I. Введение
Прирассмотрении различных явлений и процессов, происходящих в природе, приходитсяучитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например,при движении мы рассматриваем зависимость пройденного пути от времени, принахождении площади круга рассматривается зависимость между площадью круга и егорадиусом и т.д. Такие зависимости называют функциональными. В основефункциональной зависимости лежит не просто зависимость, а полная определенностьсоответствия между переменными величинами.
Впервыеопределение функции было дано русским математиком Н.И. Лобачевским.
Переменнуювеличину S называют функцией другойпеременной величины t, если каждому значению величины t (из некоторой области)поставлено в соответствие вполне определенное значение величины S.
II. Преимущества и недостатки аналитического играфического способов задания
Термин“функция” введен Лейбницем, а символическая запись функциональной зависимости
Такойспособ часто применяется вестествознании, технике и т.д., например, при использовании самопишущихприборов, автоматически записывающих изменения одной величины от изменениядругой. К недостаткам графического способа задания функции можно отнести:нахождение приближенного значения функции при определенном значении аргумента,функции заданные аналитически, могут быть изображены и графически, к графикунельзя непосредственно применить аппарат математического анализа, но графикимеет преимущество – наглядность. По графику функции можно многое узнать о “поведении” этой функции.
Для функции , график которой изображен на рисунке, можно указатьнесколько ее свойств.
1) При
2) и ) график функции пересекает ось абцисс, т.е. в этих точках
3) и при , график расположен выше оси абсцисс, т.е. функцияпринимает положительные значения. При , функция принимает трицательные значения.
Рис.1
4) функция возрастает, а при убывает. При х>0 функция только возрастает и т.д. Частодля получения графика функции наносят на координатную плоскость несколько точекграфика, а затем проводят через эти точки плавную кривую. Построение графикафункции “по точкам” не является точным изображением графика функции, поэтомутак важно проводить дополнительные исследования, чтобы построеный график былприближен к точному графику. Исследование функций, заданных аналитически,проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматриватьи графики этих функций. Т.о. умение строить графики функций, заданныханалитически, является важным элементом в общей математической подготовкеучащихся.
В школьном курсе математики рассматриваются элементарные функции.
III. Элементарные функции.
К основным элементарным функциямотносятся следующие функции:
1) степенная функция , где n–вещественное число.
2) показательная функция , где .
3) логарифмическая функция где .
4) тригонометрическиефункции .
5) обратныетригонометрические функции .
Функции , так же являются элементарными.
IV. Методы построения графиков функции
В школьном курсе математикипостроение графиков элементарных функций: даже для очень слабоподготовленных учащихся не составляет особого труда. Но если требуетсяпостроить график функции, тесно связанный с уже известными функциями, длянекоторых учащихся эта задача представляет трудность.
Например, приработе с такими функциями, как
Кроме того,ошибки могут возникнуть на стадии выбора значений аргумента: их недостаточностьили большой разрыв между соседними значениями аргумента. При работе с функциейнеобходимо учитывать область определения функции, т.е. отделить те значения аргумента,при которых выражение, задающее функцию, теряет смысл. Чтобы избежать этого, можно применитьуже известные приемы.
В школьном курсе построениеграфика такой функции строится в два приема: Строится по точкам график функции . Выполняется параллельный перенос построенного графика на определенные расстояния в определенном направлении в зависимости от знаков aи b.
№ 1. Алгоритмпостроения.
1) Построим прямоугольнуюсистему координат и выполним разметку по осям карандашом (впоследствии этаразметка нам не пригодится).
2) К построенной системекоординат построим график функции
3) Выполним параллельныйперенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).
4) Выполним разметку (уже ручкой).
5) В данной системекоординат построенный график является графиком функции
№3. Алгоритм построения.
1) Построим системукоординат х/о/у/
2) По точкам построим функции
3) Выполним параллельныйперенос оси о/х/ на 4 единицы в отрицательном направлении(вниз).
4) Выполним разметку всистеме координат хоу.
Для болееточного построения графика функции, и . При отсутствии шаблона построение графика функции , становится более трудоемким. Особенно это относитсяк построению графика гармонического колебания.
Упростить эту работу можно, спомощью следующих приемов.
Прием №1. Для того, чтобы построить график функции и сдвинуть ось ОУ на |a| единиц (точка О“ползет” по оси Ох).
Если, а>0, то ось Оу надосдвинуть в положительном направлении на |a| единиц (т.е. вправо). Если же a
1) х/о/у/
2)
3) а.
4) Выполнитьновую разметку.
Рассмотрим несколько примеров.
№1Построить график функции
Алгоритм построения.
6) Построим прямоугольнуюсистему координат и выполним разметку по осям карандашом (впоследствии этаразметка нам не пригодится).
7) К построенной системекоординат построим график функции
8) Выполним параллельныйперенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).
9) Выполним разметку (уже ручкой).
10) В данной системекоординат построенный график является графиком функции
№2 Построить график функции
Алгоритм построения.
1) по точкамв х/о/у/
2)
3) Выполнимновую разметку.
Рассмотрим построение графика функции .
Прием №2. Для того, чтобыпостроить график функции , надо построить график функции |b| единиц (точка О “ползет” по Оу).
Если b>0, то ось Ох смещается на |b| единиц в отрицательномнаправлении (вниз). Если же b
Составим алгоритм построения графика функции .
1) х/о/у/
2) Построитьграфик функции
3) /х/ в зависимости от знака b.
4) хоу.
Рассмотрим несколько примеров
№3 Построить график функции
Алгоритм построения.
5) Построим системукоординат х/о/у/
6) По точкам построим функции
7) Выполним параллельныйперенос оси о/х/ на 4 единицы в отрицательном направлении(вниз).
8) Выполним разметку всистеме координат хоу.
№4 Построить график функции .
Алгоритм построения.
1) х/о/у/ построим график функции
2)
3) Выполнимразметку в хоу.
Правило 3.
Для построения графика функции надоиспользовать прием №1 и №2 последовательно.
№5 Построить график функции
Алгоритм построения.
1)
2)
№6 Построить график функции
Алгоритм построения.
1) х/о/у/ построим график функции
2)
Рассмотрим прием № 4
Для того, чтобы построить графикфункции /(-а:b). Во вспомогательнойсистеме координат построить график функции . Тогда в данной системе координат построенный графикбудет графиком функции
Алгоритм построения.
1) хоу.
2) о/
3) х/о/у/,где о/х/ || охи о/у/ || oy.
4) х/о/у/ построим график .
5)
6)
№7 х/о/у/построим график о/ (-3:-4)
Прием № 4 более удобен для работы по сравнению с приемами№1- №3, кроме того, этот прием более приближен к приемам построения кривыхвторого порядка, заданных общим каноническим уравнением второго порядка ваналитической геометрии, изучаемой в вузах.
№8 Построитьграфик функции:
Во вспомогательной системе х/о/у/, где о/-вершина параболы
О/ (Хо; Уо)
О/(1;-2).
№9 Построитьграфик функции:
Во вспомогательной системекоординатной х/о/у/,где о/ (-3;2)построим график функции
№10
Во вспомогательной системекоординат х/о/у/построим график функции
о/(-2;1)
V.