Управлениеобразования
АдминистрацииЛенинского района
Средняяобщеобразовательная школа №127
РЕФЕРАТ
Тема: «Математическоемоделирование биологических
форм».
ДомниковаПетра
Ученика10 А класса
Среднейобщеобразовательной
Школы№127.
Адрес:г.Новосибирскул.
Беловежскаяд.8 кв.79
Телефон:(383-2) 53-55-97
Руководитель:ПрудниковаЕ. П.,
учительматематики высшей категории.
г.Новосибирск2000 г.
2
СОДЕРЖАНИЕ.
Введение
1. Понятие «форма»в биологии и в векторной геометрии.
2. Математическая модель формообразования.
2.1 Поиск метода исследования.
2.2 От «золотого» отрезка – к пространству симметрий подобий.
2.2.1 Деление отрезка в золотом отношении.
2.2.2 А-ромб и «живой» треугольник.
2.2.3 Логарифмическаяспираль.
2.3 Уравнение экспансии – векторная основа модели
формообразования.
Заключение.
Литература.
3
Введение.
Вторжение(часто необдуманное)человекав природу связано с непониманием
законовгармонии живой природы. Формированиеэкологической культуры должно
начинатьсяс постижения единства и многообразия биологических объектов.Сущность
гармонииприроды невозможно выявить только в биологических объектах,дажесопровождая
ихабстрактно-математическимипостроениями, — можно лишь наблюдая иосмысливая её
проявления,подойтик тайнам живой природы: повторение живогообъекта в себе подобном.
Рассмотрениеразличных форм, приводящих квзаимосвязанным выводам и на их основе к
моделиформообразования. Поэтому цель работы:отысканиеединства в многообразии, а
инструментисследования математика, позволяющая рассматриватьформу как категорию
пространства,а,следовательно,областьприложения векторной геометрии.
1. Понятие«форма» вбиологии и в векторной геометрии.
Какоеиз чудес могло бы с большей силой поразить человеческое воображение,чем
появлениеновой жизни? Пространство,котороетолько что представлялось ничем,
становитсяяблоком, деревом,человеком.Возникновениенового существа - явление
целостное.Любойнаучный эксперимент измерением и воображением ученого разделяет
пространство(форму) ивещество (плоть),вто время как целостность - главное качество
жизни.Природаскрыто управляет геометрическим подобием, и восприятие формы
человекомтоже обнаруживают геометрическое подобие Геометрическое подобие нужно
рассматриватькак фундаментальную основу эволюции жизни и метод конструирования ею
форм.Поэтомуматематические законы формообразования неизбежно оказываются на стыке
научныхдисциплин. Здесь требуется свойспециальный язык, и начать нужно сопределения
понятия"форма".Раскрываясодержание этого понятия, можно толковать еготрадиционно:
поверхность,очерчивающаяобъем живого существа или растения, но такое определение
отдаляетнас от цели исследования: в нем исчезло самоявление роста, оно отображает жизнь
вчуждых ей категориях не как динамику, а как статику.
Поэтому,чтобыисследовать формообразование, необходимо соединитьв понятии
"форма"представлениео росте, как о процессеэнергетическом, и геометрическое его
содержание,как"овладение пространством",как"развитие точки начала".Чтобысделать
акцентна геометрическую сущность явления, введем понятие "экспансия"[expansio (лат.)-
расширение,распространение].Пользуясьим, определим форму в живой природе как
граничнуюповерхность замкнутого пространства экспансии.
2. Математическая модель формообразования.
2.1 Поиск метода исследования.
Несколькослов о правомерности описания энергетических процессов на языке
геометрии.Возможны2 пути познания:
4
1)изучениеобъекта по физическим, химическим параметрам- погружение
исследователяв безграничную сложность структурных иерархий самых различных уровней
макро-имикромира, описываемыхнеобозримым числом параметров на различных
предметныхязыках.
