--PAGE_BREAK--
10. Скалярным произведением векторов aи bназывают число равное произведению длин этих векторов на cosугла между ними. Пусть çaçи çbça— угол между векторами, тогда из определения следует ab= çaç× çbçcosa. Пусть a1 – угол который образует вектор aс положительным направлением оси ОХ. a2 – угол который образует вектор bс положительным направлением оси ОХ. a=a1-a2 ab = êaê×êbêcos (a1-a2).
êa êcos a1 × êb êcos a2 + êa êsin a1 × êb êsin a2 = x1x2+y1y2. Таким образам скалярное произведение векторов aи bможно вычислить как сумму произведения их соответствующих координат. Это определение скалярного произведения эквивалентно первоначальному. Свойства векторов: 1.)ab= ba. 2.)a× = . 3.) a(b +c) = ab + ac. 4.) (la) × (lb) = l(ab). 5.) aa= êaê2. 6.) aa³aa= Ûa= . 7.) ab= Û a^b. Предполагается, что нулевой вектор ^любому вектору. Аналогичным образом определяется скалярное произведение для векторов расположенных в трехмерном пространстве свойства 1 –7 остаются неизменными.
11. Линейная зависимость и независимость векторов. Коллинеарные и компланарные вектора.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на ||прямых.
Если векторы и являются коллинеарными, то они наклонены под одним и тем же углом положительного направления оси ОХ, значит Þ,Þ — условие коллинеарности векторов.
Два вектора называются компланарными если они находятся в разных плоскостях и не пересекаются.
12. Декартоваяпрямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком – нибудь порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая – осью ординат. Начало координат обозначают буквой О, ось абсцисс – символом ОХ, ось ординат – символом ОУ. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа Х = ОМх, У = ОМу, где Мх иМу суть проекции точки М на оси ОХ и ОУ, ОМх обозначает величину отрезка ОМх оси абсцисс, ОМу – величину отрезкаОМу оси ординат. Число Х называется абсциссой точки М, число У называется ординатой этой же точки. Символ М (Х; У) обозначает, что точкаМ имеет абсциссой число Х, а ординатой число У. ОсьОУ разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОХ, называется правой, другая – левой. Точно так же ось ОХ разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОУ, называется верхней, другая нижней.
Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые номеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй – лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей – лежащая в левой ив нижней полуплоскости, четвертой – лежащая в правой и в нижней полуплоскости.
13. Векторным произведениемвектора aна векторbназывается вектор, обозначаемый символом [
ab
]и определяемый следующими тремя условиями: 1)модуль вектора [
ab
]равен ï
a
ï
×
ï
b
ï
sin
j
,гдеj— угол между векторамиaиb; 2) вектор [
ab
]не
неперпендикулярен к каждому из векторовaи b; 3) направление вектора [
ab
]соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если вектор a
,
bи [
ab
]приведены к общему началу, то вектор [
ab
]должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по векторуa), а указательный – по второму (т. е. по векторуb). Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: [
ab
]
= -
[
ab
]
.Модуль векторного произведения [
ab
]равенS
параллелограмма, построенного на векторахaи b
:ê
[
ab
]
ê
=
S. Само векторное произведение может быть выражено формулой [
ab
]
=
Se
,где e– орт векторного произведения. Векторное произведение [
ab
]обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы a
и
bколлинеарны. В частности [aa
] = 0. Если система координатных осей правая и векторы a
и
b
заданы в этой системе своими координатами: a
= {
X
1;
Y
1;
Z
1},
b
={X
2;
Y
2;
Z
2}, то векторное произведение вектора aна вектор bопределяется формулой[ab
] = Свойства:1) aa=q 2) ab= (ba) 3) a(b1 + b2) = ab1 + ab2 4) (la)b= a(lb) = l(ab).
Смешанное произведение. Пусть даны a
(
X
1;
Y
1;
Z
1),
b
(
X
2;
Y
2;
Z
2),
c
(
X
3;
Y
3;
Z
3).
