Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Определение 3.3 Пусть /> — некоторая функция, />-её область определения и />-некоторый (открытый) интервал (может быть, с />и/или />)7. Назовём функцию />непрерывнойна интервале /> если />непрерывнав любой точке />, то есть длялюбого />существует />(в сокращённой записи: />
Пусть теперь />-(замкнутый) отрезок в />. Назовёмфункцию />непрерывной на отрезке />, если />непрерывнана интервале />, непрерывна справав точке />и непрерывна слева в точке />, то есть
/>
/>/>
Теорема 3.5 Пусть />и /> — функциии /> — интервал или отрезок, лежащий в />. Пусть />и />непрерывны на/>.Тогда функции />, />, />непpеpывнына />. Если вдобавок />пpи всех />,то функция />также непpеpывна на />.
Из этой теоpемы вытекаетследующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 — пpедложение 3.3:
Предложение3.4 Множество />всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке /> — это линейное пpостpанство:
/>
Более сложное свойствонепрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пустьфункция />непрерывна на отрезке />, причём />и/> — числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что />,а />.) Тогда существует хотя бы одно такое значение />, что />(то есть существуетхотя бы один корень />уравнения />).
Доказательство. Рассмотрим середину отрезка />. Тогда либо />, либо />, либо />. В первомслучае корень найден: это />. В остальныхдвух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция />принимаетзначения разных знаков: />в случае />или />в случае />. Выбранную половину отрезка обозначим через />и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины />и />, где />, и найдём />. В случае />корень найден; в случае />рассматриваемдалее отрезок /> вслучае /> — отрезок />и т.д.
/>
Рис.3.16. Последовательные деления отрезкапополам
Получаем, что либо нанекотором шаге будет найден корень />, либо будетпостроена система вложенных отрезков
/>
в которой каждыйследующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность /> — неубывающая и ограниченная сверху(например, числом />); следовательно (по теореме2.13), она имеет предел />. Последовательность /> — невозрастающая и ограниченная снизу(например, числом/>); значит, существуетпредел />. Поскольку длины отрезков />образуютубывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем />), то онистремятся к 0, и />, то есть />.Положим, теперь />. Тогда
/>и />
поскольку функция />непрерывна.Однако, по построению последовательностей />и />, />и />, так что, потеореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), />и />, то есть />и />.Значит, />, и /> — корень уравнения />.
Пример 3.14 Рассмотрим функцию />наотрезке />. Поскольку />и /> — числа разных знаков, то функция />обращаетсяв 0 в некоторой точке />интервала />. Это означает, что уравнение />имееткорень />.
/>
Рис.3.17. Графическое представление корняуравнения />
Доказанная теоремафактически даёт нам способ нахождения корня />, хотя быприближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деленияотрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим идругими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мыпознакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема неутверждает, что если её условия выполнены, то корень /> — единственный. Какпоказывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их3).
/>
Рис.3.18. Несколько корней функции,принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функциямонотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которогопринимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строгомонотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в томчисле и значение 0.
/>
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметьболее одного корня
Непосредственнымследствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема,которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3.7 (о промежуточном значениинепрерывной функции) Пусть функция />непрерывна наотрезке />и />(будем дляопределённости считать, что />). Пусть />-некоторое число, лежащее между />и />. Тогдасуществует такая точка />, что />.
/>
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любоепромежуточное значение
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию />, где />. Тогда />и />.Функция />, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такаяточка />, что />. Но эторавенство означает, что />.
Заметим, что если функцияне является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения.Например, функция Хевисайда />(см. пример 3.13)принимает значения />, />, нонигде, в том числе и на интервале />, не принимает,скажем, промежуточного значения />. Дело в том,что функция Хевисайда имеет разрыв в точке />, лежащей как раз винтервале />.
Для дальнейшего изучениясвойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойствосистемы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой определе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченногоснизу множества />(то естьтакого, что />при всех />и некотором />;число />называется нижней гранью множества />) имеется точная нижняягрань />, то есть наибольшее из чисел />, таких что />при всех />Аналогично, еслимножество />ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань />: этонаименьшая из верхних граней />(для которых />при всех />).
/>
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченногомножества
Если />, тосуществует невозрастающая последовательность точек />,которая стремится к />. Точно так же если />, то существует неубывающая последовательность точек />,которая стремится к />.
