Государственныйуниверситет экономики статистики и информатики
Реферат
по предмету:Высшая математика
на тему: Местои роль математики в менеджменте и экономике
Глава 1. Развитие понятия функции
Изучение свойств функциии построение ее графика являются одним из самых замечательных приложенийпроизводной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергалсятщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложенияхматематики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями,появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанныхматематикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила негодились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.
Развитие функциональныхпредставлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступениобучения помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывахфункций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ееприменения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основныхэлементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальнойдействительности, в человеческой практики.
Начиная с XVIII века одним из важнейших понятийявляется понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познанииреального мира.
Необходимые предпосылки квозникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическаягеометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решениюгеометрических задач.
Идея функциональнойзависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первыхматематически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилахдействий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех илииных фигур и геометрических тел.
Однако явное и вполнесознательное применение понятия функции и систематическое изучениефункциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеипеременных.
Четкого представленияпонятия функции в XVII веке еще небыло, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепеннопонятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения –формулы.
Явное определение функциибыло впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величиныназывают количество, образованное каким угодно способом из этой переменнойвеличины и постоянных».
Во второй половине XIX века понятие функции формулируетсяследующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствиенекоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве Азадана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В.
Общее понятие функцииприменимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другимматематическим объектам, например, к геометрическим фигурам.
Краткий обзор развитияпонятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и,вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюцияматематики в целом.
Глава2. Основные свойства функции 2.1 Определениефункции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нулифункции
функцияграфик экономический
Умение изображатьгеометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важнодля успешного усвоения курса высшей математики.
Как известно,функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значениювеличины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции,ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у;совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называетсяобластью изменения функции.
Независимую переменную хназывают также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называютзначением функции f в точке х и обозначают f(x).
Функцию можно задатьтремя способами: аналитический, табличный, графический.
Аналитический – с помощьюформул.
Табличный – с помощьютаблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного наборазначений аргумента.
Графический способзадания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойствафункции.
Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости,где y=f(x), а х «пробегает»всю область определения функции f.
Пример 1. Найти областьопределения функции
y = lg (2x-3) у= lg(2x-3)
D(y): 2x-3 >0
2x > 3
х > 1,5
Ответ: D(y) = (1,5; +∞ ).
Одним из понятий дляисследования функции является нули функции.
Нули функции – это точки,в которых функция принимает значение нуля.
Пример 2. Найти нулифункции
y = 4x-8
у = 4x-8
D(y) = R
По определению:
у = 0,
тогда
4х-8 = 0
4x = 8
х = 2
Ответ: нулями этойфункции является точка х = 2.
2.2 Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции)
Рассмотрим функции,области определения которых симметричны относительно начала координат, то естьдля любого х из области определения число (-х) также принадлежит областиопределения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.
Определение: Функция f называется четной, если для любого хиз ее области определения f(-x) = f(x).
График четной функциисимметричен относительно оси ординат.
Пример 3. Определить видфункции
y = 2cos2x.
у = 2cos2x,
D(y) = R
y(-x) = 2cos2(-x)= -2cos2x = 2cos2x = y(x) – четная.
Пример 4. Определить видфункции
y = x4 — 2x2 + 2.
Y = x4 — 2x2 + 2,
D(y) = R.
y(-x) = (-x)4 — 2(-x)2 + 2 = x4 — 2x2 + 2= y(x) – четная.
Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее областиопределения f(-x) = -f(x).
График нечетной функциисимметричен относительно начала координат.
Пример 5. Определить видфункции
y = 2sin2x.
у = 2sin2x,
D(y) = R
y(-x) = 2sin2(-x)= -2sin2x = -y(x) – нечетная.
Пример 6. Определить видфункции
y = 3x + 1/3x.
у = 3x + 1/3x
y(-x) = 3(-x) + 1/3(-x) = -3x — 1/3x = -(3x + 1/3x) = -y(x) – нечетная.
Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T) = f(x) = f(x-T).
Пример 7. Определитьпериод функции
y = cos2x.
cos2x = cos2(x+T)= cos(2x+2T),
где 2T = 2π,т.е. Т = π.