Смешанным произведением трех векторов a
,
b
,
cназывается число, равное векторному произведению [ab
], умноженному скалярно на вектор c, т. е. [ab
]
c
.Именно место тождество: [ab
]
c
=
a
[
bc
],ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab
]
cупотребляется более простой символ: abc
. Таким образом, a
,
b
,
c
= [
ab
]
c
,
abc
=
a
[
bc
]. Смешанное произведение abc
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a
,
b
,
c
, взятому со знаком плюс. Если векторы a
,
b
,
c
компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc
рано нулю; иначе говоря, равенство abc
= 0, есть необходимое и достаточное условие ком планарности векторов a
,
b
,
c
. Если векторы a
,
b
,
c
заданы своими координатами: a
={
X
1;
Y
1;
Z
1},
b
= {
X
2;
Y
2;
Z
2},
c
= {
X
3;
Y
3;
Z
3;}
14. Простейшие задачи аналитической геометрии. 1) Вычислим расстояние между двумя точками на плоскости:
2) Деление отрезков в данном отношении. Пусть на плоскости даны две точки с координатами М1(X1;Y1) и M2(X2;Y2). Найти координаты точки М лежащей между М1 и М2 на отрезке М1М2, если выполняется условие: . Проекции точки М на ось абсцисс будет делить отрезок X1X2 в той же самой проекции, потому , l1X2 — l1X= l2X— l2X1. Аналогичным образом можно получить, что , , ,
15. Полярные координаты.
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа r= ОМ и qcosq, sinq. В этом же случае формулы , tgq= являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштабов для обеих систем одинаковыми.
16. Различные виды уравнения прямой.
Рассмотрим прямую проходящую через точки М1М2, пусть М произвольная точка лежащая на этой прямой тогда векторы ММ2 и М1М являются коллинеарными. Вектор ММ2 = (X2 – X; Y2 – Y), M1M = (X — X1; Y– Y1). Из условия коллинеарности векторов, следует, что 1). 1) — уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пусть X2 – X1 = K, Y2 – Y1 = L, тогда вектор a= (K; L) параллельна данной прямой направляющий вектор 1) может быть записано в виде: 2). 2) — уравнением прямой проходящей через данную точку М1 в заданном направлении 2) каноническим уравнением прямой. Если три точки М1, М2 и М лежат на одной прямой, то площадь треугольника равна нулю. 3). 3) – уравнение прямой в виде определителя приравняем отношение равенства 1) к некоторому числу T. X— X1 = (X2 – X) T, X–X1 = KT; Y– Y1 = (Y2 –Y1) T, Y– Y1 = LT. (X = X1 + KT, Y = Y1 + LT 4)).4) – называется параметрическим уравнением. Пусть на плоскости заданы две точки Aи B, лежащие на координатных осях A(a; 0), B(b; 0). Найдем уравнение прямой проходящей через точки Aи B. ; ; — 5) . 5) – называется уравнением прямой на отрезке.
Нормальное уравнение прямой. Пусть прямаяпроходит через точку М(X; Y) перпендикулярно отрезку OP. Длинаотрезка , , cos, p = r(cosacos + sinasinb), p = (r cosb)cosa+ (r sinb)sina. Xcosa+ Ysinb= p– нормальное уравнение прямой. продолжение
--PAGE_BREAK--
17. Расстояние от точки до прямой.
Пусть дана какая – нибудь прямая и произвольная точка М*; обозначим через dрасстояние точки М* от данной прямой. Отклонением dточки М* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и –d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. Если даны координаты X*, Y* точки М* и нормальное уравнение прямой Xcosa+ Ysina— p= 0, то отклонение dточки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле d= X* cosa+ Y* sina— p. Таким образом, чтобы найти отклонение какой – нибудь точки М* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки М*. Полученное число будет равно искомому отклонению. Чтобы найти расстояние dот точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d= . Если дано общее уравнение прямой Ax+ By+ C= 0, то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель m, определяемый формулой . Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
18. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Пусть на плоскости заданы две прямые:A1x+ B1y+C1 = 0 A2x+ B2y+ C2 = 0 – 1). Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых: 1) Прямые пересекаются в одной единственной точке, это означает, что система 1) имеет единственное решение. ¹0. 2) Прямые параллельны и не совпадают, это означает, что система 1) не имеет решений. В соответствии с теоремой Капели – это возможно тогда и только тогда, когда rang не совпадает с rang. 3) прямые совпадают, это означает, что система 1) имеет множество решений. Это возможно тогда, когда rangсовпадает с rang. Это возможно в том случае, когда коэффициенты пропорциональны: .
