Содержание
Введение
Глава1. Теоретические основы развития математического мышления младших школьников спомощью нестандартных задач
1.1 Особенностиматематического мышления учащихся начальных классов и возможности его развития науроках
1.2 Рольнестандартных задач в развитии математического мышления младших школьников
Глава2. Методика применения нестандартных задач в развитии математического мышлениямладших школьников
2.1 Логическиезадачи как средство развития математического мышления
2.2 Использованиеразличных способов решения нестандартных задач в развитии математическогомышления младших школьников
2.3 Содержаниеи организация опытно-экспериментальной работы
Заключение
Списокиспользованной литературы
Приложение1
Приложение2
Приложение3
Приложение4
Введение
Актуальность выбранной темы подтверждается тем, что новыеподходы к совершенствованию учебно-воспитательного процесса с цельюформирования всесторонне развитой и творчески мыслящей личности младшегошкольника во многом зависит от умения ими решать нестандартные задачи. До сихпор в обучении математике не преодолены стереотипы, которые мешают достижениюпоставленной перед школой цели гармонического развития личности учащегося. Кподобным недоработкам в сфере методики обучения решению задач относятсяследующие:
Стандартизация содержания и методов решения задач,проявляющаяся в узком понимании учителями роли математической задачи в процессеобучения, в стремлении решать со школьниками возможно больше число задач вущерб их обучающему качеству.
Несовершенство методики обучения решению задач, котороераскрывается в обучении решению задач по образцу, в отсутствии целенаправленнойработы учителя по формированию у школьников умения критически оценивать ходрешения задачи и проверить результат, в использовании задач преимущественно длязакрепления готовых знаний или их повторения.
Несоответствие постановки задач и их решенийзакономерностям развивающегося математического мышления, проявляющееся вотсутствии в школьном курсе математики задач, решение которых подготавливало бышкольников к деятельности творческого характера, в недостатке задач,формирующих у школьников важнейшие мыслительные умения (обобщать,анализировать, моделировать), в однообразии типологии задач начального курсаматематики.
Наблюдается противоречие между требованиями науки кобучению и реальным воплощениям на практике. В результате возникает проблема:как повысить возможности уроков математики с точки зрения развития мышленияшкольников?
Наиболее доступным средством решения этой проблемы будетвведение в курс начальной математики нестандартных задач. Нестандартные задачиформируют у школьников высокую математическую активность, качества, присущиетворческой личности: гибкость, оригинальность, глубину, целенаправленность,критичность мышления. Нестандартные задачи всегда подаются в увлекательнойформе, они прогоняют интеллектуальную лень, вырабатывают привычку к умственномутруду, воспитывают настойчивость в преодолении трудностей.
Именно при решении нестандартных задач оттачивается,шлифуется мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогаютученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснитьразличные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможностьприменять изучаемые теоретические положения, позволяет устанавливатьразнообразные числовые соотношения в наблюдаемых явлениях. Решая задачи,представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только активноовладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслитьтворчески. Учащиеся должны уметь решать не только стандартные задачи, нотребующие известной независимости мышления, оригинальности, изобретательности. (Л.П.ТерентьеваРешение нестандартных задач уч.пособие Ч.2002 стр.3)
Все это подтверждает необходимость исследования методикиобучения решению нестандартных задач на уроках математики и во внеурочноевремя, исследования их роли в развитии математического мышления младшихшкольников.
Исходя из этого, нами избрана следующая проблема проблемаисследования – это выявление педагогических условий влияния нестандартных задачна развитие мышления младших школьников. Решение данной проблемы составляетцель исследования.
Объектом исследования является процесс обученияматематике в начальных классах.
Предметом исследования – влияние нестандартных задач наразвитие математического мышления учащихся начальных классов.
В качестве гипотезы было выдвинуто предположение, согласнокоторому нестандартные задачи благоприятно влияют на развитие математическогомышления учащихся начальных классов, если:
— такие задачи регулярно будут предлагаться учащимся науроках и во внеучебное время;
— при составлении их будут учтены возрастные особенностимладших школьников.
В соответствии с проблемой, целью, объектом, предметом игипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
Изучить особенности математического мышления младшихшкольников и влияние нестандартных задач на его развитие.
Для организации опытно-экспериментальной работы провестиклассификацию нестандартных задач, доступных для младших школьников.
Составить методические рекомендации для решения основныхвидов нестандартных задач младшими школьниками.
