Краткоедоказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билляформулируется следующим образом: неопределенное уравнение:
Аx+Вy= Сz /1/
не имеет решенияв целых положительных числах А, В, С, x, yи z при условии, что x, y и z больше 2.
Суть гипотезыБилля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
Аx= Сz— Вy /2/
Уравнение /2/рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром Aи переменными BиС.
Уравнение /2/запишем в следующем виде:
Аx= (С0,5z)2 – (В0,5y)2 /3/
Обозначим:
В0,5y=V /4/
С0,5z=U /5/
Отсюда:
Вy=V2 /6/
Сz=U2 /7/
В =/> /8/
С =/> /9/
Тогда изуравнений /2/, /6/ и /7/ следует:
Аx= Сz – Вy =U2-V2 /10/
Уравнение/10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чиселзапишем в виде:
Аx= (U-V)∙(U+V) /11/
Длядоказательства гипотезы Билля используем метод замены переменных. Обозначим:
U-V=X /12/
Из уравнения/12/ имеем:
U=V+X /13/
Из уравнений/11/, /12/ и /13/ имеем:
Аx= X· (V+X+V)=X (2V+X)=2VХ+X2 /14/
Из уравнения/14/ имеем:
Аx – X2=2VХ /15/
Отсюда:
V=/> /16/
Из уравнений/13/ и /16/ имеем:
U= /> /17/
Из уравнений/8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:
B =/> /18/
C =/> /19/
Алгебраическоевыражение /> включает в себе возведение чисел в степень,вычитание одного числа из другого и деление их разности на число.
Алгебраическоевыражение /> включает в себе возведение чисел в степень, ихсложение и деление суммы этих чисел на число.
Из анализаэтих алгебраических выражений следует, что с помощью указанных математическихдействий нельзя получить числа, равные /> и/> соответственно, т.е.:
/>; /20/
/>, /21/
где: SиR– должны быть целымичислами.
Поэтому всоответствии с уравнениями /18/, /19/, /20/ и /21/:
/> – дробное число;
/> – дробное число.
Такимобразом, числа В и С – дробные числа.
Следовательно,гипотеза Билля не имеет решения в целых положительных числах.