Для построения графикапериодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезкедлиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.
Пример 8. Построитьграфик периодической функции
f(x) = sin2x.
f(x) = sin2x,
sin2x = sin2(x+T)= sin(2x+2T),
где 2Т = 2π, т.е. Т = π.
/>2.3 Возрастаниеи убывание функций. Экстремумы
Также к свойствам функцииотносятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 измножества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).
Функция f убывает на множестве Р, если длялюбых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f(x2)
Иными словами, функция f называется возрастающей на множествеР, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большеезначение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргументасоответствует меньшее значение функции.
При построении графиковконкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax).
Точка х0 называетсяточкой максимума функции f,если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤ f(x0).
Точка х0 называетсяточкой минимума функции f,если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≥ f(x0).
Точки минимума имаксимума принято называть точками экстремума.
Пример 9. Найти точкиэкстремума, экстремумы функции y = x2+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.
у = x2+2x, D(y) = R
y’ = (x2+2x)’ = 2x+2
y’ = 0, т.е. 2х+2 = 0
2х = -2
х = -1
Исследуем знакпроизводной справа и слева от крайней точки.
x = -2, y’= -4+2
x = 0, y’= 0+2>0
Так как производнаяменяет свой знак с «-» на «+», то х = -1, это точка минимума функции. Так какфункция непрерывна в точке х = -1, то функция возрастает на [-1;+∞] иубывает на [-∞;-1].
/>
Точки экстремума: xmin = -1
Экстремумы функции: ymin = y(-1) = 1 – 2 = -1
Глава3. Исследование функций 3.1 Общая схема исследования функций
Исследуя функцию, нужнознать общую схему исследования:
1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)
2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)
3) Вид функции:четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.
4) Точки пересеченияграфика функции с осями Ох и Оу (по возможности).
5) Промежутки знакопостоянства:
а) функция принимаетположительное значение: f(x) > 0
б) отрицательное значение: f(x)
6) Промежуткимонотонности функции:
а) возрастания;
б) убывания;
в) постоянства ( f = const).
7) Точки экстремума(точки минимума и максимума)
8) Экстремумыфункции (значение функции в точках минимума и максимума)
9) Дополнительныеточки.
Они могут быть взяты длятого, чтобы более точно построить график функции.
Следует заметить, чтоэкстремумы функции f не всегдасовпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.
3.2 Признаквозрастания и убывания функций
Если строить графикфункции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавнойлинией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек можетоказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться отграфика заданной функции.
Если при исследованиифункции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е.точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, тодаже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представлениео графике функции.
Определение монотонностифункции на интервале Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точекх1 и х2 этого интервала из условия
х1 f(x2), то функция называется убывающейна этом интервале.
Достаточный признакмонотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную(отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает(убывает) на этом интервале.Геометрическое истолкование теоремывесьма простое, если вспомнить, что f’(x) = tgα, α – это угловой коэффициент касательной кграфику функции в заданной точке х. Если, например, f‘(x) > 0 во всех точках некоторогоинтервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, азначит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f‘(x) Определение точекэкстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестностивыполняется неравенство f(x) ≤ f(x0) (неравенство f(x) ≥ f(x0)), точка х0 называется точкоймаксимума (точкой минимума) этой функции.
Точки максимума минимумаявляются внутренними точками области определения функции.
Необходимый признаксуществования экстремума дифференцируемой функции.
3.3 Теорема Ферма
Если х0 есть точкаэкстремума функции f(x) и в этой точке производнаясуществует, то она равна нулю: f ’(x0)=0.
Эта теорема не являетсядостаточным условием существования экстремума дифференцируемой функции: если внекоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует,что в точке х0 функция имеет экстремум.
Замечание: теорема неверна, если функцию рассматривать на отрезке.
Определение критическихточек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых еепроизводная равна нулю или не существует, называют критическими точкамифункции.
Достаточные условиясуществования экстремума.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) > 0 наинтервале [a, x0] и f‘(x)
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f‘(x) 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x).
