Институтпредпринимательства и современных технологий
МЕТОДИЧЕСКИЕМАТЕРИАЛЫ
ПОУЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«Высшаяматематика»
ДЛЯСТУДЕНТОВ I КУРСА ЗАОЧНОЙ ФОРМЫОБУЧЕНИЯ
ПОСПЕЦИАЛЬНОСТИ «Финансы и кредит»
ЧастьI
Житомир
1999
Методические материалы по учебной дисциплине«Высшая математика» для студентов Iкурса заочной формы обучения по специальности «Финансы и кредит»(Часть I).
Составили: Шумко Л.И., кандидаттехнических наук, доцент;
Шумко Л.Г., кандидат техническихнаук, доцент;
Коваль Т.Л., кандидатфизико-математических наук.
Рецензент: Нестерчук А.В., кандидатфизико-математических наук, доцент, зав.кафедрой математического анализаЖитомирского государственного педагогического университета им.И.Франка.
Житомир: ИПСТ, 1999
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов-заочниковспециальностей «Финансы и кредит» и «Информационные системы вменеджменте», для которых учебным планом предусмотрено изучение общегокурса высшей математики в объеме 180 учебных часов. Методические указаниясодержат рабочую программу курса высшей математики, общие рекомендации поизучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцырешения некоторых задач, контрольные задания. Вопросы для самопроверки болееподробно расшифровывают программу курса и позволяют студентам-заочникампроверить уровень своей подготовленности по каждой теме программы общего курсавысшей математики.
Общие методические указания.
Основной формой обучениястудента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом:чтение учебников. решение задач, выполнение контрольных заданий. Если впроцессе изучения материала или при решении задач у студента возникаюттрудности. то можно обратиться к преподавателю кафедры высшей математики дляполучения консультации. После изучения определенной темы по учебнику, решениязадач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.
В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучаюткурс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестрепо две контрольные работы.
Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестрепосле изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно.
Третья и четвертая контрольная работа выполняются студентами во 2семестре после изучения тем 5-7 и 8-9 соответственно.
При выполнении контрольных работ студент должен руководствоватьсяследующими указаниями:
1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тетради (в клетку), навнешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, егоинициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт,домашний адрес студента.
2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров. указанных взаданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условия.
3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылкина вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.
4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождатьсячертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единицмасштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведеннымна чертежах.
5.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4см длязамечаний преподавателя.
6.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не самостоятельновыполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленностипо теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, тоона не будет зачтена.
7.Студент выполняет тот вариант контрольной работы. который совпадает споследней цифрой его учебного шифра.
Ниже приведены таблицы номеров задач для контрольных работ.
1. Причетырех контрольных работах по учебному плану:
Номера задач для контрольных заданий №
/>1
2
3
4 1 1, 11, 21, 31, 41 51, 61, 71, 81, 91 101, 111, 121, 131 141, 151, 161, 171 2 2, 12, 22, 32, 42 52, 62, 72, 82, 92 102, 112, 122, 132 142, 152, 162, 172 3 3, 13, 23, 33, 43 53, 63, 73, 83, 93 103, 113, 123, 133 143, 153, 163, 173 4 4, 14, 24, 34, 44 54, 64, 74, 84, 94 104, 114, 124, 134 144, 154, 164, 174 5 5, 15, 25, 35, 45 55, 65, 75, 85, 95 105, 115, 125, 135 145, 155, 165, 175 6 6, 16, 26, 36, 46 56, 66, 76, 86, 96 106, 116, 126, 136 146, 156, 166, 176 7 7, 17, 27, 37, 47 57, 67, 77, 87, 97 107, 117, 127, 137 147, 157, 167, 177 8 8, 18, 28, 38, 48 58, 68, 78, 88, 98 108, 118, 128, 138 148, 158, 168, 178 9 9, 19, 29, 39, 49 59, 69, 79, 89, 99 109, 119, 129, 139 149, 159, 169, 179 10 10, 20, 30, 40, 50 60, 70, 80, 90, 100 110, 120, 130, 140 150, 160, 170, 180
2. Придвух контрольных работах по учебному плану:
Номера задач для контрольных заданий №
1
2 1 1, 21, 31, 41, 51, 61, 81 101, 111, 131, 141, 151, 161 2 2, 22, 32, 42, 52, 62, 82 102, 112, 132, 142, 152, 162 3 3, 23, 33, 43, 53, 63, 83 103, 113, 133, 143, 153, 163 4 4, 24, 34, 44, 54, 64, 84 104, 114, 134, 144, 154, 164 5 5, 25, 35, 45, 55, 65, 85 105, 115, 135, 145, 155, 165 6 6, 26, 36, 46, 56, 66, 86 106, 116, 136, 146, 156, 166 7 7, 27, 37, 47, 57, 67, 87 107, 117, 137, 147, 157, 167 8 8, 28, 38, 48, 58, 68, 88 108, 118, 138, 148, 158, 168 9 9, 29, 39, 49, 59, 69, 89 109, 119, 139, 149, 159, 169 10 10, 30, 40, 50, 60, 70, 90 110, 120, 140, 150, 160, 170 Рабочая программа курса «Высшая математика»
Рабочая программа рассчитана на 180 учебных часов, содержит перечислениетем. которые должны быть изучены студентами. Последовательность изучения тем,методика их изложения и распределение по семестрам устанавливается с учетомпотребностей специальных и смежных кафедр.