2)путьгеометрического абстрагирования, где предметомисследования служат
толькопространственные характеристики структур, хотя и необычные,новедущие к
моделиформообразования.
Единаяматематическая модель - представление обэкспансии точки начала. В предлагаемой
моделипространство понимается как совокупность точек, обладающихравной
энергетическойпотенцией взаимодействия. Радиус взаимодействияотражает двойственность
экспансии:
RS U
!! !
= + ,
гдеS — сингулярность ("единичное"),
U- универсум("всеобщее")
Прием,которымприрода осуществляет жизнь, — это дихотомия спрямым (+) и
обратным(-) знаками. Дихотомиякак деление клетки пополам и слияние двух в одну -
гениальный,нопростой способ совершенствования форм жизни путем отбора оптимальных
вариантовв открывающейся таким образом лавине комбинаторики.
Вматематике еще в античные времена была известна пропорция золотого сечения.
Единствоаддитивности и мультипликативности - глубинное содержаниезолотого сечения, в
немключ к явлению формообразования. В математикеаддитивность означает, что в
числовомряду Ф1,Ф2,Ф3,Ф4,...,Фn-1,Фn каждый предыдущий член ряда равен суммедвух
последующих(удобнее принять за основу невозрастающий, а убывающий рядзолотого
сечения):Ф1=Ф2+Ф3; Ф2=Ф3+Ф4; Фn-2=Фn-1+Фn. Мультипликативностьозначает, что в
числовомряду Ф1,Ф2,Ф3,Ф4,...,Фn-1,Фn все члены ряда связаны в геометрическуюпрогрессию:
Ф1:Ф2=Ф2:Ф3=Ф3:Ф4=...=Фn-1:Фn=const.
Числозолотого сечения, соединяющее свойствааддитивности и мультипликативности,
находитсякак общий корень двух уравнений:
а +b = c (аддитивность);
a: b = b: c (мультипликативность).
Вгеометрии такую абстракцию выражает отрезок, поделенныйна две части (a и b)в
золотомотношении: рост -позакону геометрической прогрессии, а подобие (принцип
сохранения- генетика) — целое(с). Придадим уравнениюзолотого сечения вид векторного
уравнения,замениввыражение a+b=c, где a:b=b:c,навыражение R SU
!! !
= + ,
гдеU: S = S: U, либоS: U = U: R. Сплоскости (геометрия отрезка)перейдемв
пространство.
Восновании векторной геометрии лежит операция векторного сложения и
представляетеё векторный треугольник. Две стороны втреугольнике выражают величину и
направлениявзаимодействующих потенций, а третья сторона –результатих сложения:
RS U
!! !
= + ,
Единствоаддитивности и мультипликативности справедливо для отрезков,
взаимодействующихрод углом ðили0 (прямая линия)ив векторной геометрии для любых
угловвзаимодействия (0 ≤ á ≤ 2ð).Такимобразом, «золотой»векторныйтреугольник строит
классзамкнутых кривых – нетривиальныесимметрии, отображающиебиологические формы.
5
Изтриады золотого сечения можно перейти в пространство симметрий подобийследующим
образом.
2.2. От золотого отрезка – к пространству симметрий подобий.
2.2.1 Деление отрезка в золотом отношении.
Золотоесечение - это законпропорциональной связи целого и составляющих это
целоечастей. Классический пример золотого сечения -делениеотрезка в
среднепропорциональномотношении, когда целое такотносится к большей своей части, как
большаячасть - к меньшей:
a
b
b
a+ b=
.Такаязадача имеет решение в виде корней уравнения: х2-х-1=0,
численноезначение которых равно:
х1=
2
5+1=1,618034…=Ф;х2=
Ф
0,618034…1
2
− 5−1 = − = − .
Закажущейся простотой операции деления в крайнем и среднем отношении скрыто
множествоудивительных форм выражения пропорции золотого сечения в мире живой
природы.Линейныйзакон золотого сечения широко распространён как числовая
характеристикачленений стеблей растений, их расположения настволе и даже пропорций
человеческоготела.