Для отысканияэкстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой изних проверить выполнение достаточных условий экстремума. 3.4 Наибольшие и наименьшие значения функции
Правила отысканиянаибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отысканиянаибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некоторомпромежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка,вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всехполученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Глава4. Место и роль математики в менеджменте и экономике
Сегодня математикавыступает в качестве необходимого и вполне работоспособного инструмента,используемого для повышения эффективности результата в различных областяхцеленаправленной человеческой деятельности. Одной из таких областей являетсяуправление предприятиями и другими организациями, ведение современногохозяйства – менеджмент и экономика. Решение многих управленческих иэкономических задач строится на рассмотрении зависимостей интересующих насвеличин от различных факторов. Функция показывает, как одна величина зависит отдругой. При этом ту величину, от которой ищется зависимость, называютнезависимой переменной или аргументом (х), а ту величину, которая зависит отаргумента, называют зависимой величиной или функцией (у). Например, можносказать, что прибыль является функцией от затрат или что цена товара естьфункция от спроса на него. Выражение функции в общем виде записывается как у=f(x) Например, известно, что рентабельность (норма прибыли — НРПР) связана с прибылью (ПР) следующим образом: НРПР = ПР: З ∙100%, гдеЗ – затраты. Здесь прибыль является аргументом, а норма прибыли – функциейприбыли. Важной для менеджмента и экономики является функция, показывающаязависимость эффективности (Э) от дохода (Д) и затрат:/>Э = Д: З. В математике различаютследующие основные простейшие функции:
— постоянные:/>у = С, (C = const),
где С – постоянное число;
— степенные: у = уⁿ;
— показательные: у = ах/>Складывая,вычитая, умножая и деля простейшие функции, получают так называемыеэлементарные функции. Вот некоторые из часто употребляемых в менеджменте иэкономике элементарных функций:
— линейная функция илилинейная форма: y = kx+b;
— функция второй степениили квадратичная форма: y = ax2+bx+c;
— функция n-й степени или многочлен n-й степени, например, многочлен 4-йстепени:
у = 5х4 + 3х3 + 4х2 + 7х– 6.
4.1 Таблицы и графики
Функции обычнохарактеризуются математическими зависимостями, которые удобно представить ввиде наглядных графиков. Следует иметь в виду, что по сложившейся традиционнойпрактике в ряде экономических задач назначение координатных осей меняется:вертикальная ось используется для аргументов, а горизонтальная – для функций (что иногда приводит к путанице). Особенно широкое применение получили графикифункций прямой и обратной пропорциональности. Пример: Построить график нормыприбыли (рентабельности) в зависимости от прибыли при постоянных затратах,равных 750 у.д.е. Решение: Норма прибыли (рентабельность) рассчитывается поформуле: НРПР = ПР: З ∙ 100%. По этой формуле строится график нормыприбыли (функция) в зависимости от величины прибыли (аргумент) при постоянныхзатратах (примем З = 750 у.д.е.).
Пример: Построить график эффективностив зависимости от затрат при постоянном доходе, равном 100 у.д.е. Решение: Эффективностьрассчитывается по формуле: Э = Д: З. По этой формуле строится графикэффективности в зависимости от затрат при постоянном доходе (примем Д = 100у.д.е.).
/>
Это график обратнойпропорциональности. В тех случаях, когда нет возможности представить функцию ввиде математической формулы, построению графика предшествует составлениетаблицы, содержащей данные об интересующей нас зависимости. В этих таблицахзначения аргументов и функций даются с интервалами, достаточными для построенияплавного графика. Пример: Рассмотрим спрос на мороженое в ларьке за один день. Цена за одну порцию, у.д.е. Кол-во порций мороженного, покупаемых за день (величина спроса)
600
650
700
750
800
60
35
25
15
10
Решение: По данным таблицыпостроим график спроса. По традиции аргументы здесь откладываются по оси у, афункции – по оси х. График представляет собой кривую обратно пропорциональнойзависимости, что соответствует закону спроса.