Содержание программы.
ТЕМА 1. Элементы линейной алгебры.
1.1 Определителивторого и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителяхn-го порядка.
1.2 Решение системлинейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
1.3 Матрицы. Действиянад матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений иее решение с помощью обратной матрицы.
1.4 Ранг матрицы.Основные теоремы о ранге. Вычисление ранга матрицы. Произвольные системылинейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
1.5 Жордановыисключения. Применения Жордановых исключений в линейной алгебре. Базисные исвободные переменные. Базисные решения. Метод Гаусса-Жордана
1.6 Метод полногоисключения переменных. Нахождение базисных решений системы линейных уравнений.Неотрицательные базисные решения системы линейных уравнений.
1.7 Понятие собственных чисел и собственных векторов матриц. Методыих нахождения.
1.8 Понятие квадратичной формы. Положительно определенныеквадратичные формы. Условия Сильвестра. Приведение квадратичной формы кканоническому виду.
ТЕМА 2. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры.
2.1 Системы координат на прямой. плоскости. в пространстве. Основныезадачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка вданном отношении).
2.2 Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.через точку в заданном направлении, через две точки. Общее уравнение прямой.Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности двухпрямых. Расстояние от точки до прямой.
2.3 Канонические уравнения кривых второго порядка; окружности, эллипса,гиперболы, параболы.
2.4 Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.Длина вектора. Угол между векторами. Проекция вектора на оси. Координатывектора. Скалярное произведение векторов.
2.5 Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и линейнонезависимые системы векторов. Базис системы векторов. Многомерные векторы.действия с ними. Ортогональные системы векторов. Переход от одного базиса кдругому.
2.6 Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точкуперпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости, его исследование,понятие гиперплоскости.
2.7 Неравенства первой степени наплоскости и их геометрический смысл. Решение линейных неравенств на плоскости ив пространстве.
Тема 3.Введение в математический анализ.
3.1.Определение функции. Область определения функции; способы ее задания.
Графическое изображение функции. Понятия о неявной. обратной. сложнойфункции. условия ее существования. Основные элементарные функции.
3.2 Числовая последовательность и ее предел. Предел функции.Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, ихсвойства. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.
3.3 Непрерывность функции в точке и на интервале. Использованиенепрерывности для вычисления пределов. Раскрытие неопределенных выражений.Точки разрыва функции. Типы разрывов, их классификация. Непрерывность основныхэлементарных функций. Свойства функций. непрерывных на отрезке. Сравнениебесконечно малых функций и их эквивалентность. Использование эквивалентностидля вычисления пределов.
ТЕМА 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной, его использованиедля исследования функций.
4.1 Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основныетеоремы о производной. Производные основных элементарных функций. Производнаясложной функции. Производная обратной и неявной функции. Производные высшихпорядков. Применения понятия производной в экономике.
4.2 Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойствадифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
4.3 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Точки экстремума. Необходимые и достаточныеусловия существования экстремума.
4.4 Исследование с помощью производных функций на выпуклость и вогнутостьТочки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построениеграфика. Использование выпуклого анализа функций в экономических вопросах.
ТЕМА 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.
5.1 Определение функции нескольких независимых переменных. Областьопределения. Предел и непрерывность функции нескольких независимых переменных.Частные производные первого порядка. Понятие о частных производных высшихпорядков.
5.2. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; егоприменение в приближенных вычислениях. Производная в данном направлении.Градиент функции, его свойства, использование при решении экономических задач.
