновків з досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки йастрономії. Однак проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютноївпевненості в її непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даноюгіпотезою, як вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах передматематиками виникла проблема суворого математичного обґрунтування теоріїматематичного аналізу.1.2. Екстремумифункції
Точка х0називаєтьсяточкою локального максимуму функції />, якщодля будь-яких досить малих /> виконуєтьсянерівність
/>.
Точка х0називаєтьсяточкою локального мінімуму функції />, якщодля будь-яких досить малих /> виконуєтьсянерівність
/>.
Точки максимуму і мінімумуназиваються точками екстремуму функції />,а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.
Необхідну ознаку локального екстремуму даєтака теорема:
Теорема 1.Якщо функція /> має в точці х0локальний екстремум, то або />, або />не існує.Протевиявляється, що цього недостатньо, бо може />,а функція/> в цій точці екстремуму немає.
Точки, в яких функція /> визначена та неперервна, ів цих точках /> або не існує,називаються критичними для функції.
Проте не в кожній критичній точці функція /> має екстремум. Томупотрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:
Теорема 2.Нехай функція />неперервна в деякомуінтервалі, який містить критичну точку х0, і диференційована у всіхточках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х0).
Якщо для хх0/>, а для х0x />,то для х=х0функція /> маємаксимум.
Якщо для хх0 />, а для х0x /> ,то для х=х0функція /> маємінімум.
Теорема 3.Нехай функція /> два рази диференційована воколі точки х0і />. Тоді в точці х=х0функція має локальний максимум, якщо />,і локальний мінімум, якщо />.
Якщо ж />, то точка х=х0може й небути точкою екстремуму.
Звідси випливає такий план знаходження екстремальнихточок:
1. знаходять критичні точкифункції /> , тобто точки, в яких />, або /> не існує;
2. знаходять другу похідну />і обчислюють значеннядругої похідної в цих точках.
Якщо значеннядругої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, аякщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.Якщо /> вкритичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці можебути екстремум, а може й не бути.
Розглянемо тепер дослідженняфункції на екстремум на конкретних прикладах.
Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію
/>
Розв’язання. Функція />визначенаі диференційована на R. Знайдемо її похідну:
/>.
Знайдемо нулі похідної:
х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.
Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2, х2=1.
Оскільки похідна є квадратнимтричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то на інтервалах /> />, а на інтервалі (-2;1) />.
Похідна неперервна на R і при переході через критичну точкузмінює знак на протилежний.
Оскільки при переході через критичну точкух=-2 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція має локальниймаксимум.
/>.
При переході через точку х=1 похідна змінює знак змінуса на плюс. Тому в цій точці функція fмає локальний мінімум.
/> />.
Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію
/>
Розв’язання. Функція /> визначена.Знайдемо її похідну:
/>.
Критична точка х=9. при переходічерез цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:
/>.
Крім того, похідна дорівнює нулю вточці х=0. оскільки справа від цієї точки(до х.
Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію
/>.
Розв’язання. Функція />визначенаі диференційована на R. Її похідна
/>
дорівнює нулю при />.
Ця критична точка розбиває числову пряму надва інтервали знакосталості похідної /> :
/>/>.
Оскільки на інтервалі /> />, то функція f в точці /> маєлокальний максимум.
Його значення />
1.3. Зростання та спаданняфункції
Дослідження функції на зростання таспадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.
Теорема. Нехай функція неперервнана проміжку a, б> і диференційована в інтервалі (а, б).для того, щобфункція fбулазростаючою(спадною) на проміжку a, б>, необхідно і достатньовиконання двох умов:
1. /> />
2. рівність />не повинна виконуватися ні вжодному інтервалі, що міститься в a, б>.
Як наслідок цієї теореми можна використовувати такутеорему (достатня ознака строгої монотонності):
Теорема. Нехай функція fнеперервна на проміжку a, б> і диференційована вінтервалі (а, б). Якщо /> />, то fзростає(спадає) на a, б>.
Тому для знаходження проміжків зростання таспадання диференційованої функції />діють утакий спосіб:
1. Знаходять:
а)областьвизначення функції />, якщо вонанаперед не задана;
б)похідну/>даної функції/>;
в)точки, вяких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння/>, а також точки, в якихфункція визначена, але похідна /> неіснує, їх називають критичними точками.
2. Визначають знак похідної />на конкретному інтервалі,достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належитьцьому інтервалу.Приклади
Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції
/>
Розв’язання. Функція визначена і диференційованана множені R.
Знайдемо її похідну
/>.
Нулями похідної є х1=1, х2=/>.
Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак наінтервалах />. Оскільки похідна заданаквадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2, то вона набуваєдодатних значень поза коренями, тобто/> наінтервалах /> і від’ємних між коренями,тобто /> на інтервалі />.