Если точка />принадлежитмножеству />, то />является наименьшимэлементом этого множества: />; аналогично,если />, то />.
Кроме того, для дальнейшегонам понадобится следующая
Лемма 3.1 Пусть /> — непрерывнаяфункция на отрезке />, и множество />техточек />, в которых />(или />, или />) непусто. Тогда в множестве />имеется наименьшеезначение />, такое что />привсех />.
/>
Рис.3.22. Наименьший аргумент, при которомфункция принимает заданное значение
Доказательство. Поскольку /> - ограниченноемножество (это часть отрезка />), то оно имеетточную нижнюю грань />. Тогдасуществует невозрастающая последовательность />, />, такая что />при />. При этом />, по определениюмножества />. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
/>
а с другой стороны,вследствие непрерывности функции />,
/>
Значит, />, такчто точка />принадлежит множеству />и />.
В случае, когда множество/>заданонеравенством />, мыимеем />при всех />и по теоремео переходе к пределу в неравенстве получаем
/>
откуда />, что означает, что />и />.Точно так же в случае неравенства />переход кпределу в неравенстве даёт
/>
откуда />, />и />.
Теорема3.8 (обограниченности непрерывной функции) Пусть функция />непрерывна наотрезке />. Тогда />ограничена на />,то есть существует такая постоянная />, что />при всех />.
/>
Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функцияограничена
Доказательство. Предположим обратное: пусть />неограничена, например, сверху. Тогда все множества />, />, />, не пусты. Попредыдущей лемме в каждом из этих множеств />имеется наименьшеезначение />, />. Покажем,что
/>
Действительно, />. Если какая-либо точка из />,например />, лежит между />и />, то
/>
то есть />-промежуточное значение между />и />.Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существуетточка />, такая что />, и />. Но />,вопреки предположению о том, что /> — наименьшее значениеиз множества />. Отсюда следует, что/>при всех />.
Точно так же далеедоказывается, что />при всех />, />при всех />, ит.д. Итак, /> — возрастающаяпоследовательность, ограниченная сверху числом />. Поэтому существует />. Из непрерывности функции />следует,что существует />, но />при/>, так что предела не существует. Полученное противоречиедоказывает, что функция />ограничена сверху.
Аналогично доказывается,что />ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабитьусловия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязанабыть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
/>
на отрезке />. Этафункция не ограничена на отрезке, так как при />имеет точку разрывавторого рода, такую что />при/>. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом илиполуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию />наполуинтервале />. Функциянепрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что />при />.
Поиск наилучшихпостоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданномотрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума имаксимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описываетсяследующей теоремой.
Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывнойфункцией) Пусть функция />непрерывна наотрезке />. Тогда существует точка />, такая что />при всех />(то есть />-точка минимума: />), и существует точка />, такая что />привсех />(то есть /> — точка максимума:/>). Иными словами, минимальное имаксимальное8 значения непрерывной функции наотрезке существуют и достигаются в некоторых точках />и />этогоотрезка.
/>
Рис.3.24. Непрерывная на отрезке функциядостигает максимума и минимума
Доказательство. Так как по предыдущей теоремефункция />ограничена на />сверху, тосуществует точная верхняя грань значений функции на /> — число />. Тем самым, множества />, />,..., />,..., не пусты, и попредыдущей лемме в них есть наименьшие значения />: />, />. Эти />неубывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
/>
и ограничены сверхучислом />. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченнойпоследовательности, существует предел />Так как />, то и
/>
по теореме о переходе кпределу в неравенстве, то есть />. Нопри всех />/>, и в томчисле />. Отсюда получается, что />, то естьмаксимум функции достигается в точке />.
Аналогично доказываетсясуществование точки минимума.
В этой теореме, как и впредыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, тоона может не достигать своего максимального или минимального значения наотрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
/>
на отрезке />. Этафункция ограничена на отрезке (очевидно, что />)и />, однако значение1 она не принимаетни в одной точке отрезка (заметим, что />, а не 1). Дело втом, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке />, так что при />предел/>не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция,заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком(на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. Вкачестве примера рассмотрим функцию />на интервале />.Очевидно, что функция непрерывна и что />и/>, однако ни значения0, ни значения1 функцияне принимает ни в какой точке интервала />. Рассмотрим такжефункцию />на полуоси />. Эта функциянепрерывна на />, возрастает,принимает своё минимальное значение0 в точке />, но не принимает нив какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом />и />