Контрольная работа
Основы высшей математики
Оглавление
Введение
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
2 Произведение матриц
3 Транспонированная матрица
4 Задача
Список использованных источников
Введение
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.
Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
/>
играет роль единицы в матричном исчислении.
Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.
/>/>— дельта Кронекера
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В= k × A
bij = k × aij.
Матрица — А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
2 Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k +… + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А × Е = Е × А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А × (В × С) = (А × В) × С;
2. А × (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) × С = АС + ВС;
4. α × (АВ) = (αА) × В;
5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В)Т = АТ + ВТ.
3 Транспонированная матрица
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].
Например,
/>
Свойства транспонированных матриц:
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
/>
/>/>
/>
/>
Список использованных источников
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ, 2005. — 991 с.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. — Минск. ТетраСистемс, 2004. — 640 с.
4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. — 517 с.