19. Плоскость в пространстве.
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Всякий вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение A(X– Xo) + B(Y– Yo) + C(Z– Zo) = 0 – 1) определяет плоскость, проходящую через точку Мо (Xo; Yo; Zo) и имеющую нормальный вектор n
= {
A
;
B
;
C
}.Раскрывая в уравнении 1) скобки и обозначая число – AXo– BYo– CZo буквой D, представим его в виде: AX+ BY+ CZ+ D= 0. Это уравнение называется общим уравнением плоскости. Различные виды уравнения плоскости. Пусть в пространстве заданы три различные точки М1(X1; Y1; Z1) M2(X2; Y2; Z2) M3(X3; Y3; Z3). Через эти три точки можно провести плоскость единственным образом. Рассмотрим точку M(X; Y; Z) лежащую в этой плоскости, тогда выполняется условие — 1). Если условие 1) не выполняется, то точка М не лежит в этой плоскости, поэтому 1) называется уравнением плоскости проходящей через три заданные точки записанная в форме определителя. Раскроем определитель по элементам первой строки и обозначим коэффициенты, стоящие перед X,A; перед Y, B; перед Z, C, то тогда получим уравнение плоскости в виде AX+ BY+ CZ+ D=0 – 2) – общее уравнение плоскости. Предположим, что 2) D¹0 и рассмотрим плоскость, заданную уравнением AX+ BY+ CZ= 0 – 3). Очевидно, что система линейных уравнений, состоящая из равенств 2) и 3) не имеет решений. Это означает, что плоскости 2) и 3) не пересекаются. Следовательно, плоскость 3) êê
2). Рассмотрим производную точку М лежащую в плоскости 3), когда вектор ОМ целиком лежит в этой плоскости вектор ОМ (X; Y: Z), поэтому 3) можно рассматривать как равное нулю, скалярного произведения векторов ОМ и N(A; B; C).Тогда из 3) следует, что вектор Nперпендикулярный плоскости 3). Поэтому вектор М называется нормальным вектором плоскости, т. к. 2) êê
3), то N^к этой плоскости, поэтому Nназывается нормальным вектором и для плоскости 2). — Уравнение плоскости отрезка.
Взаимное расположение плоскостей. 1) A1X + B1Y + C1Z + D1 = 0 2) A2X + B2Y + C2Z + D2 = 0. 1.Пусть плоскости 1 и 2 пересекаются. В этом случае имеются точки, принадлежащие одновременно плоскостям 1и 2. Поэтому система линейных уравнений, составленная из 1и 2 имеет по крайней мере, одно решение. Для этого необходимо и достаточно выполнения условия:
2.Если плоскость 1 параллельна 2, то это означает, что с.л.у. составленная из 1и2 не имеет решений. Для этого необходимо и достаточно выполнения условия: 3. Пусть плоскость 1и2 совпадают. .
Расстояние от точки до плоскости. Пусть точка М* — какая угодно точка пространства, d– расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением dточки М* от данной плоскости называется число +d, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число –d, если они расположены по одну сторону от данной плоскости. Если даны координаты X*, Y*,Z* точки М* и нормальное уравнение плоскости Xcosa+ Ycosb+ Zcosg— p= 0, то отклонение dточки М* от этой плоскости может быть вычислено по формуле d= X* cosa+ Y* cosb+ Z* cosg— p. Очевидно d= . Общее уравнение плоскости Ax+ By+ Cz+ D= 0, приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель, определяемый . Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
20. Прямая в пространстве.
Рассмотрим в пространстве две точки М1(X1; Y1; Z1) и M2(X2; Y2; Z2) можно провести единственную прямую. Пусть М(X; Y; Z) лежит на этой прямой, тогда векторы М1М2 и М1М каллинеарны М1М2(X2 – X1; Y2 –Y1; Z2 –Z1); M1M(X–X1; Y–Y1; Z– Z1). Из условия координат следует — 1). 1) – уравнение прямой в пространстве проходящей через две заданные точки. X2 – X1 = kY2 –Y1 = lZ2 – Z1 = m A(k; l; m) êêпрямой проходящей через М1 и М2. — 2) уравнение прямой проходящей через заданную точку М1 с заданным направляющим вектором.