Теоретическая ценность и научная новизна нашегоисследования состоят в том, что в нём подробно произведено изучение ролинестандартных задач как средства развития математического мышления учащихсяначальных классов.
Практическая значимость результатов исследованиязаключается в том, что разработанная нами методика решения нестандартных задачна уроках и во внеурочное время может быть использована учителями начальныхклассов и студентами в период педпрактики.
Для решения поставленных задач и проверки исходныхпредположений был использован комплекс взаимосвязанных и дополняющих друг другаметодов. Из организационных методов мы применили сравнительный метод с помощьюпоперечных срезов. Из эмпирических методов исследования, включающих все способыполучения научных фактов, нами были использованы наблюдение, беседа и опрос,метод экспертной оценки, анализ продуктов деятельности учителя и учащихся.
Учитывая общий замысел и логику исследования, егообъективные научные результаты обобщены в дипломной работе, состоящей извведения, двух глав, заключения, списка основной использованной литературы,приложений.
Глава I. Теоретические основы развития математическогомышления младших школьников с помощью нестандартных задач
1.1 Особенности математического мышления учащихсяначальных классов и возможности его развития на уроках
Под математическим развитием ребенка младшего школьноговозраста будем понимать целенаправленное и методически организованноеформирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных (базовых) свойстви качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическомупознанию действительности.
Цель математического развития детей – это стимуляция иразвитие математического мышления (соответствующих возрасту компонентов икачеств этого мышления).
Главным направлением организации математического развитияявляется целенаправленное развитие конструктивного и пространственногомышления.
Модель изучаемого математического понятия или отношенияиграет роль универсального средства изучения свойств математических объектов.При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитываетсяне только специфика математики (науки, изучающей количественные ипространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходитобучение детей общим способом деятельности с математическими моделями реальнойдействительности и способом построения этих моделей.
Являясь общим приемом изучения действительности,моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственнойдеятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение,абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в своюочередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логическогомышления.
Таким образом, можно считать, что данный подход будетобеспечивать формирование и развитие математического мышления ребенка, а,следовательно, будет обеспечивать его математическое развитие. (Белошистая А.В.Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учеб.пособие длястудентов высш. пед.учеб.заведений. –М.: Гуманитар. изд. Центр ВЛАДОС, 2005.-455с.: ил. – (Вузовское образование) стр.43-47
Эффективность и качество обучения математике определяютсяне только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математическихзнаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем ихматематического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладениюзнаниями. Таким образом, у школьников должны быть сформированы определенныекачества мышления, твердые навыки рационального учебного труда, развитпознавательный интерес. Поэтому, естественно, что среди многих проблемсовершенствования обучения математике в начальной школе большое значение имеетпроблема формирования у учащихся математического мышления.
Накопление знаний играет в процессе обучения не малую, ноотнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базекоторых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня,то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достигвысокого уровня мышления.
Поэтому практика школьного обучения требует от учителяпроводить конкретную работу по развитию у учащихся математического мышления.
Математическое образование представляет собой сложныйпроцесс, основными целевыми компонентами которого являются:
а) усвоение школьниками определёнными математическимиумениями и навыками;
б) овладение школьниками определёнными математическимиумениями и навыками;
в) развитие мышления учащихся.
Ещё не так давно считалось, что успешная реализацияпервой и второй из этих целей математического образования автоматическиповлечёт за собой успешную реализацию и третьей цели, то есть считалось, чторазвитие математического мышления происходит в процессе обучения математикестихийно. Сейчас установлено, что это действительно развивает математическоемышление, но лишь незначительно.
Поэтому современное обучение стремится сделать развитиемышления школьников управляемым процессом.
В современной психологии мышление понимается каксоциально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесспоисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного обобщённогоотражения действительности в ходе её анализа и синтеза. Мышление возникает наоснове практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит заего пределы.
Чем же отличается математическое мышление отхарактеристики, которая присуща мышлению вообще?
Математическое мышление является одним из важнейшихкомпонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленногоразвития которого невозможно достичь эффективных результатов в овладениишкольниками системой математических знаний, умений и навыков. Формированиематематического мышления младших школьников предполагает целенаправленноеразвитие на предмете математики всех качеств, присущих естественно-научномумышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научногопознания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленнымиспецификой самой математики, с постоянным акцентом на развитиенаучно-теоретического мышления. (Л.П.Терентьева Решение нестандартных задач уч.пособиеЧ.2002 стр.5)
Вот какую концепцию предлагает коллектив авторов«Методики преподавания математики в средней школе» (В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин,Г.Л.Луканкин, В.Я.Соннинский): « Под математическим мышлением будем понимать,во-первых, ту форму, в которой появляется диалектическое мышление в процессепознания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математикив других науках, технике, народном хозяйстве и т.д.; во-вторых, ту специфику,которая обусловлена самой природой математической науки, применяемых ею методовпознания явлений реальной действительности, а также теми общими приёмамимышления, которые при этом используются».