Отже, на інтервалах/> функціяf зростає, а на інтервалі />– спадає.
Приклад 2. Довести, що функція
/>
спадає на R.
Розв’язання. Дана функція визначена і диференційована на R.
Знайдемо похідну
/>.
Оскільки для /> />, то дана функція f спадає на R.
1.4. Найбільшета найменше значення функції
Нехай дано функцію/>, яка неперервна на відрізку[a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченогочисла точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменшезначення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу,функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого інайменшого значення.
Чим викликана необхідністьзнаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку?
Справа в тому, що в практичнихзадачах, де процес, явище, закон, величина описуються певною функцією, змістсамої задачі накладає певні обмеження на аргумент, тобто аргумент має певнімежі.
Так, наприклад, кут трикутника можезмінюватися лише від 0 до П, швидкість тіла доводиться розглядати в проміжкучасу від t0 до t1 та інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції наконкретному проміжку [a;b] або на його кінцях, точинять так:
1. знаходять критичні точки вінтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнюєнулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;
2. знаходять значення функції накінцях відрізка, тобто/>;
3. серед усіх значень вибираютьнайбільше і найменше значення.
У випадку, коли функція монотонна навідрізку [a;b], то найбільшого і найменшогозначення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємосьобчисленням значень />.
По-іншому складається ситуація, якщонеобхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної вінтервалі (a;b).
Зрозуміло, що функція у цьому випадкуне може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу.Наприклад, функція /> в інтервалі (3;6)не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. Уцьому випадку чинять так:
1. знаходять критичні точки,що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках;
2. знаходять лівута праву границі відповідно в точках а і б, тобто />.Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичнихточках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) зазнайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції наінтервалі.
Приклади.
Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значенняфункції на відрізку [a;b]
/>
Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна,диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:
/>
/> х=0
знайдемо значення функції в критичній точці і накінцях відрізка:
/>
Отже,
/> />.
Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значенняфункції на відрізку [a;b]
/>
Розв’язання. Функція визначена і неперервна навідрізку />, диференційна в інтервалі(-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку найбільшого і найменшого значення.Знайдемо критичні точки даної функції. Для цього знайдемо похідну
/>
і прирівняємо її до нуля:
х4+8х=0; х=0; х=-2.
Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише однукритичну точку х=0. знайдемо значення функції в цій точці />.
Обчислимо значення функції на кінцях відрізка
/>, />.
Отже,
/>, />
Відповідь:/>,/>
1.5. Означення дотичної,піддотичної, нормалі
Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняннядотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:
/>,
де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнтдотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенскута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.
/>
Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точкидотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Їїдовжина дорівнює |х0-х1|.
Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точціїї дотику М до графіка функції у=f(x), називається нормаллю.
Рівняння нормалі записують у вигляді:
/>
якщо f ‘(x0)/>0(в противному разі рівняннянормалі х-х0=0).
На цей матеріал можна скласти ряд задач.Розглянемо деякі з них.
1. Дано абсцису точки дотику х0графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняннядотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.
Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто />,та значення функції в точці х0, тобто />.Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної />.
2. Який кут утворює дотична здодатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?
Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної />, то />.
Таким чином, задача зводиться до знаходженняпохідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.
3. Знайти гострий кут між дотичними,проведеними до графіків функцій />, щомають спільну абсцису х0:
/>
/>, />.
4. Знайти довжину дотичної до графіка функціїу=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.
Довжиною дотичної прийнято називати відстаньміж точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.
У цьому випадку знаходимо
/>
і скористаємося формулою
/>
Приклади:
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції
/>
в точці з абсцисою х0=3.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значенняфункції та її похідної в точці х0:
/>
скориставшись рівнянням дотичної
/>,
матимемо
/>
Звідси />.
Відповідь:/>.
Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?
Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки врівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.
Знайдемо похідну y’=2x-4.
Тоді />.Звідси />
Відповідь:/>
Приклад 3. Дотична до графіка функції
/>
нахилена до осі абсцис під кутом />. Знайти координати точкидотику.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції/>:
/>.
За умовою y’(x0)=tg/>=1 маємо
/>
отже, дотична до параболи проходить через точкуА(2;2).
Відповідь: А(2;2).
Розділ 2
Застосування похідної2.1. Правила диференціювання
Теорема: Якщофункції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)
для любого х є (a; b). Коротше,
(u±n)’ = u±n’
Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо черезf(x) і знайдемо похідну цієї функції,
Нехай х0– деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді /> />
Також, />
Так як
х0– допустима точкаінтервалу (a; b), то маємо:
/>
Випадок добутку розглядаєтьсяаналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
а) />
б) />
в) />
Зауваження. Методом математичної індукціїдоводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +…кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіхточках інтервалу (a; b), то
/>
для любого х є (a; b). Коротше,
/>
Доведення. Позначимо похідні />через /> х є (a; b), і найдемопохідну цієї функції, виходячи із визначення.