Взаимное расположение прямых и плоскостей. Пусть дана плоскость Ax+ By+ Cz+ D= 0 — 3) . Пусть дана прямая — 4). A(l; m; n)– направляющий вектор для прямой. Тогда A* n= êAê* ênêsina. sina= = — 5). Из 5) следует, что прямая 4) êê
3), тогда угол a= 0 следует Al+ Bm+ Cn = 0 – условие параллельности прямой плоскости. Если 4) ^
3), то a=90. — условие перпендикулярности прямой и плоскости.
21. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
Общее у-е кривых второго порядка:
После изменения начала координат и переноса начала координат в новую т. или поворта координатных осей, кривые второго порядка могут быть преобразованы к более простому (каноническому) виду. В результате преобразований у-е может описывать следующие линии: эллипс; гиперболу; параболу; пару êêпрямых; пара пересекающихся прямых; точка.
Эллипс.
Эллипсом называют геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая чем расстояние между фокусами.
Пусть задан эллипс F1и F2– фокусы эллипса, выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокусы, начало координат выберем между фокусами. F1(c;0), F2(-c,0), C>0.
Пусть т. М лежит на эллипсе êMF1ê+êMF2ê=const=2a>2cÞa>c, , r1 и r2–фокальные радиусы. , , , , , , , , , , , , , — каноническое у-е эллипса.
Из канонического у-ия следует, что вместе с т. М лежащей на эллипсе, точки М1(х;-у), М2(-х; у), М3(-х;-у) так же лежат на эллипсе, таким образом эллипс симметричен оси абсцисс и оси ординат. — вершины.
Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая чем расстояние между фокусами.
Пусть дана гипербола, F1и F2– фокусы гиперболы, выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокусы, начало координат выберем между фокусами. F1(c;0), F2(-c,0)
, , , , , , , , , , , , , — каноническое у-е гиперболы.
Из канонического у-ия гиперболы получим ,, ассимптоту гиперболы можно найти по формуле
Параболой называют геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусам, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой.
Выберем систему координат следующим образом, ось абсцисс проведём через фокус ^директрисе, начало координат выберем посередине между фокусом и директрисой.
тогда из определения — экцентрисситет.
1) , элиптический тип
Пара пересекающихся прямых (точка)
2) , гипербогический тип
гипербола
Пара пересекающихся прямых
3) , параболический тип
парабола
Пара êêпрямых
23. Числовая последовательность. Основные понятия.
Пусть определено правило по которому каждому натуральному числу ставится в соответствии некоторое соответственное число, тогда говорят, что задана числовая последовательность. Мы будем рассматривать аналитический способ, в этом случае числовая последовательность задаётся с помощью математических выражений..
Числа которые ставятся в соответствие натуральным числам, называются элементами последовательности..
Числовая последовательность может быть задана рекуррентным способом, в этом случае каждый элемент числовой последовательности определяется при помощи пред идущих элементов.
Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего.
Числовая последовательность называется монотонно убывающей, если каждый следующий элемент меньше предыдущего.
Числовая последовательность называется неубывающей, если выполняется условие
Числовая последовательность называется неубывающей, если выполняется условие
Числовая последовательность называется стационарной, если .
Числовая последовательность называется ограниченной, если можно указать такое число А, что для всех nвыполняется условие
— убывающая ограниченная, — ограниченная.
Пусть задана числовая последовательность, изобразим элементы этой последовательности в виде точек на числовой оси
тогда монотонное возрастание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена правее предыдущей.
Монотонное убывание ч.п. означает, что каждая следующая тока расположена левее предыдущей.
Очевидно, что числовая последовательность , будет ограниченной тогда и только тогда, когда можно указать отрезок , такой, что ",
24. Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
Ни для одного значения nдля данной числовой последовательности не может выполнятся условие , действительно, если это условие выполнимо для данного ,
Элементы данной числовой последовательности могут сколь угодно близко располагаться около 1. , значит расстояние от точек соответствующее элементам , до точки 1 равно , поэтому какое бы не было положительное число dне было задано, всегда будет выполнятся условие , d=0,01, , n>100.
e— окрестностью числа А называется множество чисел удовлетворяющих неравенству e— интервал (А-e, А+e)
Пусть дана числовая последовательность . А – называется пределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого числа eможно указать такй номер N, что все эти элементы числовой последовательности , будут попадать в eокрестности числа А при , , .