Рассмотримодин из способов деления отрезка в золотом сечении (такрешали задачу
деленияотрезка в крайнем и среднем отношении в древнем Египте и древней Греции):
делимыйотрезок AD=а (рис.1)достраиваютдо двойного квадрата ABCD со стороной
AB=а/2.Потомиз диагонали DB циркулем отсекаютотрезок ВЕ=АВ=а/2.Спомощью
циркуляпереносят отрезок FD = FE = x = 5 − a / 2.Задачарешена:
a: x = x: (a — x) = 1.618034...
Рис.1
Вообще,любойспособ деления отрезка в золотом сечении сводится к построению
квадратаи двойного квадрата (полуквадрата).Такимобразом, в математику приходятчисла
2и5 (Диагонали квадрата и двойного квадрата).Появлениедиагонали BD двойного
квадратаABCD и есть появление отношения золотогосечения: сторона,аесть среднее между
6
диагональюBD= 5, увеличенной на сторону а/2,иэтой же диагональю, уменьшенной на
сторонуа/2:
1,618...
51
2
2
51=
−
+ =
2.2.2 А-ромб и «живой»треугольник.
Изобразимна вертикали отрезок, разделённый в золотомсечении на две неравные
части(рис.2). Большуючасть ещё раз разделим в золотом сечении и так будем
распространятьзолотую цепь до бесконечности в направлении, восходящемот большего к
меньшему(аддитивность).Вцентрах полученных отрезков построим окружности радиусами
этихотрезков. До открытиявозможности, скрытой в золотомсечении и позволяющей
моделироватьформы, играющие ключевую роль в ритмах жизниживой природы, остаётся
несколькошагов.
Введениепрямого угла в чертёж преобразовало линейный ряд золотого сечения в
пространствосимметрий подобий. Для этого отметимпредел, к которому стремится
убывающийвид (точка N начертеже). Затем проведёмкасательные через точку N к
проведённымокружностям. Соединив точкикасания с центрами соответствующих
окружностей,получаемтреугольники с прямыми углами. Соединив точку О0 и Л1 (илиП1),
получимпрямоугольный треугольник с аналогичным отношением сторон.Вполучившихся
прямоугольныхтреугольниках отношение малого катета к большому равно отношению
большогокатета к гипотенузе. Такой треугольник –треугольникгеометрической прогрессии
получилв чертеже шесть ориентаций (см.рисунок).Полученнуюфигуру будем называть
асимметричнымромбом (А-ромбом);леваяи правая части зеркальны, восходящая цепь
золотогосечения развита окружностями, а не полуокружностями(что требуется для
практическогоделения отрезка в золотом сечении), что позволяет выявитьнекоторые
отраженияобраза данного чертежа в формах живой природы. А-ромбне имеет мерности:
любойотрезок в структуре А-ромба можно принятьза линейную меру длины. Тогда длина
любогоего элемента есть число n Ф ,гдеn – целые числа,положительныелибо
отрицательные.Горизонтали,соединяющиеточки пересечения окружностей, делят
вертикальнуюось А-ромба пополам (точкаЕ), а каждый её отрезок также пополам .
Рис.2А-ромб.
7
Уголоснования 2á в А-ромбес точностью до пятого знака совпадает с числом
1,618...
2
5+1 = 2á=1,8091рад= 1
2
51
2
1 + + (см.рисунок).Этотже угол определяет
внутримолекулярныесвязи в молекуле воды: он является угломатомами водорода в молекуле
воды(рис.3).
Рис.3
Чтотакое вода? Большую часть всякойживой клетки составляет вода. Клетки почти
всегдаокружены водной средой: это может бытьпресная или морская вода, тканевый сок,
плазма,внеклеточнаяжидкость. Биологическаяинформация может передаваться чистой
водой,а,крометого,