Нехай х0– деяка точкаінтервалу (a; b). Тоді
/>
Навіть так як
/>
то
/>/>
/>
Так як х0– вільна точкаінтервалу (a; b), то маємо
/>
Теорема доведена.
Приклад,
а) />/>/>
б) />
/>
в) />
Наслідок. Постійний множник можна виносити зазнак похідної:
/>
Доведення. Застосувавши множник можна виноситиза знак теорему про похідну де а – число, отримаємо
/>
Приклади.
а) />
б) />
Похідна частки двох функцій .
Теорема. Якщо функції /> мають похідні у всіхточках інтервалу (a; b), причому /> длялюбого х є (a; b), то
/>
для любого х є (a; b).
/>
Доведення. Позначимо тимчасово /> через /> знайдемо />використовуючи визначенняпохідної.
Нехай х0– деяка точкаінтервалу (a; b).
Тоді,
/>
Навіть, так як
/> то
/>
і послідовно
/>
Так як х0– вільна точкаінтервалу (a; b), то в останній формулі х0можна замінити на х.Теорема доведена.
Приклади.
а) />
б) />
2.2.Дослідження функції та побудова графіка
Загально відомою є схема дослідженняфункції для побудови графіка:
1) знайти область визначенняфункції та множину її значень;
2) дослідити функцію на парністьта непарність, періодичність;
3) знайти точки перетину графікафункції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталостіфункції;
4) дослідити поводження функціїбіля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;
5) знайти нулі та точки розривупохідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальнізначення функції;
6) знайти нулі та точки розривудругої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину тазначення функції в цих точках;
7) для побудови графіканеобхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.
Зауважу, що на практиці не завжди єпотреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.
Так, наприклад, множину значеньдеяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значеньфункції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.
Можна спочатку знайти нулі функції.Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути нінепарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку,коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло,що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність.Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, товона не є періодичною.
Не може бути функція ні парною, нінепарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщенінесиметрично відносно нуля.
Аналогічно можна зробити висновок і знесиметричного розміщення точок розриву.
Для складних функцій /> можна керуватися такимипростими твердженнями:
1. якщо функція /> парна, то складна функціятакож парна;
2. якщо функція /> і /> непарні, то складна функціянепарна;
3. якщо /> непарна, а функція/> парна, то складна функціяпарна;
4. якщо функція /> періодична, то і складнафункція /> періодична, причому її періодможе бути меншим за період функції />, але небільшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.
Зручно користуватися такимитвердженнями:
1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною)функцією;
2. добуток парних функцій є парною функцією;
3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо числофункцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множниківнепарне;
4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.
Дослідимо функції та побудуємо їхграфіки.
Приклад 1.Побудувати графік функції
/>
Розв’язання.
1) Область визначення функції f :
Х=/>/>/>/>/>.
2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.
3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вонаневизначена лише у двох точках.
4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функціївідсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.
5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемопохідну
/>
/>;
х=0–критичнаточка.
Для />/>/>/> />. Отже, на цих проміжкахфункція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках />/>/> вона спадає. Тоді точка х=0є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення
/>.
6) Дослідимофункцію на опуклість та точки перегину:
/>
/>.
На проміжках />/>/> />. Отже, графік функціїопуклий вниз. На проміжку /> />, а тому графік функціїопуклий вгору.
Точки перегину відсутні.
7) Оскільки />, то пряма у=1 єгоризонтальною асимптотою для графіка функції.
Дослідимо поведінку функції біляточок х=2, х=-2:
/>, />.
Отже, в точці х=2 функція маєрозрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парністьфункції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.
/>.
Приклад 2.Побудувати графік функції:
/>
Розв’язання.
1. Область визначення функції f :
/>.
2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньовипливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.
3. Період функції />. Тому дослідженняфункції достатньо спочатку провести на проміжку />.Крім того, враховуючи, що />, робимовисновок про симетричність графіка відносно прямої /> напроміжку />. Тому можна обмежитисядослідженням функції на проміжку />.
4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку />. Для цього знайдемо їїпохідну
/>.
Для />/> />. Тому функція на цьомупроміжку спадає. Тоді на проміжку /> воназростає, а в точці />має мінімум, якийдорівнює 1.
Враховуючиперіодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках/> і зростає на проміжках />, />. В точках /> набуває мінімальногозначення, яке дорівнює 1.
5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку />:
/>.