Математическое мышление имеет свои специфические черты иособенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, атакже спецификой методов их изучения. Математическое мышление характеризуютпоявлением определённых качеств мышления. К ним относятся: гибкость,оригинальность, глубина, целенаправленность, рациональность, широта,активность, критичность, доказательность мышления, организованность памяти,чёткость и лаконичность речи и записи.
Гибкость мышления проявляется в умении изменять способырешения задачи, выходить за границы привычного способа действия, находить новыеспособы решения проблем при изменении задаваемых условий. А.Эйнштейн указывална гибкость мышления как на характерную черту творчества.
Антиподом гибкости мышления является шаблонностьмышления. Это желание следовать известной системе правил в процессе решениязадачи. Шаблонность мышления нередко является следствием «натаскивания»учащихся по определённым видам типовых задач. Часто, например, школьникиначинают решать незнакомую им задачу тем способом, который им «первый пришёл вголову». Именно на преодоление этого качества мышления направлены нестандартныезадачи. Другое качество математического мышления – активность Онахарактеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторойпроблемы, желанием обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы кеё решению.
Развитию этого качества у учащихся способствуетрассмотрение различных способов решения одной и той же задачи.
Следующее качество – целенаправленность мышления, котораявключает стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либопроблемы, а также стремлением к поиску наикратчайших путей её решения.
Целенаправленность мышления даёт возможность болееэкономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если несложно, то слишком долго.
Такова, например, задача о вычислении суммы1+2+3+…+97+98+99+100. Поставив целью упростить вычисление посредствомприменения каких-либо законов сложения, школьник без труда установит известныйспособ вычисления этой суммы: 1+2+3+…+97+98+99+100=(1+99)+(2+98)+…+(49+51)+5+100=5050.
Целенаправленность мышления способствует проявлениюрациональности мышления, которая характеризуется склонностью к экономии времении средств для решения задачи, стремление отыскать оптимально простое в данныхусловиях решение, использовать в ходе решения схемы, условные обозначения.
Рациональность мышления часто проявляется при наличиишироты мышления, которая характеризуется, как способность формироватьобобщённые способы действий, имеющие широкий диапазон переноса и применения кчастным, умение охватить проблему в целом, не упуская при этом имеющих значениедеталей; обобщить проблему, расширить область приложения результатов,полученных в процессе её разрешения.
Это качество мышления проявляется в готовности школьниковпринять во внимание новые для них факты в процессе уже знакомой имдеятельности. Так, например, изучив распределительный закон умноженияотносительно сложения, записанный в форме а*(в+с)= ав+ас, учащиеся проявятшироту мышления, если сразу сумеют применить этот закон в вычислении: 2,5 *73,7+ 26,3 * 2,5.
Глубина мышления характеризуется умением выявлять,сущность которого из изучаемых фактов в их взаимосвязи с другими фактами.
Известно, что познание происходит двояко: в сознанииотражается не только сам объект познания, но и его фон, представляющийсовокупность связанных с этим объектом различных свойств его самого и других,связанных с ним объектов.
Процесс отделения фона от самого объекта – сложный процесс.Величина фона зависит от умений изучить этот объект в его существенныхсвойствах достаточно глубоко.
Таким образом, глубина мышления проявляется, преждевсего, в умении отделить главное от второстепенного, обнаружить логическуюструктуру рассуждения, отделить то, что строго доказано, от того, что принято«на веру». Глубина мышления особенно ярко проявляется при решении такого виданестандартных задач, как математические софизмы.
Все рассмотренные выше качества могут развиться лишь приналичии активности мышления, которая характеризуется постоянством усилий,направлены на решение некоторой задачи, желанием обязательно решитьпоставленную проблему, изучить различные подходы к её решению, исследоватьразличные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменения условий.
Активность мышления у учащихся проявляется также вжелании рассмотреть различные способы решения одной и той же задачи, обратитсяк исследованию полученного результата.