Последовательность для которой существует предел, называется сходящейся.
Если число А является пределом числовой последовательности Аn, то это означает, что все элементы числовой последовательности попадают в сколь угодно малую окрестность числа А, начиная с некоторого номера.
Теорема 1: всякая сходящая числовая последовательность имеет единственный предел.
Теорема 2: всякая сходящая числовая последовательность ограничена.
Теорема 3: пусть даны три числовые последовательности, , предположим, что "n.
Пусть последов. и являются сходящими, причём , тогда последовательность также является сходящейся и , теорема о двух милиционерах.
Выберем произвольное положительное число e, "eнайдём N1 и N2, такие чтобы выполнялись Þнеравенства:
, (1)
, (2)
N– maxиз (N1, N2), тогда "n>Nодновременно выполняются неравенства:
А-e
А-e
Поэтому "n>Nвыполняются неравенство:
А-e, таким образом является сходящейся и имеет .
Теорема 4: всякая монотонно возрастающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.
Всякая монотонно убывающая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.
Арифметические св-ва сходящихся последовательностей.
, .
Теоремы:
1)
2)
3) А¹0,
продолжение
--PAGE_BREAK--
25.
26. Понятие функции.
Пусть на некотором числовом множестве mопределено правило, по которому каждому числу из множества mставится в соответствии некоторое вещественное число. Тогда говорят, что на множество Mзадана функция. Множество M– называется областью определения этой функции. Обычно предполагают, что множество Mпредставляет некоторый интервал, открытый или замкнутый ограниченный или ¥. Множество точек Xпринадлежащих множеству Mбудет образовывать на числовой оси некоторое множество. Это множество будет называться открытым, если вместе с любой точкой Xиз этого множества этому множеству Mпринадлежит некоторое ε окрестность X. Точка XÎMназывается граничной точкой, если в любой eокрестности точки Xможно указать точки, не принадлежащие множеству M. Множество М называется замкнутым, если дополнительное к нему множества является открытым R^\ M. Объединение любого числа отрытых множеств является открытым множеством, пересечение конечного числа множеств является открытым множеством. Следует, что пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутым, объединение конечного числа замкнутых множеств являются замкнутыми. Пусть на множестве Mопределена функция. Это будем обозначать следующим образом: y= f(x), x ÎM; xÎM. Величина xбудет называться независимой переменной или аргументом yзначение, которой зависит от x— называется зависимой переменной или функцией. Рассмотрим на координатной плоскости множество точек G= {(x; f(x)), xÎM}. Множество G– называется графиком функции. Пусть на множестве Mопределены две функции y= f(x); y= g(x), тогда функция h(x) значение, которой вычисляется по правилу h(x) = f(x) + g(x) – является суммой. Функция h(x) = f(x)g(x) называется произведением. Функция может быть задана различными способами: 1) Графический способ 2) Словесный или сательный 3) Аналитический. Пусть на множестве xопределена функция y= f(x) со значениями во множестве Yпредположим, что на множестве Yопределена функция со значениями множествам Xx= g(y). Пусть при этом выполнены условия x= g(f(x)), y = f(g(y)). Тогда функция x=g(y) – называется обратной функцией по отношению к функции y= f(x). Из определения следует, что функция y=f(x) так же является обратной функцией по отношению к функции x=g(y) по этому эти функции называются взаимно обратными. Примеры: 1)xÎ[0;¥]yÎ[;¥] g(f(x)) =g f(g(y))=. 2) Пусть дана функция ; ; y= h(v) = h(g(u))®h(g(f(x))); y= f(x), x= g(y), y= f(g(y)), x= g(f(x)); g= lnx, , f(x) = lnx, , , 3) , , ; ,x = arctgy, tg(arctgy) = y, yÎ(-¥;¥), arctg(tgx) = x, . график функции y= f(x), график функции x= g(y), тогда . Таким образом графики двух взаимно обратных функций совпадают, т. к. обычно через xобозначают независимую переменную, а через yзависимую переменную, то удобнее обратную функцию x= g(y) записывать в виде y= g(x) это приведет к тому, что график функции y= g(x) будет симметричен графику функции x=g(y), относительно биссектрисы одного координатного угла.
