Неединственность преобразований Лоренца.
Рассмотрим пространствоМинковского и изотропный конус. Рассмотрим две точки М и М’ на поверхностиизотропного конуса. Попробуем определить: есть ли единственность перевода точкиМ в точку М’, то есть, только ли известные преобразования Лоренца переводят М вМ’.
Преобразования должныбыть ортогональны, чтобы преобразования входили в ортогональную группу, длякоторой существует инвариант двух точек, то есть интервал, что дает нам правозадать метрическую форму.
Рассматриваем, какполучают условие ортогональности: оно начинается с рассмотрения вырожденностиканонической квадратичной формы. Форма должна быть не вырожденной, тогдаиспользуется известная формула. Так как мы рассматриваем поверхностьизотропного конуса, то форма у нас тождественный ноль, а значит вырождена. Этоозначает, что наша форма должна иметь на одну координату меньше, чемразмерность пространства. (Все это общеизвестные факты, см. литературу.) Еслиточку М определяют координаты x,y,z,t, а точку М’определяют координаты x’,y’,z’,t’, тогдапреобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты)выглядят:
(1) t=At’+Bx’, x=Dt’+Ex’ , y=y’, z= z’,
Чтобы форма не былатождественно равна нулю, и чтобы в ней было не четыре координаты (так какразмерность пространства четыре) нам необходимо зафиксировать, к примеру,координату z=z^, z’=z^’. Разделим форму для x,y,z,t на z^, а форму для x’,y’,z’,t’ на z^’, а затем заменим все координаты:
(2) T=t/z^, X= x/z^, Y=y/z^ и T’=t’/z^’, X’=x’/z^’, Y’=y’/z^’,
ясно,что мы получили квадратичные формы в каноническом виде отличные от нуля (небудем их расписывать).
Подставим в (2) формулы(1), тогда (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y):
(3) T= AT’+BX’, X= DT’+EX’, Y=Y’,
уравнения (3) в точностисовпадают с известными преобразованиями Лоренца, а значит ортогональны. Ч.т.д.
Но мы видим, что привведении произвольного коэффициента N для всех координат одновременно изменений в уравнениях (3) непроизойдет, действительно, если
(4) t=N(At’+Bx’), x=N(Dt’+Ex’) , y=Ny’, z= Nz’,
то уравнения (3) неизменятся, при этом сохранится их ортогональность, но уравнения (1) не будутединственными. Интервал, записанный в координатах (4) не изменяется, так как он- тождественный ноль, исследование на ортогональность по известным формулам непроводится, так как форма вырождена, но после того, как придем к не вырожденнойформе (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y), преобразованиякоординат будут ортогональны. Надо отметить это возможно только на поверхностиизотропного конуса.
Литература: 1) Н.В.Ефимов «Высшая геометрия».
2) Г.Е. Шилов «Математическийанализ. Конечномерные линейные пространства».
12 мая 2008год Игорь Елкин
Аннотация кстатье «Преобразования Лоренца не единственны»:
Основа физики –геометрия, так как только геометрия определяет способы задания координат (этооколо 400 страниц высшей математики, туда входит проективная геометрия и теориягрупп). Вывод из этих теорий однозначен – преобразования координат единственныи это преобразования Лоренца, но это внутри изотропного конуса. Еслирассмотреть поверхность изотропного конуса, то можно доказать на этомподпространстве, что эти преобразования не обладают единственностью. Самоеинтересное, что любые измерения расстояния (в трехмерном евклидовомпространстве) можно свести к измерению расстояния светом. Это означает, что мывсе рассматриваем на поверхности изотропного конуса. Это уже означает, что всепреобразования координат мы обязаны рассматривать на поверхности изотропногоконуса, а они не обладают единственностью.