5.3.Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие. Понятие одостаточных условиях экстремума функций от двух независимых переменных.Условный экстремум. Примеры экономических задач.
5.4.Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способунаименьших квадратов.
5.5. Неявные функции. Производные от неявных функций.
ТЕМА 6.Неопределенный интеграл.
6.1.Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.Основные методы интегрирования.
6.2.Интегрирование рациональных дробей с квадратичными знаменателями.Интегрирование рациональных дробей методом разложения на элементарные дроби.
6.3.Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование некоторыхтригонометрических выражений.
ТЕМА 7.Определенный интеграл.
7.1 Задачи. приводящие к понятию определенного интеграла. Определенныйинтеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла.
7.2 Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связьмежду определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона-Лейбница).Вычисления определенных интегралов способом подстановки и по частям.
7.3 Геометрические приложения определенного интеграла: вычислениеплощадей криволинейных фигур и объемов тел вращения. Приближенное вычислениеопределенных интегралов по формулам прямоугольников. трапеций Симпсона.
7.4 Несобственные интегралы:
-интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
-интегралы от неограниченных функций.
7.5 Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла кповторному.
ТЕМА 8.Дифференциальные уравнения.
8.1 Понятие о дифференциальном уравнении и его решении. Задача Коши.Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимисяпеременными. однородных и линейных.
8.2 Решение линейныхнеоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постояннымикоэфициентами и с правыми частями специального вида: f(x)=Pn(x)*eax;f(x)=eax(Acos Bx+Bsin Bx)
8.3 Системылинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие обустойчивости решений.
8.4 Линейныеразностные уравнения с постоянными коэффициентами.
Тема 9.Ряды.
9.1 Понятие числового ряда. Сходимость рядов. Свойства сходящихся рядов.Необходимое условие сходимости. Ряд геометрической прогрессии.
9.2 Признаки сходимости рядов с положительными членами – признакДаламбера, Коши (радикальный и интегральный), признаки сравнения.
9.3 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. ТеоремаЛейбницк.
9.4 Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Область сходимостистепенного ряда. Разложение функций в степенной ряд.
Библиографический список
1. Кудрявцев В. А..Демидович В. П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука.1985г.
2. Карасев А. И..Аксютина Е. М… Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономическихВУЗов. М.: Высшая школа.ч1.ч2.1982г.
3. Минорский В. П.Сборник задач по высшей математике. М.:«Наука».1978г. М.: Высшаяшкола.1979г.
1. Якечисло називається комплексним ?
а) числа виду />, де x і />– дійсні числа, називаютьсякомплексними числами.
б) числа виду />
в) числа виду />
2. Який вигляд має тригонометрична форма комплексного числа z?
а) />
б) />
в) />
3. />; /> чому дорівнює />
а) />
б) />
в) />
4. />. Чому дорівнює z16?
а) />
б) />
в) />
5. Як поділити комплексні числа задані в тригонометричнійформі ?
а) треба модуль чисельника поділити на модуль знаменника, ааргументи додати;
б) треба модуль чисельника помножити на модуль знаменника, авід аргумента чисельника відняти аргумент знаменника;
в) треба модуль чисельника поділити на модуль знаменника, авід аргумента чисельника відняти аргумент знаменника;
6. Що називається об’єднанням двох множин A і B ?
а) об’єднанням двох множин A та B називається множина, яка складаєтьсяіз тих елементів що належать одночасно обом множинам;
б) об’єднанням множин A та B називається множина, яка складаєтьсяіз тих і тільки тих елементів, які містяться хоча би в одній із множин A або B;
в) об’єднанням двох множин A і B називається множина, яка складаєтьсяіз тих і тільки тих елементів, які належать А але не належать В.
7. Щоназивається висловлюванням ?
а) Висловлюванням називається всяке речення;
б) Висловлюванням називається всяке твердження, про яке можнасказати чи воно істинне чи хибне;
в) Висловлюванням називається деяка сукупність об’єктів,об’єднанних в одну групу за якоюсь ознакою.
8. Які логічні операції ілюструють паралельне та послідовнез’єднання контактів електричного кола ?
а) імплікація;
б) заперечення;
в) диз’юнкція та кон’юнкція.
9. Що називається границею функції /> в точці /> ?
а) число /> називаєтьсяграницею функції /> в точці /> якщо для всякого /> знайдеться таке />, що як тільки /> /> />
б) число /> називаєтьсяграницею функції /> в точці />, якщо при /> />
в) число /> називаєтьсяграницею функції /> в точці />, якщо />.
