ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАНИЕ
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
ВЫВОД
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Современный этап научных исследований характеризуется тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является единственным возможным инструментом исследователя.
Математический аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.
Основная задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y = f(X1, X2,…Xk), где X – факторы, Y – функция отклика. Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.
Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.
Предмет исследования– процесс функционирования двигателя.
Цель исследования – анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и получение соответствующей функциональной зависимости
ЗАДАНИЕ
Область планирования фактора X: Xmin = 0,012 м, Xmax = 0,055 м.
План проведения эксперимента:
№ опыта
xj
1
-1
2
-0,8
3
-0,6
4
-0,4
5
-0,2
6
7
0,2
8
0,4
9
0,6
10
0,8
11
1
Используя приведенные исходные данные и программу расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа (X) на величину максимальной температуры (Y) рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между указанными величинами.
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Используя указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также область планирования фактора Х (Хmin, Хmax), подготовим план проведения данного однофакторного эксперимента.
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>.
где /> — интервал (шаг) варьирования фактора;
/> — натуральное значение основного уровня фактора;
/> — кодированное значение фактора x;
/> — натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.
В дальнейших расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции отклика.
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
Используя выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные результаты представим в виде таблицы 1.
Табл. 1
№ опыта
Xj
Yj
1
0,012
3601,8348
2
0,0163
2712,4310
3
0,0206
2195,4343
4
0,0249
1855,3637
5
0,0292
1626,8644
6
0,0335
1461,2450
7
0,0378
1339,577
8
0,0421
1250,5135
9
0,0464
1173,9877
10
0,0507
1126,4606
11
0,055
1092,5573
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
Получим функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a0+ a1X) и квадратичную зависимости (Y = a0+ a1X + a2X2). Посредством МНК значения a0, a1 и a2 найдем из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели, т. е. путем минимизации суммы:--PAGE_BREAK--
/>.
Проведем минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем приравнивания к 0 первых частных производных по a0, a1 и a2.
Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a0+ a1X. Получим:
/>;
/>.
Выполнив ряд преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
/>
Решая эту систему, найдем коэффициенты a1 и a0:
/>; />.
Для квадратичной зависимости Y = a0+ a1X + a2X2 система нормальных уравнений имеет вид:
/>
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 2.
Табл. 2
№ опыта
Xj
Yj
Xj2
XjYj
Xj2Yj
Xj3
Xj4
1
0,012
3601,8348
0,000144
43,222017
0,5186642
0,0000017
0,000000020736
2
0,0163
2712,4310
0,0002656
44,212625
0,7204216
0,0000043
0,0000000705433
3
0,0206
2195,4343
0,0004243
45,225946
0,9315227
0,0000087
0,0000001800304
4
0,0249
1855,3637
0,00062
46,198556
1,1503254
0,0000154
0,0000003844
5
0,0292
1626,8644
0,0008526
47,50444
1,3870645
0,0000248
0,0000007269267
6
0,0335
1461,2450
0,0011222
48,951707
1,6398091
0,0000375
0,0000012593328
7
0,0378
1339,577
0,0014288
50,63601
1,9139876
0,000054
0,0000020414694
8
0,0421
1250,5135
0,0017724
52,646618
2,2164101
0,0000746
0,0000031414017
9
0,0464
1173,9877
0,0021529
54,473029
2,52747781
0,0000998
0,0000046349784
10
0,0507
1126,4606
0,0025704
57,111552
2,8954543
0,0001303
0,0000066069561
11
0,055
1092,5573
0,003025
60,090651
3,3049858
0,0001663
0,000009150625
Σ
0,3685
19436,266
0,0143782
550,27311
19,206122
0,0006174
0,0000282173998
Для уравнения регрессии вида Y = a0+ a1X найдем коэффициенты a1 иa0:
/>.
/>.
Для уравнения регрессии вида Y = a0+ a1X + a2X2 найдем коэффициенты a1, a2 иa0:
Решим систему нормальных уравнений способом Крамера:
/>
/>
/>.
/>
/>.
/>
/>.
Найдем определитель (det) матрицы:
/>. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>; />;/>.
/>; />; />.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
ПостроимграфикифункцийY = a+ a1X; Y = a+ a1X + a2X2 :
/>
X
0,012
0,0163
0,0206
0,0249
0,0292
0,0335
0,0378
0,0421
0,0464
0,0507
0,055
Y=ao+a1X
2833,143
2619,9
2406,658
2193,415
1980,172
1766,929
1553,686
1340,443
1127,2
913,9573
700,7144
Y=a+a1X+a2X2
3215,923
2748,207
2330,714
1963,444
1646,397
1379,574
1162,973
996,5962
880,4424
814,5117
798,8043
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
Для проверки адекватности модели определим абсолютные DYj и относительные погрешности /> в каждом из опытов.
DYj = /> — Yj; />,
где />– расчетное значение функции (отклика) в j-ой точке.
Данные представим в виде таблицы 3.
Табл. 3
j
Y = a+ a1X
Y = a+ a1X + a2X2
DYj
/>
DYj
/>
1
-768,6918
-0,21342
-385,9118
-0,10714
2
-92,531
-0,03411
35,776
0,01319
3
211,2237
0,09621
135,2797
0,06162
4
338,0513
0,1822
108,0803
0,05825
5
353,3076
0,21717
19,5326
0,012
6
305,684
0,20919
-81,671
-0,05589
7
214,109
0,15983
-176,604
-0,13183
8
89,9295
0,07191
-253,9173
-0,20305
9
-46,7877
-0,0398
-293,5453
-0,25004
10
-212,5033
-0,1886
-311,9489
-0,27693
11
-391,8429
-0,35865
-293,753
-0,26887
Просматривая значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.
С помощью анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить, вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения). Коэффициент детерминации R2 вычисляется по формуле: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
где /> – общее среднее значение функции отклика.
/>.
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы 4.
Табл. 4
Y = a+ a1X
Y = a+ a1X + a2X2
j
/>
/>
/>
1
3366863,62479
1136803,18835
1952571,23764
2
893965,95743
727552,24249
853898,13319
3
183613,13271
409247,73017
312848,71152
4
7819,94095
181886,66602
37616,467
5
19619,28834
45470,75597
14328,99238
6
93445,31841
0,00002
147047,20405
7
182633,3815
45474,39816
359786,00774
8
266689,37885
181893,9504
589419,20142
9
351584,44898
409258,65674
602866,06259
10
410205,24101
727568,0054
801506,847
11
454782,94891
1136822,67874
759273,70255
Σ
6231222,66188
5001978,27246
5732724,84892
Для уравнения регрессии Y = a0+ a1X:
/>
Для уравнения регрессии Y = a0+ a1X + a2X2:
/>
Т.к. в уравнениях регрессии /> оба уравнения принято считать работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a0+ a1X + a2X2
/>, а в уравнении регрессии вида Y = a0+ a1X />. Из этого следует, что в уравнении вида Y = a0+ a1X + a2X2 найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)), чем в уравнении вида Y = a0+ a1X.
ВЫВОД
В процессе выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:
— разрабатывать план проведения вычислительного эксперимента;
- проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;
- обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной (отклика) объекта с входными переменными (факторами);
- графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять адекватность и работоспособность регрессионной модели);
— вычислять коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать полученные результаты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972.
2.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. – Минск, 1982.
3.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. – М.: Наука, 1971.