Анализируя таблицу играфик, следует отличать спрос от величины спроса. Спрос в данном случае – этовся совокупность цен и соответствующего количества товара в таблице. На графикеспросу соответствует вся кривая линия. Величина же спроса – это конкретноезначение количества товара, продаваемого за один день по каждой данной цене; ейсоответствуют отдельные точки линии спроса на графике. Когда говорят обизменении спроса на товар, имеют в виду смещение в ту или иную сторону всейкривой (или новые значения цен, соответствующих количеству продаваемого товарав таблице). С помощью графика спроса можно решить следующие задачи: 1)определить величины спроса – количество продаваемого товара при любых измененияхцены; 2) определить характер изменения спроса (больше, меньше, без изменений)при изменениях цен на товар и количества продаваемого по этим ценам товара. Изменениеспроса (положения кривой и ее формы) зависит главным образом от изменений:
— вкусов покупателей(например, повышение интереса к экологически чистым продуктам);
— числа покупателей;
— дохода покупателей;
— цен на сопутствующиетовары (например, повышение цен на источники электропитания для переносной радиоаппаратурыизменяет спрос на саму аппаратуру);
— покупательских ожиданий(например, если ожидается неурожай, спрос на сельхоз продукцию можетповыситься). 4.2 Пример исследования функции в менеджменте и экономике
Совместное рассмотрениеспроса и предложения. Равновесная цена.
Совместное рассмотрениеспроса и предложения начнем с анализа данных таблицы, где представлены спрос ипредложение на мороженое за один день.
Спрос и предложениемороженогоЦена за одну порцию у.д.е. Кол-во порций мороженого, покупаемых за день (величина спроса) Кол-во порций мороженого, предлагаемых за день (величина предложения)
600
650
700
750
800
60
35
25
15
10
–
25
40
50
60
По данным таблицыпостроим математическую модель – график спроса и предложения на мороженое заодин день.
/>
С помощью данной моделилегко проследить динамику изменения спроса и предложения на товар и формированиеего рыночной цены.
Цена, соответствующаяточке на графике, находящейся в пересечении линии спроса и предложения,называется равновесной. В данном случае она равняется 668 у.д.е. Это та цена,по которой будет осуществляться купля-продажа товара при данных спросе ипредложении, которые равны 30 порциям. Действительно, стоит продавцу поднять ценутовара выше равновесной, например 700 у.д.е., как соответствующая ей величина спросаупадет до 25 порций. Но при этом до такой же величины должно будет упасть ипредложение, что соответствует цене предлагаемого товара в 650 у.д.е.Уменьшение цены предлагаемого товара вызовет рост величины спроса, котораябудет расти до тех пор, пока не приведет цену в равновесную точку: послеравновесной точки дальнейший рост спроса будет ограничиваться падением цены исвязанного с ним предложения. Таким образом, приход цены в равновесную точкуосуществляется путем ее затухающих колебаний около равновесной точки. Тожесамое произойдет и при первоначальном установлении цены ниже равновесной точки– соответствующие изменения величин спроса и предложения возвратят цену в точкуравновесия.
Заключение
Справедливости ради надосказать, что по сравнению с другими науками экономика и менеджмент были наодном из последних мест по глубине проникновения в них математических знаний,созданию количественных методов исследования. Многие ученые-экономисты считали(а некоторые считают и по сей день), что экономика, управление организациями,как и другие общественные науки, — знания чисто описательного характера. Потребностипрактики, однако, требуют от экономики и менеджмента все более точных иизощренных расчетов. И тут без математики не обойтись. Развитиепредпринимательства сопровождается появлением и быстрым совершенствованиемнауки о рыночном управлении предприятиями и производством – становлениемнаучного менеджмента. Математика – язык, на котором сегодня говорит любаяточная наука. Математические идеи пронизывают современные макро имикроэкономику, служат основой автоматизации управленческих и производственныхпроцессов, базой для совершенствования компьютерных программ. В настоящее времяматематический аппарат является признанным инструментом менеджмента иэкономики. С его помощью разрабатываются конкретные прикладные задачиуправления предприятиями и организациями, оптимизации бизнеса и производства,финансового регулирования.
/>
Список литературы
1. Башмаков, М.И.Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.
2. Гусев, В.А.Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.
3. Дорофеев, Г.В.Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.
4. Зорин, В.В. Пособиепо математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.
5. Абчук В.А.Математика для менеджеров и экономистов: Учебник.-СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2002 г.
6. Исследованиеопераций в экономике: Учеб. Пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005г.