27. Предел функции в точке.
x= f(x), XoÎD(f) Xo– называется точкой сгущения, если в любой ее окрестности всегда можно указать точки из области определения функции y= f(x). Дальше всегда будем считать, что Xoточка сгущения. Число Aназывается пределом функции y=f(x), при , если для любой числовой последовательности Xnсходящейся к Xo, . Это определение эквивалентно следующему: Aназывается пределом функции f(x) при X®Xo, если для любого числа eможно указать такое положительное число Δ, то из неравенства . Из свойств пределов следует: 1) 2) 3) 4) .
28. Асимптоты. Опр. Если точка (x; y) непрерывно перемещается по кривой y= f(x) так, что хотя бы одна из них координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Если существует число aтакое, что , то прямая x= aявляется вертикальной асимптотой. Если существуют пределы , то прямая будет асимптотой (правая наклонная или, в случае K1 = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы , то прямая — асимптота (левая наклонная или, в случае K2 = 0, левая горизонтальная асимптота). График функции y= f(x) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой или левой асимптоты.
3
.
31) Вычисление предела .
Пусть X>0, угол измеренный в rad. AB=sinx, ÈAC=x, DC=tgx, очевидно, что AB, (1), , , , , , т.к. при , , то
, Þ, таким образом, sinxи х являются эквивалентны бесконечно малым величинам, из доказанного предела следует, что
32. Непрерывность функции в точке и на интервале. Примеры.
Пусть ф-я y=f(x), определена на некотором интервале (a;b), пусть , тогда ф-я y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b).
Если ф-я y=f(x) является непрерывной в каждой точке интервала (a;b), то она непрерывна на интервале (a;b) из свойств limÞчто если ф-я y=f(x) и y=g(x), являются непрерывными в точке, и на интервале (a;b), то их сумма, произведение, частное и произведение f(x) на константу k, также непрерывны в этой точке.
— докажем непрерывность этой ф-ии в некотррой точке х0:
,
,
, , ,
33. Свойства ф-ий, непрерывных на отрезке.
Теорема Больцано-Коши.
y=f(x), (a;b), xÎ(a;b), для того чтобы ф-я y=f(x) была непрерывна в т. x, необходимо и достаточно, чтобы "e>$d(e)>, Þ
Первая теорема Больцано-Коши.
Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), предположим, что в точках а и bэта ф-я принимает значения разных знаков, тогда найдётся т. с, такая, что f(c)=0.
Д-во.
Предположим для определённости, что f(b)>0. Пусьт , если f(c1)=0, то f(a)
Обозначим отрезок и поступим с ним таким же образом, как и с отрезком , продолжим этот процесс до бесконечности. Возможны два случая:
а) на каком-нибудь конечном шаге найдётся точка сnf(cn)=0, тем самым будет найдена точка существования которой утверждается в теореме.
б) "cnf(cn)¹0, рассмотрим отр. , cnÎ, f(an)0, l— длина , тогда длина =, образует монотонно возрастающую последовательность, а последовательность является ограниченной.
, ,,
поэтому , , f(c*)=0.
Вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), f(a)=A, f(b)=B, A¹B, тогда ф-я y=f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.
Д-во.
Предположим для определённости, что B>A, пусть С произвольное число расположенное между А и В, тогда A, такая, что f(c)=C, для этого рассмотрим ф-ю j(x)=f(x)-C, тогда j(a)=f(a)-C=A-C0 Þy=j(x), на концах отрезка , принимает значения разных знаков. По первой теореме Больцано-Коши найдётся точка с, такая, что j(с)=0 Þj(с)=f(c)-C=0 Þf(c)=C
Первая теорема Веерштрасса (19в).
Пусть на отрезке определена непрерывная ф-я y=f(x), тогда эта ф-я является ограниченной на отрезке , $m, М, что , .