Так, например, учащиеся проявят определенную активностьмышления, если спросят учителя: «Почему на нуль делить нельзя?».
Учитель будет способствовать развитию у школьниковактивности мышления, если сумеет убедить их в том, что принятое в математикеусловие о невозможности деления на нуль разумно. В самом деле, проверкадействия деления умножением говорит о том, что при делении на нуль мы неполучаем никакого результата (пусть а = 0 и 0: 0 =n, где n – любое число, таккак n * 0 = 0).
Качество мышления, противоположное данному качеству, естьпассивность мышления. Оно возникает в результате формального усвоенияматематических знаний.
В числе качеств математического мышления важное местозанимает критичность мышления, которая характеризуется умением оценитьправильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этомрезультаты с точки зрения их достоверности, значимости.
В процессе обучения математике это качество мышленияпроявляется склонностью к различного вида проверкам, грубым прикидкамнайденного результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощьюиндукции, аналогии и интуиции.
Критичность мышления школьников проявляется также вумении найти и исправить собственную ошибку, проследить заново весь ходрассуждения, чтобы натолкнуться на противоречие.
С критичностью мышления тесно связана доказательностьмышления, характеризуемая умением терпеливо и скрупулезно относиться ксобиранию фактов, достаточных для вынесения какого- либо суждения; стремлениемк обоснованию каждого шага решения задачи, умением отличать результатыдостоверные от правдоподобных (раскрывается при решении математическихсофизмов); вскрывать подлинную причинность связи посылки и заключения.
Наконец, к числу важных качеств мышления относитсяорганизованность памяти. Память каждого школьника является необходимым звеном вего познавательной деятельности, зависит от её характера, целей, мотивов иконкретного содержания.
Организованность памяти означает способность кзапоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведениюосновной учебной информации и упорядоченного опыта.
Понятно, что в обучении математике следует развивать ушкольников как оперативную, так и долговременную память; обучать их запоминаниюнаиболее существенного, общих методов и приёмов решения задач; формироватьумение систематизировать свои знания и опыт.
Организованность памяти даёт возможность соблюдатьпринцип экономии в мышлении. Поэтому нецелесообразно загружать память учащихсяненужной или незначительной информацией, не накапливать у них опыт учебнойдеятельности, бесполезной для дальнейшего. Так, например, до недавнего временишкольники «разучивали» решение типовых текстовых задач, не имеющих большогопознавательного значения; это весьма отрицательно сказывалось и на развитии ихпамяти.
В процессе обучения математике развитию и укреплениюпамяти школьников способствуют:
а) мотивация изучения;
б) составление плана учебного материала, подлежащегозапоминанию;
в) широкое использование в процессе запоминаниясравнения, аналогии, классификации.
Все перечисленные качества математического мышлениясильно взаимосвязаны и проявляются в учебной математической деятельностишкольников не изолированно.
Специфика математического мышления проявляется не тольков особых качествах мышления, но и в том, что для них характерны особые формымышления: конкретное, абстрактное, функциональное, интуитивное мышление.
Конкретное (предметное) мышление – это мышление в тесномвзаимодействии с конкретной моделью объекта. Различаются две формы конкретногомышления:
1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);
2) оперативное (непосредственные действия с конкретноймоделью объекта).
Неоперативное, конкретное мышление чаще всего проявляетсяу дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными образами,воспринимая мир лишь на уровне представлений. То, что школьники на этом уровнеразвития не владеют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж.Пиаже. Рассмотрим один из них.
Детям демонстрируются два сосуда одинаковой формы иразмеров, содержащие поровну тёмную жидкость. Дети легко устанавливаютравенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкостьиз одного сосуда переливают в другой более высокий и узкий и предлагаютсравнить количество жидкости в этом сосуде и оставшемся нетронутым. Детиутверждают, что в новом сосуде жидкости стало больше.
Дело в том, что неоперативное мышление детей ещёнепосредственно и полностью подчинено их восприятию и потому они пока не могутотвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихсяв глаза свойств рассматриваемого предмета. В частности, думая о первом сосуде,дети смотрят на новый сосуд и им представляется, что жидкость в нём занимаетбольше места, чем раньше, так как уровень жидкости стал выше. Их мышление,протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу, следуя завосприятием, что жидкость в сосудах стало не поровну
Сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутствием уних способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого,устойчивое отношение части к целому), без формирования которых невозможноовладение понятием натурального числа.
Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает, что оперативноеконкретное мышление является более действенным для подготовки детей к овладениюабстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяетсяименно по мере развития практической деятельности, лежащей в основеразвивающейся психики ребёнка.
Конкретное мышление играет большую роль в образованииабстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического мышления,развитие которых способствует познанию математических абстракций.
Абстрактное мышление тесно связано с мыслительнойоперацией, называемой абстрагированием. Абстрагирование имеет двойственныйхарактер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемогообъекта) и позитивной (выделяют определённые стороны или свойства этого жеобъекта, подлежащие изучению).
Поэтому, «абстрактным мышлением называют мышление,которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержанияизучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению»[1]
Абстрактное мышление может проявляться в процессеизучения математике:
а) в явном виде. Например, рассматривая в курсе геометриипонятие геометрического тела, мы отвлекаемся от всех свойств реальных тел,кроме формы, размеров;
б) в неявном виде. Например, при счёте предметовконкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого отдельногопредмета, полагая, что все предметы одинаковы.
Абстрактное мышление можно подразделить на:
аналитическое мышление;
логическое мышление;
пространственное мышление.
Аналитическое мышление характеризуется чёткостьюотдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так иприменяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно отдругих видов абстрактного мышления. Этот вид мышления тесно связан смыслительной операцией анализа.
Логическое мышление характеризуется умением выводитьследствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторогообщего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты.Развитию логического мышления способствует решение логических нестандартныхзадач.
Пространственное мышление характеризуется умениеммысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкцииизучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которыедолжны были быть выполнены над самими объектами.
С этим типом мышления тесно связано способность учащихсявыразить при помощи схемы условие или решением текстовой задачи.
«Интуиция — особый способ познания, характеризующийсянепосредственным постижением истины. К области интуиции принято относитьвнезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям».
Функциональное мышление, характеризуемое осознаниемдинамики общих и частных соотношений между математическими объектами или ихсвойствами, ярко проявляется в связи с изучением функции. Сюда относится:
представление математических объектов в движении,изменении;
повышенное внимание к прикладным аспектам математики, кпричинно-следственным связям.
В психологии до настоящего времени широко распространеныпредставления о возрастных особенностях математического мышления школьника,исходящие из ранних исследований Ж. Пиаже. По мнению Пиаже, ребёнок до 12 летмыслит наглядно-конкретным образом и только к 12 годам становится способным кабстрактному мышлению. Но исследования Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, Л. В.Занкова, А. В. Скрипченко и других показали, что при изменении содержания иметодики преподавания возможны серьёзные сдвиги особенностей развитияматематического мышления в более младший возраст.
Рассмотрим возрастные особенности математическогомышления учащихся начальных классов.
Под влиянием обучения в школе у детей этого возраставозникает способность осматривать в конкретной математической задаче еёформальную структуру. Учеников уже во втором классе начинают интересовать взадаче не просто отдельные величины, а именно отношения величин. Если менееспособные ученики воспринимают отдельные, конкретные элементы задачи, как несвязанные друг с другом, и сразу после чтения задачи начинают производитьразличные операции со всеми данными числами, не задумываясь над смыслом задачии не пытаясь вычленить основные отношения, то у более способных проявляетсясвоеобразная потребность при восприятии условий задачи вскрывать эти отношения,связывать отдельные показатели и величины. Сильные ученики часто не придаютбольшого значения тому, о каких конкретных предметах идёт речь в задаче. Онипорой даже путают названия предметов, о которых говорится в задаче. Менееспособные ученики держатся за точное название предметов. В задаче они видят некакие-то математические отношения, а лишь конкретный перечень предметов, скоторыми нужно что-то делать. Менее способные начинают составлять задачипредметного содержания («буду составлять задачу про яблоки»), а потом уж струдом вводим отношения; более способные начинают с отношений («буду составлятьзадачу « больше – меньше »»), а потом уж «опредмечивали их».
Вычленяя отношения, более способные и многие средниеучащиеся начинают дифференцировать данные – выделять именно те, которыенеобходимы для решения, осознавать, каких величин недостаёт, какие являютсялишними.
Способность к обобщению математического материала какспособность улавливать общее в задачах и соответственно видеть разное в общемначинает складываться раньше всех других компонентов математического мышления.В младшем школьном возрасте наблюдается такой вид обобщения — движения отчастного к неизвестному общему, то есть умение подвести частный случай подобщее правило.
