Задание на курсовую работу
Построить вариационный ряд
Рассчитать числовые характеристики статистического ряда:
а) Размах варьирования.
б) Среднее арифметическое значение.
в) Оценки дисперсии.
г) Оценки среднеквадратического отклонения.
д) Мода.
е) Медиана.
ж) Коэффициент вариации.
Построить полигон и гистограмму относительных частот.
Построить эмпирическую функцию распределения.
Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова.
Вычислить асимметрию и эксцесс.
Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%.
Выводы.
Данные по выборке вариант 34
-678
-752
-624
-727
-612
-632
-704
-697
-627
-727
-561
-748
-686
-676
-676
-696
-717
-694
-700
-707
-680
-681
-687
-656
-692
-644
-805
-758
-695
-722
-706
-704
-681
-608
-647
-699
-658
-686
-689
-643
-701
-716
-731
-623
-693
-703
-731
-700
-765
-697
-662
-705
-667
-677
-701
-678
-667
-673
-697
-701
-597
-716
-689
-694
-695
-729
-700
-717
-647
-673
-690
-578
-703
-688
-666
-670
-671
-693
-688
-646
-667
-689
-711
-731
-604
-691
-675
-686--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
-667
3
-643
1
-561
1
-746
1
-705
1
-694
2
-681
3
-666
2
-632
1
-731
3
-704
2
-693
2
-680
1
-662
2
-627
1
-729
1
-703
3
-692
1
-678
2
-660
1
-624
1
-727
2
-702
1
-691
1
-677
2
-658
1
-623
1
-722
1
-701
3
-690
1
-676
2
-656
1
-612
1
/>
2.3 Оценка дисперсии
/>
/>(2.3)
где s2 – несмещенная оценка генеральной дисперсии;
/>
/>
2.4 Оценка среднего квадратического отклонения
/>(2.4)
/>
2.5 Определение моды
Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.
Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n=3имеют варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667.
2.6 Определение медианы
Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:
МВ=(xk+xk+1)/2 (2.5.)
где xk – пятидесятый член вариационного ряда;
xk+1 – пятьдесят первый член вариационного ряда;
n– Количество вариант и n=2*k
МВ=(xk+xk+1)/2=(-689–689)/2= -689
2.7 Расчет коэффициента вариации
Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:
/>(2.6)
/>
Вывод:
Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением. продолжение
--PAGE_BREAK--
Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.
В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.
3. Построение полигона и гистограммы относительных частот
Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.
Таблица 3
Номер интервала
I
Частичный интервалxi–xx+1
Сумма относительных частот
wi
Плотность частот
/>
xi
xx+1
1
-805
-780,6
0,01
0,00041
2
-780,6
-756,2
0,02
0,00082
3
-756,2
-731,8
0,03
0,00123
4
-731,8
-707,4
0,12
0,00492
5
-707,4
-683
0,4
0,01639
6
-683
-658,6
0,24
0,00984
7
-658,6
-634,2
0,08
0,00328
8
-634,2
-609,8
0,05
0,00205
9
-609,8
-585,4
0,03
0,00123
10
-585,4
-561
0,02
0,00082
По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).
Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.
/>
/>
/>
Рис 1.
Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.
4. Построение эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:
/>(4.1)
где nx– число вариант меньших х;
n–объем выборки.
По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.
/>
Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:
F(x)
Интервал
X
-792,8
0,01
-792,8
-768,4
0,02
-768,4
-744
0,03 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
7,2344
2,6344
5
26
-707,4
-683
-0,8741
-0,2542
-0,099
0,1141
21,31
1,0322
31,7222
6
33
-683
-658,6
-0,2542
0,3658
0,1141
0,2939
17,98
12,5473
60,5673
7
14
-658,6
-634,2
0,3658
0,9857
0,2939
0,4131
11,92
0,3630
16,4430
8
8
-634,2
-609,8
0,9857
1,6057
0,4131
0,4713
5,82
0,8166
10,9966
9
3
-609,8
-585,4
1,6057
2,2256
0,4713
0,4927
2,14
0,3456
4,2056
10
3
-585,4
-561
2,2256
0,4927
0,5
0,73
7,0588
12,3288
СУММА
100
100
40,6851
140,6851
X2набл=40,685
Контроль: />140,685–100=40,685
Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости />.
/>
Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством />, а область принятия нулевой гипотезы – неравенством/>.
Уровень значимости /> = 0,05;
По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1.
Вывод: Так как X2набл> X2кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.
6. Расчет асимметрии и эксцесса
Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.
/>, где />
Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.
/>, где />
Значение ХВ, s вычисляем по формулам:
/>,
где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).
/>,
где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);
/>(условный момент второго порядка);
/>(условный момент первого порядка); продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(условная варианта).
Расчеты занесем в таблицу 7:
Xi
Ni
Ui
XB
M1
M2
s
m3
m4
AS
EK
-805
1
-2,73
-684,67
0,30
1,06
23,97
3433,28
4193007,72
0,25
12,71
-780,6
1
-2,11
-756,2
4
-1,49
-731,8
7
-0,87
-707,4
26
-0,25
-683
33
0,37
-658,6
14
0,99
-634,2
8
1,61
-609,8
3
2,23
-585,4
3
2,85
Вывод:
Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.
Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.
7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения
Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как:
/>(7.1) продолжение
--PAGE_BREAK--
где n – объем выборки;
tg – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.
s – исправленное среднее квадратическое отклонение;
/>– выборочное среднее;
Найдем интервал:
по приложению 1 находим tg= 1.984 при g = 0.95 и n= 100;
/>=-684,67; s= 38,19;
Получаем
/>
-692,25
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
(с надежностью g) находят как:
/>при q
/>при q>1 (7.3)
где q находят по приложению 2, по заданным n и g;
Исходя из приложения 2, n = 100 и g = 0.95 находим q=0.143;
Поэтому интервал находим по формуле (7.2):
/>
32.73
Вывод:
Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25’ находиться в доверительном интервале 32.73
Вывод
Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.
Я нашла:
размах варьирования R=244;
среднеарифметическое значение статистического ряда />=-684,67;
несмещенную оценку генеральной дисперсии s2=1458,99;
среднее квадратическое отклонение s=38,19;
медиану МВ=-689 и коэффициент вариации V= />5,58%.
С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале
-692,25а
и среднее квадратическое отклонение в интервале
32,73
Выборка имеет варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.
На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.
Асимметрия as=0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.
Эксцесс ek=12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.
Список литературы
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высшая школа, 2001.