10. В якомувипадку функція /> називається нескінчено малоюв точці /> ?
а) якщо />;
б) якщо />;
в) якщо />.
11. В якому випадку функція /> називаєтьсянескінченно великою в точці /> ?
а) якщо />;
б) якщо />;
в) якщо />.
12. Чому дорівнює границя відношеннясінуса аргумента до аргумента при прямуванні аргумента до нуля ?
а) />;
б) />;
в) />.
13. Чому дорівнює /> ?
а) />;
б) />;
в) />.
14. Функція /> визначена в точці /> і її границя в цій точці дорівнюєзначенню функції в цій точці />. Якназивається така функція ?
а) неперервною;
б) диференційованою;
в) інтегрованою.
15. Що таке похідна функції /> ?
а) це відношення приросту функції до приросту аргументу;
б) це відношення приросту аргумента до приросту функції;
в) це границя відношення приростуфункції до приросту аргумента при умові, що приріст аргумента прямує до нуля.
16. Який механічний зміст похідної ?
а) це швидкість зміни функції;
б) це кутовий коефіцієнт дотичної;
в) це прискорення.
17. Як обчислюється похідна складноїфункції />, /> ?
а) />;
б) />;
в) />.
18. Функція /> диференційована в точці />. Чи буде вона неперервноюв цій точці ?
а) не буде;
б) залежить від вигляду функції;
в) якщо функція диференційована вточці />, то вона в ній інеперервна.
19. Що таке диференціал функції /> ?
а) диференціал функції – це головначастина приросту функції, лінійна відносно />;
б) диференціал функції – це приріст функції;
в) диференціал функції – це різницяміж двома послідовними значеннями аргумента функції.
20. Для розкриття невизначеностейяких видів можна користуватись правилом Лопіталя ?
а) />; б) />; />; в) />.
21. Похідна функції на інтервалі /> додатня. Що можна сказатипро поведінку функції на /> ?
а) функція зростає;
б) функція спадає;
в) функція стала.
22. Функція зростає на />. Що можна сказати пропохідну функції на /> ?
а) похідна від’ємна;
б) похідна дорівнює нулю;
в) похідна додатня.
23. Функція /> в точці /> має екстремум. Що можнасказати про значення її похідної в цій точці ?
а) />;
б) /> або /> не існує;
в) />.
24. /> іпри переході через цю точку змінює свій знак з + на —.Що можна сказати прозначення функції /> ?
а) функція в точці /> має max;
б) функція в точці /> має min;
в) функція в точці /> від’ємна.
25. На проміжку /> />. Яким буде графік функціїна цьому проміжку ?
а) графік функції опуклий;
б) функція зростає;
в) графік функції угнутий.
26. Графік функції на /> опуклий. Що можна сказатипро значення другої похідної на цьому проміжку ?
а) />;
б) />;
в) />.
27. />. Чи має цяфункція асимптоту і яку ?
а) /> - похилаасимптота;
б) /> - вертикальнаасимптота;
в) /> - горизонтальнаасимптота.
28. Які умови повинні виконуватись,щоб функція /> мала похилу асимптоту /> ?
а) повинна існувати границя />;
б) повинна існувати границя />;
в) повинні одночасно існувати границі /> і />
29. Що називається векторною функцією скалярного аргумента t ?
а) змінний вектор /> називається векторноюфункцією скалярного аргумента;
б) />;
в) />.
30. Яким рівнянням задається дотичнадо кривої в просторі заданої за допомогою рівнянь /> вточці, що відповідає значенню /> ?
а) />
б) />;
в) />;
31. Яка функція називається первісною для функції /> ?
а) — це функція />,похідна від якої дорівнює />;
б) — це функція />, якадорівнює />;
в) — це функція />, якадорівнює />.
32. Записати первісну /> функції/>
а) />;
б) />;
в) />.
33. Записати первісну /> функції/>
а) />;
б) />;
в) />.
34. В чому полягає універсальна тригонометрична підстановка ?
а) />; б) />; в) />.
35. Як визначається визначений інтеграл ?
а) />;
б) />;
в) />.
36. Укажіть формулу Ньютона – Лейбніца.
а) />;
б) />;
в) />.
37. Чому дорівнює />?
а) />; б) />;
в) />.
38. Укажіть формулу Сімпсона.
а) />;
б) />;
в) />.