Звідсибезпосередньо випливає, що для /> />. Отже, графік функціїопуклий вниз. Тоді і на проміжку /> вінопуклий вниз. Таким чином, на проміжках /> графікфункції опуклий вниз.
6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля /> зліва:
/>
/>.
Отже, прямі х=0, х=/> – вертикальні асимптоти.Тоді і прямі х=/>,/> – вертикальні асимптоти.
/>
2.3.Застосування похідної для розв’язування рівнянь
Похідна вокремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а саме: длявстановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх знаходження.
Так, наприклад,якщо маємо рівняння />, де /> – зростаюча або спаднафункція, то, зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного кореня, причомуможна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а належить множинізначень функції />. А для визначеннястрогої монотонності застосовується похідна.
Використовують ітакий факт: якщо многочлен k-го степеня має kдійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .
Розглянемозастосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних прикладах.
Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та q, щобрівняння /> мало три різних дійснихкорені?
Розв’язання. Розглянемо функцію
/>.
Для того щобдана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна
/>
мала два різних нулі. А це буде тоді, коли />. Звідси />.
Отже, похідна має один додатний іодин від’ємний корінь. Тоді функція /> маєобов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що />. Отже, />.
Приклад 2.Скількидійсних коренів має рівняння
/>
Розв’язання. Розглянемофункцію
/>=/>.
Знайдемо її похідну
/>=/>.
Нехай
а) х>0;
б) х=0, тоді />;
в) x>0, тоді знову ж таки />>0.
Отже, похідна всюди додатна, завинятком однієї ізольованої точки х=0. це означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому данерівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки />, то нуль і є тим єдинимкоренем.
Приклад 3.Розв’язатирівняння
/>.
Тривіальним коренем рівняння є х=0.доведемо, що інших коренів рівняння не має. Розглянемо функцію
/>.
Знайдемо її похідну /> для будь-якого />.
Отже, функція /> зростає на всій числовійосі. Тому рівняння не має більше коренів.
Приклад 4.Розв’язатирівняння
/>.
Розглянемо функцію />.
Вона диференційована на всійобласті визначення. Знайдемо її похідну
/>.
Очевидно, /> для />.
А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищийпоказник степеня непарний). Тривіальним коренем є х=1.
Відповідь: 1.
2.4. Текстові задачі на екстремум
Приклад 1.Яке із десяти чисел
/>
найбільше?
Розв’язання.Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої послідовностічисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.
Знайдемоце число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію />.
Знайдемоїї похідну, записавши функцію в такому вигляді:
/>.
Тоді
/>.
Знакпохідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція /> спадає на інтервалі />, причому />, а />. Тому на інтервалі /> функція f зростає, а на інтервалі />– спадає. Тоді найбільшечисло буде /> або />. Безпосереднє обчисленнядає відповідь на поставлене в задачі запитання: /> єнайбільшим серед десяти даних чисел.
Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою /> іпрямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежалана прямій />, а вершини верхньої основина параболі.
Розв’язання. Нехай у фігуру ABCвписано прямокутник DKMN.
/>.
Позначимо абсциситочок M і N через />, а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку -/>.
Отже, DN=2/>, де DN – ширина прямокутника. Висота прямокутникабуде дорівнювати різниці ординат точок M і N, тобто MN=/>.
Тодіплощу прямокутника DKMN запишемо утакому вигляді:
/>.
Розглянемофункцію />. Її похідна />. Точка /> є точкою максимуму дляфункції />. Тоді
/>.
Відповідь:/>.
Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції /> та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щоб вона відтиналавід криволінійної трапеції звичайну трапецію найбільшої площі?
Розв’язання. Позначимо шукану точку через />,де />. Запишемо рівняннядотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою />:
/>,
/>.
Знайдемозначення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:
/>,
/>.
Площузвичайної трапеції запишемо у такому вигляді:
/>
/>.
Розглянемо функцію
/>/>.
Знайдемо її похідну:
/>
/>.
Функція /> має єдинукритичну точку />, в якій вонадосягає максимуму.
Відповідь:/>.
Висновок
Мета даної курсової роботи розкритидеякі питання застосування похідної: для дослідження функцій на монотонність таекстремум, знаходження найбільшого та найменшого значення функцій, розглянутиприкладні задачі на дослідження функцій, а також задачі на складання рівняньдотичної, нормалі та деяких інших.
Дляцього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхіднітеоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання кожного типу задач,після чого наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.
Приклади розташовані упорядку зростання складності, що дає можливість поступово засвоювати викладенняматеріалу. В роботі наводяться необхідні геометричні інтерпретації.
Всі розглянуті прикладивзяті із збірника задач з математики для середньої загальноосвітньої школи.
На нашу думку робота будекорисною для учнів 10, 11 класів загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.