Файл: MENTOR
© Н.М. Козий, 2007
Авторские права защищены
свидетельствами Украины
№ 23145 и № 27312
ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ, ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ
ГипотезаБиля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение
Аx +Вy= Сz/1/
не имеетрешения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и zбольше 2.
Сутьгипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аx = Сz — Вy/2/
Уравнение/2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B иС.
Уравнение/2/ запишем в следующем виде:
Аx = (С0,5z) 2 -(В0,5y)2 /3/
Обозначим:
В0,5y =V /4/
С0,5z =U /5/
Отсюда:
Вy =V2 /6/
Сz =U2 /7/
В =/>/8/
С =/>/9/
Тогда изуравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
Аx = Сz -Вy =U2-V2 /10/
Уравнение/10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чиселзапишем в виде:
Аx = (U-V) ∙(U+V)/11/
Длядоказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения/12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений/11/, /12/ и /13/ имеем:
Аx = X· (V+X+V) =X(2V+X) =2VХ+X2 /14/
Из уравнения/14/ имеем:
Аx — X2=2VХ /15/
Отсюда:
V=/>/16/
Из уравнений/13/ и /16/ имеем:
U= /> /17/
Из уравнений/8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B =/>/18/
C =/>/19/
Из уравнений/ 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С былицелыми, является делимость числа Аx начисло X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в составмножителей числа Аx. Другими словами, число Аx должно быть, например, равно:
Ax = (abc) x,/20/
где: a, b, c — простыеили составные целые положительные числа.
При этомдолжно быть, например:
X=сm; X2=c2m. /21/
В любымслучае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ x.
Из уравнений/ 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С былицелыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четнымиили оба нечетными.
Из уравнений/ 18/, /19/ и /20/ следует:
В=/>/22/
C=/>/23/
Обозначим:
P = /> /24/
Q = /> /25/
Тогда:
B = /> /26/
С =/>/27/
Из уравнений/24/ и /25/ имеем:
Q = /> /28/
Такимобразом, из уравнений /27/ и /28/ следует:
С =/>/29/
Из анализауравнений /26/ и /29/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь:
Q — P = P + 1 — P = 1, /30/
то, поменьшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.
Допустим,что число В — целое число.
ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; y = 4; m=2; 2m=4.
По формуле/25/ имеем:
B = /> =/>
Тогда:
при z=3: С = />= /> - дробное число.
при z=4: С = />= /> - дробное число.
при z=5: С = />= /> - дробное число.
при z=6: С = />= /> - дробное число.
Очевидно,что если
(dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,
где: d — целое число;
e — целое число.
Такимобразом, если допустить, что В — целое число, то С — дробное число.
Следовательно,гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Если в уравнении/1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой, т.е. x = y = z = n, то оно преобразуется в уравнение великой теоремы Ферма:
Аn +Вn= Сn /31/
Тогдауравнения /2/, /6/ — /11/, /16/ — /20/ примут вид:
Аn = Сn — Вn/32/
Вn =V2 /33/
Сn =U2 /34/
В =/>/35/
С =/>/36/
Аn = Сn — Вn = U2-V2 /37/
Аn = (U-V) ∙(U+V) /38/
V=/>/39/
U= /> /40/
B =/>/41/
C =/>/42/
Пусть: An = (abc) n,/43/
где: a, b, c — простыеили составные целые положительные числа.
При этомдолжно быть, например:
X=сm; X2=c2m. /44/
В любомслучае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ n.
Из уравнений/ 41/ и /42/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С былицелыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четнымиили оба нечетными.
Из уравнений/ 41/, /42/ и /43/ следует:
В=/>/45/
C=/>/46/
Обозначим:
P = /> /47/
Q = /> /48/
Тогда:
B = /> /49/
С =/>/50/
Из уравнений/47/ и /48/ имеем:
Q = /> /51/
Такимобразом, из уравнений /50/ и /51/ следует:
С =/>/52/
Из анализауравнений /49/ и /52/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь:
Q — P = P + 1 — P = 1, /53/
то, поменьшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.
Допустим,что число В — целое число.
ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; n =2m = 4; m=2.
По формуле/49/ имеем:
B = /> =/>
Тогда:
С = />= /> - дробноечисло.
Очевидно,что если (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,
где: d — целое число; e — целое число.
Таким образом,если допустить, что число В — целое число, то С — дробное число.
Следовательно,великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Если вуравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой иравны: x = y = z = 2, то оно преобразуется в уравнение теоремы Пифагора:
А2 +В2= С2 /54/
Тогда уравнения/2/, /6/ — /11/, /16/ и /17/ примут вид:
А2 = С2 — В2/55/
В2 =V2 /56/
С2 =U2 /57/
В =/>= V /58/
С =/>= U /59/
А2 = С2 — В2= U2-V2 /60/
А2 = (U-V) ∙(U+V) /61/
B = V =/>/62/
C = U = /> /63/
Поуравнениям /62/ и /63/ и заданному значению числа Aопределяются пары чисел B и С, которые с числом A образуют тройки пифагоровых чисел.ПРИМЕРЫ
Пример 1: А=3∙5=15; n=2; М=3.
В=Х=/>; С=Y=/>
А2=С2-В2=392-362=225;А=/>или: А2+В2=152+362=1521=392= С2
Пример 2: А=3∙5=15; n=2; М=5.
В=Х=/>; С=Y=/>
А2=С2-В2=252-202=225=152 или: А2+В2=152+202=625=252= С2
Пример 3: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙13=26.
В=Х=/>; С=Y=/>
А2=С2-В2=1302-1042=6084=782,или: А2 + В2=782+1042=16900=1302= С2
Пример 4: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙3=6.
В=Х=/>; С=Y=/>
А2=С2-В2=5102-5042=6084=782,или: А2 + В2=782+5042=260100=5102= С2
Такимобразом, из уравнения /60/ следует, что любое целое положительное число вквадрате всегда равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целыхположительных чисел.
ВЫВОДЫ
Из анализагипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора следует, что в основеих лежит одно и тоже уравнение:
Аx +Вy= Сz
При этом:
в уравнениигипотезы Биля показатели степени x, y,z больше 2 и не равны между собой;
в уравнении великойтеоремы Ферма показатели степени x, y,z больше 2 и равны между собой: x=y= z = n;
в уравнении теоремыПифагора показатели степени x, y,z равны между собой и равны: x= y= z = n=2.
Такимобразом:
уравнение теоремыПифагора является частным вариантом уравнения великой теоремы Ферма;
уравнениевеликой теоремы Ферма является частным вариантом уравнения гипотезы Биля.
Доказательствагипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора выполнены одним методом:методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом заменыпеременных. Тот факт, что использованный метод доказательства теоремы Пифагорадает возможность для любого числа А находить пары пифагоровых чисел В и С,позволяет сделать вывод, что и доказательства гипотезы Биля и великой теоремыФерма, выполненные тем же методом, достоверны.