--PAGE_BREAK--
1.2.1. Системы линейных уравнений
Определение 1. Система вида
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x1, x2, …, xn — неизвестные, aij, i=, j=- коэффициенты при неизвестных, b1, b2, …, bm — свободные члены.
Определение 2.Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной — в противном случае.
Определение 3.Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2, …, сn, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.
Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной — в противном случае.
При изучении систем исследуют три вопроса:
1) совместна система или нет;
2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;
3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.
1.2.2. Матричная форма записи системы
Пусть дана система
Рассмотрим матрицы
, , .
С помощью этих матриц систему можно записать в виде .
,
.
1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Теорема (теорема Крамера)
.Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, где — главный определитель, — j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.
Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
1.2.4. Решение СЛУ методом Гаусса.
Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:
1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
3) перестановка двух уравнений;
4) отбрасывание уравнения 0=0.
Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.
Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.
Пример.
.
Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:
Получено решение системы х (3;2;1).
Вопросы для самопроверки.
1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?
2. Перечислите способы решения СЛУ.
3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?
4. Назовите формулы Крамера.
Перечислите этапы метода Гаусса.
Резюме к разделу 1.
Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак
Перечень терминов, определений.
Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.
2.1. Векторы;
Вопросы:
2.1.1. Линейное векторное пространства;
2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами.
2.1.1. Линейное векторное пространство.
Определение 1.Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а1, а2, …, аn) называется n-мерным вектором ā(а1, а2, …, аn). Числа а1, а2, ..., аn называются координатами вектора.
Два n-мерных вектора (а1, а2, …, аn) и (b1, b2, …, bn) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:
, ().
Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается .
Пример.(3; 1/2; 0,7; -2; 0) — пятимерный вектор.
Определение 2.Суммой (разностью) двух n-мерных векторов (а1, а2, …,аn) и (b1, b2, …, bn) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:
=(a1b1; a2b2; …; anbn).
Определение 3.Произведением n-мерного вектора (а1, а2, …, аn) на число k называется n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора на число k: k · =(ka1; ka2; …; kan).
Свойства операций над векторами:
1) +=+ — коммутативность,
2) +(+)=(+)+ — ассоциативность,
3) k·()=k·k· — дистрибутивность,
4) (k1k2)·= k1 · k2·,
5) (k1·k2)·=k1·(k2·),
6) 1·=,
7) 0·=,
8) k·=,
Определение 4.Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается En.
Пример.E2 — совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.
2.1.2. Скалярное произведение.
Длина вектора. Угол между векторами.
Определение 1.Скалярным произведением двух n-мерных векторов (а1, а2, ..., аn) и (b1, b2, ..., bn) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.
·=а1·b1+a2·b2+…+an·bn.
Свойства скалярного произведения:
1. ·=· — коммутативность;
2. ·(+)=·+· — дистрибутивность;
3. k·(·)=(k·)·,
4. ·=2, 2=0.
Определение 2.Длиной n-мерного вектора называется величина:
.
Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле
.
Вопросы для самопроверки.
1. Что такое вектор?
2. Перечислите операции над векторами.
3. Что такое длина вектора? Как она вычисляется?
4. Как вычислить угол меду векторами?
5. Что называется скалярным произведением векторов?
2.2. Уравнение прямой.
Вопросы:
2.2.1 Декартова прямоугольная система координат;
2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости. Формула координат середины отрезка;
2.2.3. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
2.2.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом;
2.2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;
2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;
2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности.
2.2.1. Декартова прямоугольная система координат
Определение 1.Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY — осью ординат (третья ось OZ — осью аппликат).
Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел — координат данной точки.
Определение 2.Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными, такое, что только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению.
2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости
Даны две точки на плоскости с координатами A (x1, y1) и B (x2, y2).
Y
y2 B
y1 A C
0 x1 x2 X
Из треугольника ABC:
.
, — формулы для нахождения координат середины отрезка.
2.2.3. Общее уравнение прямой
Теорема 1.Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости некоторую прямую, и наоборот.
Аx
+Вy+С=0 — общее уравнение прямой,
— условие невырожденности.
Рассмотрим различные случаи расположения прямой на плоскости в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
1) 1) С = 0, Ax + By = 0 — прямая проходит через начало координат;
А= 0, By + C = 0 — прямая проходит параллельно оси ОХ;
В= 0, Ax + C = 0 — прямая проходит параллельно оси ОУ;
2) 2) A = C = 0, By = 0 — прямая совпадает с осью ОХ;
B = C =0, Ax = 0 — прямая совпадает с осью ОУ.
продолжение
--PAGE_BREAK--