Предположим, что утверждение теоремы не верно, тогда можно указать , такую, что , т.к. является ограниченной, то из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, , , что противоречит тому, что ф-я y=f(x) определена на отрезке — теорема доказана.
Если отрезок не является замкнутым, то утверждение теоремы может быть не верной. (y=1/x, yÎ(0;1])
Вторая теорема Веерштрасса.
Пусть y=f(x), xÎ[a;b], тогда в некоторых точках отрезка [a;b] эта ф-я принимает наибольшее и наименьшее значения.
44. Инвариантность формы первого дифференциала.
Выражение f’(x)∆xпредставляет дифференциал df(x), когда х рассматривается как аргумент. Если же сама величина х рассматривается как функция некоторого аргумента t, то выражение f’(x)∆x, как правило, не представляет дифференциала; исключение составляет лишь случай линейной зависимости x=at+b.
Напротив, формула df(x)=f’(x)dxверна как в том случае, когда xесть аргумент (тогда dx=∆x), так и в случае, когда xесть функция от t. Это свойство выражения f’(x)dxназывается его инвариантностью. Например: Выражение 2x∆x представляет дифференциал функции y=x2, когда х есть аргумент. Положим теперь x=t2 (2) и будем считать tаргументом. Тогда y=x2=t4(3). Из (2) находим: ∆x=2t∆t+∆t2. Значит, 2x∆x=2t2(2t∆t+∆t2). Это выражение не пропорционально ∆tи потому теперь 2x∆xне является дифференциалом. Дифференциал функции yнаходим из (3): dy=4t3∆t.
45. Теорема Ферма. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.
Теорема Ферма:
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причём наибольшего и наименьшего значения она достигает во внутренней точке отрезка a
Доказательство: Пусть в точке с достигается наибольшее значение f(x)£f(c), и xÎ[a, b]. Вычислим односторонние производные:
По условию теоремы в точке с существует производная f’(c). Это означает, что левосторонняя и правосторонняя производные равны, т.е. f’(c)=0
Теорема Ролля:
Пусть функция f(x), дифференцируема в замкнутом промежутке (a, b), обращается в нуль на концах промежутка. Тогда производная f’(x) по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри промежутка.
Теорема Лагранжа:
Если функция f(x) дифференцируема в замкнутом промежутке (a, b), то отношение (f(b)-f(a))/(b-a) равно значению производной f’(x) в некоторой точке x=x, лежащей внутри промежутка (a, b):
Пример: Пусть f(x)=x2. Тогда f’(x)=2x. Формула принимает вид (b2-a2)/(b-a)=2x, откуда x=(a+b)/2, т.е. xлежит в точности на середине промежутка (a, b).
Теорема Коши:
Пусть производные f’(t) и j’(t) двух функций f(t) и j(t), дифференцируемых в замкнутом промежутке (a, b), не обращаются одновременно в нуль нигде внутри этого промежутка. Пусть при этом одна из функций f(t), j(t) имеет неравные значения на концах интервала (например j(a)¹j(b)). Тогда приращения f(b)-f(a) и j(b)-j(a) данных функций относятся как их производные в некоторой точке t=t, лежащей внутри промежутка (a, b):
Пример: Рассмотрим функции f(t)=t3и j(t)=t2в промежутке (0, 2). На конце t=0 производные f’(t)=3t2 и j’(t)=2tобращаются в нуль, но внутри промежутка обе отличны от нуля. Каждая из функций f(t), j(t) имеет неравные значения на концах t=0 и t=2. Условия теоремы Коши выполнены. Значит, отношение
Должно равняться отношению
В некоторой точке t=x, лежащей между a=0 и b=2. Действительно, уравнение (3/2)t=2 имеет корень t=4/3, лежащий внутри промежутка (0,2).
46. Применение производных для исследования функций. Условия монотонности.
1. Область определения.
2. Особые свойства функции: чётность или нечётность, периодичность.
3. Корни, промежутки знакопостоянства.
4.
Непрерывность, характер точек разрыва (односторонние пределы), пределы на бесконечности.
5. Асимптоты.
6. Производная, исследование функции на монотонность и экстремумы.
7. Вторая производная, исследование функции на выпуклость и перегиб.
8.
Нахождение значения функции и ее производной в характерных точках (пересечения с осями координат, экстремума, перегиба), нахождение нескольких дополнительных точек графика (не обязательно, используется для построения более точного графика).