Гибкость мыслительных процессов в ходе поисков другихрешений учащиеся демонстрируют уже в 3 классе. Но в этом возрасте естьучащиеся, менее способные к математике, которые с трудом переключаются с однойумственной операции на другую, они обычно очень скованы первоначально найденнымспособом решения, склонны к шаблонным и трафаретным ходам мысли. В подобныхслучаях дело заключается в том, что трудно переключиться с простого на болеесложный способ решения. Зачастую трудно переключиться и с более трудного наболее лёгкий способ, если первый является привычным, знакомым, а второй – новыми незнакомым. Один способ решения тормозится с другим. У более способных кматематике учеников ломка и перестройка сложившихся способов мышлениясовершаются более быстро.
В младшем школьном возрасте уже проявляется тенденция коценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного,простого и экономного, наиболее рационального решения. Учащиеся оцениваютразличные решения как «более простое» и «более сложное», «лучшее» и «худшее»исходя из количества производимых операций.
Как же развивается математическое мышление у школьников?Обеспечивается ли математическое развитие тренировкой в решении типовых задач,которые занимают, как правило, значительную долю школьных математическихупражнений?
Попробуем ответить на эти вопросы с точки зренияпсихологии. Предположим, изучена некоторая группа правил. Изучениесопровождалось решением только типовых задач, то есть таких задач, решениекоторых основывается преимущественно на применении только что изученной теории.Приобретены знания, выработался навык в применении этих знаний к решениюсоответствующих задач, похожих на решаемые. В терминах психологии: «в кореголовного мозга образовался куст ассоциаций, или иначе – система ассоциаций».
Положим, далее, что изучение другой группы теорем илиправил сопровождалось опять-таки решением только относящихся к ней типовыхзадач. Образовался новый «куст ассоциаций».
В результате такого изучения программы вырабатываетсянекоторое многообразие ассоциаций у учащихся, но это многообразие носит «кустовой»характер и не образует цельной, единой «системы связей». Если знания и навыкиученика носят «кустовой» характер, то такой ученик развит недостаточно, ирешение задач повышенной трудности ему недоступно.
Для успешного решения задач повышенной трудности нужналёгкость перехода от ассоциаций одного «куста» к ассоциациям другого, то есть,нужны развитые «межкустовые» или «межсистемные ассоциации». Так называютассоциации, соединяющие отдельные разделы программы, объединяющие разрозненныекусты ассоциаций в единое целое.
Если в практике математических упражнений преобладаетрешение типовых задач, то прочных межсистемных ассоциаций у учащихся при этомне образуется; учащиеся не замечают связей между отдельными знакомыми имтеоремами или разделами программы, необходимых для решения сколь-нибудь нетрафаретных задач.
Только систематическая работа по развитию межсистемныхассоциаций создаёт предпосылки для более лёгкой выработки новых межсистемныхассоциаций и одновременно является одним из важных процессов математическогоразвития школьника.
С этой точки зрения становится очевидным одинсущественный недостаток школьных задачников: очень мало задач,предусматривающих взаимосвязь между разделами курса.
Таковы требования психологии, выполнение которыхсодействует развитию математического мышления школьника. Учитель начальныхклассов, естественно, должен учитывать их в практике организации урока,домашнего задания, а также в организации вне учебных занятий и досуга учащихся.Он должен не натаскивать детей на различных таблицах сложения, вычитания,умножения, на механическом запоминании различных правил, а, прежде всего,должен приучать охотно и сознательно мыслить. «Не надо мучить учениковдлиннейшими и скучнейшими механическими вычислениями и упражнениями. Когда онипонадобятся кому-либо в жизни, он их проделает сам, — да на это естьвсевозможные вычислительные машины», — так писал Е. И. Игнатьев ещё в началенашего века.
Ещё одна характерная особенность нестандартныхматематических задач состоит в том, что они способны вызвать интерес крезультату решения, а заманчивость получения результата вдохновляет напреодоление трудностей процесса решения задач и тем самым содействуетвоспитанию умственной активности. Увлекательные упражнения гонят прочьинтеллектуальную и волевую лень, тренируют мышления, вырабатывают привычку кумственному труду, потребность в нём, воспитывают настойчивость в преодолениитрудностей, вызывают благотворно действующее на организм радостное сознаниеуспеха в случае самостоятельно найденного решения.
Включая нестандартные задачи в арсенал развивающихсредств, учитель приобретает прекрасное пособие не только для разумногозаполнения досуга учащихся, для игры, но и для ежедневной умственнойгимнастики.