Лабораторна №3
Паралельні проекції
Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичнимапаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що прицентральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається зплощиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекціїрозглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Системакоординат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у — вгору, а вісь z — усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.
/>
Рис.1 Центральна проекція
Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цейспосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицюпроектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції(перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі миодержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед дляцентральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат,у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані dвід початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у,z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):
/>
Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d,одержимо
/>
Відстань d є в даному випадку масштабним множником,застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що нацентральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, єділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можутьрозташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і міжцентром проекції і проекційною площиною.
Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром4х4:
/>
Множачи точку /> на матрицю />. отримаємо загальний вираз для точкив однорідних координатах />:
/>
/>
геометричний проекція косокутний матриця
Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотньогопереходу до трьох вимірів, отримаємо
/>
Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z — координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.
/>
Рис. 2 Інша схема побудови центральної проекції
При іншому представленні центрального проектування,застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2= 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = — с (рис. 2). З подібностітрикутників випливає
/>
Звідси одержуємо
/>
Матриця записується у виді
/>
Цю матрицю можна одержати з матриці /> шляхом переносу центра проекції впочаток координат, застосування /> і зворотнього переносу:
/>
Ортографічне проектування на площину z = 0 очевидне. Напрямокпроектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадкуз віссю z. Таким чином, точка Р має координати:
/>
Ця проекція описується матрицею
/>
/>
Рис. 3 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба.
Точка Р' є проекцією точки P (0, 0, 1)
Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої може бутизаписана виходячи зі значень a і l (рис. 3). На рис. 3 зображений одиничнийкуб, спроектований на xy-площину. З малюнка видно, що проекцією точки P (0, 0,1), що знаходиться на задній стороні' одиничного куба, є точка Р'(l соsа, lsіnа, 0), що належить площині ху. По визначенню це означає, що напрямпроектування збігається з відрізком РР', що проходить через ці дві точки (рис.4). Цей напрям є Р'-Р= (l соsа, l sina, -1). Напрям проектування складає кут різ площиною ху.
Тепер розглянемо довільну точку x, у, z і визначимо їїкосокутну проекцію (Хр, Ур) на площину ху. На рис. 5 показані два зображенняточки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на рис.4. Рівняння дляx- і y-координат проектора як функцій z мають вид у=mz+b. Вирішуючи дварівняння относительно Хр і Yр, відзначених на рис.5, одержуємо
/>
Матриця розміром 4х4, що виконує ці дії і, отже, описуєкосокутну проекцію, має вигляд
/>
Застосування матриці /> приведе до зсуву і наступногопроектування об'єкта: площини з постійною координатою z = z1 переносяться внапрямку х на z1*l соsa в напрямку y на z1*l sina і потім проектуються наплощину z = 0. Зсув зберігає паралельність прямих, а також кути і відстані вплощинах, паралельних осі z.
/>
Рис. 4. Косокутна паралельна проекція Р'(l соsа, l sinа, 0) проекцієюточки P (0, 0, 1).
/>
Рис. 5 Косокутна паралельна проекція (Xp, Yp, 0) точки (x, y,z).
Для проекції кавальє l=1, тому кут р, показаний на рис.4.17,складає 45°. Для проекції кабіні l=1/2, а b=агtg (2) =63,4°. У випадкуортографічної проекції l = 0 і b = 90°, тому /> є окремим випадком />.