9. Построение эскиза графика.
Исследование дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной:
1) Ищем первую производную функции, т. е. f’(x)
2) Находим критические значения аргумента x; для этого:
а) приравниваем первую производную к нулю и находим действительные корни полученного уравнения f’(x)=0;
б) находим значение x, при которых производная f’(x) терпит разрыв.
3) Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например, от критической точки x2достаточно определить знак производной в точках aи b(x1
4) Вычисляем значение функции f(x) при каждом критическом значении аргумента.
Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной:
1) Пусть при x=x1производная функции y=f(x) обращается в нуль, т.е. f’(x1)=0. Пусть, кроме того, вторая производная f’’(x) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки x1. Тогда справедлива следующая теорема: Пусть f’(x1)=0; тогда при x=x1функция имеет максимум, если f’’(x1)0
Условие монотонности:
1) Последовательность (an) называется возрастающей (неубывающей), если "n
2) Последовательность (an) называется убывающей (невозрастающей), если "n
47. Понятие локального экстремума. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.
Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке x=a, если значение f(a) больше (меньше) всех соседних значений. Максимум и минимум объединяются наименованием экстремум.
Необходимое условие максимума и минимума:
Если функция f(x) имеет экстремум в точке x=a, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.
Первое достаточное условие экстремума:
Если в достаточной близости от точки x=aпроизводная f’(x) положительна слева от aи отрицательна справа от a, то в самой точке x=aфункция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Второе достаточное условие экстремума:
Пусть в точке x=aпервая производная f’(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f’’(a) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x=aмаксимум, если положительна, то – минимум.
48. Выпуклые функции. Условия выпуклости.
Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (b, c), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Теорема 1.Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f’’(x)
Теорема 1'.Если во всех точках интервала (b, c) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f’’(x)>0, то кривая y=f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).
Теорема 2.Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f’’(a)=0 или f’’(a) не существует и при переходе через значение x=aпроизводная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=aесть точка перегиба.
49.Формула Тейлора. Формулы Тейлора для элементарных функций. Примеры.
Теорема: Если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a, b) производными до (n+1)-го порядка включительно, то
где x— некоторое число, лежащее между aи b.
Последнее слагаемое в формуле, называемое остаточным членом в форме Лагранжа, дает точное выражение разности Rnмежду f(b) и выражением
(многочлен Тейлора):
Формула Тейлора устанавливает что уравнение, в котором за неизвестное принимается x, имеет, по меньшей мере, одно решение, лежащее между aи b.
Пример: Пусть f(x)=ex. Все производные этой функции равны ex. Нам известно значение exв точке х=0 (именно e=1). Эту точку мы примем за начальную. В многочлене Тейлора надо положить: a=0, f(a)=f’(a)=…=f(n)(a)=1, и он принимает такой вид(5):
Заменив значение exзначением многочлена (5), мы допустим некоторую ошибку Rn; она равна
Число xлежит где-то между нулём и x(оно зависит и от xи от n). Значит, exлежит между e=1 и ex. Этого достаточно, чтобы оценить ошибку.
34. Точка разрыва ф-ии. Односторонние пределы.
Пусть задана ф-я y=f(x), х0ÎХ, для данной ф-ии можно определить односторонний предел.
Число А называют правосторонним пределом ф-ии y=f(x), если "числовой последовательности сходящейся к точке х0и такокй, что xn>x..
Аналогичным образом определяется левосторонний предел.
Нарушение условий непрерывности для ф-ии y=f(x), может происходить как в отдельных точках, так и в точках образующих одну или несколько линий.
35. Задачи приводящие к понятию производной. Производная ф-ии в точке. Геометрический смысл производной. У-ие касательной и нормали к графику ф-ий.
Пусть на отр. [a;b] определена ф-ия y=f(x), х0Î(a;b), рассмотрим (1)
Пусть существует конечное значение lim(1), — это число называют производной ф-ии y=f(x), х=х0.Обозначается (f’(x), , )
При изменении т. х0будет манятся значение предела, таким образом можно рассмотреть ф-ию ,
, поэтому , .
Уравнение касательной:
продолжение
--PAGE_BREAK--