Реферат по предмету "Математика"


Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах

МетодВинера-Хопфа и его приложения в физических задачах.
Демидов Р.А., ФТФ, 2105

Введение
Указанный метод подходитдля решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром,зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида
/>.
Этот метод былпредложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находитразнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, атакже в их приложениях в физических задачах.
В своей работе я опишусам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задачматфизики.

1.Метод
 
1.1Случай бесконечного промежутка
Метод Винера-Хопфаоснован на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит отразности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для началарассмотрим уравнение вида
/>(1)
— это уравнение сбесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует, есливыполняются 2 условия:
/>,
а также условиесходимости нормы u(x):
/>.
Эти условия работаютпри действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения –один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты.Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежуткаинтеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x).Вспомнив, что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x)выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образсвертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k)– образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:
/>(2)
/>
Данное свойство образасвертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на/>и интегрированием по всейдействительной оси:
/>
Делая замену во второминтеграле (x-s)=t,получаем
/>,
что и требовалосьдоказать.
Видим, что мы свелиисходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходнойфункции u(x).Выражая его через образы ядра и f(x), производяобратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:
/> =>
=>/>/>(3)
 
Второйспособ: вычисляем резольвенту уравнения как
/> (4)
В виде Фурье — образовэто равенство выглядит так:
/>,
где G(k)вычисляется как
/> (5)
V(k)– Фурье-образ исходного ядра v(x)уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x), применивобратное преобразование Фурье к (5), и подставить его в (4). Этот способ нетребует вычисления каждый раз интегралов для F(k)при смене функции f, она подставляетсяв самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.
На примере этой задачимы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. Наэтом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком –и опишем метод Винера-Хопфа.
1.2 Полубесконечный промежуток
Понятно, что в случае,если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можемвоспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать нашеуравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные сполубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, вслучае разбиения функции f(x)на два куска – f+(x)и f-(x),(f(x)=f+(x)+ f-(x))представляющих собой правый и левый концы следующим образом:
/>
выражения для прямых иобратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:
f+:/>,
при />причемздесь /> — комплексная переменная, ивыполняется неравенство Im(k)=τ> τ —. Причем
/>
Обратное преобразованиевыглядит так:
/>,
и здесь мы интегрируемпо любой прямой Im(k)=τ> τ — .
f-:При/>
для прямогопреобразования Фурье имеем
/>,
к здесь та же к.п., этоверно в области с Im(k)=τ
/>
Интегрирование идет потой же прямой с Im(k)=τ
При τ-
/>
как раз в полосе τ- 0 функция полоса Im(τ)=0попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбравмнимую часть τ нулем.
Применим этисоображения к решению искомого уравнения. (6)
/>(6)
Разложим неизвестнуюфункцию u(x)на составляющие u+, u-:
/>
/>
При подстановке этихфункций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Фактсуществование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения,удовлетворяющие следующим условиям:
/>,
/>µ
При их выполнении вполосе µ
Переходя по формулампреобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1, мыимеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выборафункций u+ ,u-.Итак,получаем:
/> ,
что видно изпредставления u(x)=u+(x)+u-(x),U(k)=U+(k)+U-(k)и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что
/>,
если так задать функциюL(k).
/>
Мы подошли к сутиметода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение калгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, вотличие от §1, неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нампозволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работаетлишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k)можем представить как частное функций L+(k),L-(k), уравнениепринимает при этом вид
/>,
и известно следующее –“плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области />,“минусовая” часть аналитическая функция в области />,µ  (которая непуста )существуетединственная общая функция U(k),совпадающая с U+ ,U-в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+,L-растут не быстрее степенной функции kn,то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть вобщем случае многочлену Pn(k)(это получается, если учесть стремление U+,U-кнулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде этовыглядит так:
Если степень ростафункций Lестьединица(растут не быстрее линейной функции), то мы имеем для кусков функции L(k)следующее:
/>,
и в итоговом решениибудет присутствовать произвольная константа C.Приведупример последнего случая с n=0.Пример.
 
/> 
— интегральноеуравнение с полубесконечным промежутком и нулевой fдля простоты. Решим его м.В.-Х.
Как видим, мы имеемдело с ядром вида exp(-|x|).Найдемего Фурье-образ, и далее, функцию L(k):
/>
/>
— являетсяаналитической в области -1
/>
При 0 0.5 условия выполняются в полосе 0
/>,
и, применяя обратноепреобразование Фурье, находим u+(x):
/>,
что верно для />Решение в квадратурах найдено, этотинтеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:
/>
Как видим, решениеполучено с точностью до константы.
1.3В общем виде
Изложим методВинера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение
/>
и поставим задачу:найти функции Ψ1, Ψ2, удовлетворяющие нашемууравнению в полосе />, стремящихся к нулю при />.A,B,C– аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,Bне равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном ужеизлагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/Bкак частное функций L+,L-,
/>,
причем L+аналитическая в области Im(k)> τ-, L-аналитическая в области Im(k)
/>
Теперь, если удаетсяразбить слагаемое, не содержащее Ψ, на два, как
/>,
что будет верно внекоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:
/> 
— это чуть более общееравенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – изсходимости обоих пси к нулю при стремлении kпо модулю к бесконечности, сходимости L+L-не быстрее многочлена степени n,а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленнаяиз Ψ1, Ψ2, мы получаем следующие соотношения:
/>
Рn(k)– многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решениебудет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1, Ψ2.
Что осталось выяснить,так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм,обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.
Лемма1:Пусть образ F(k)аналитический в полосе />,F(k)равномерно стремится к 0 при |k|->∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции Fкак />,F+(k)аналитическая в Im(k)>τ-, F-(k)аналитическая в Im(k)
 
/>
 
 
 
 
Доказательство: Рассмотримсистему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0)– в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.Поформуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A->∞, и устремим контур к полосе.
/>
Тогда в пределе получаем
/>,
где эти части есть
/>
Каждая функция задана всвоей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что итребовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует иограниченность F+(k),F-(k)в рассматриваемой полосе.
Лемма2:Пустьфункция Ф(k) являетсяаналитической и не равной нулю в полосе />, причем Ф(k)равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда/>, где функции Ф+, Ф-соответственно аналитические в
/> и/>
 
Доказательство:
Заметим, что дляфункции />выполнены условия леммы1, значит, мыимеем право ее представить суммой F+,F-, а Ф – произведением:
/>, Ф=Ф+*Ф-.
Условия на границы помнимой оси для функций Ф+, Ф- сохранятся => леммадоказана.
Теперь сделаем еще однообобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородногоуравнения
/> (7)
Проводя аналогичныерассуждения, разбивая u(x)на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля
/>
в полосе /> мы можем переходить к образамфункций и мы получим
/>
предварительно разбив Fна две. Принимая за функцию L(x)ф-ю
/>,
аналитическую встандартной полосе /> и равномерно стремящуюся к 1 при />наше алгебраическое уравнениеперепишется как
/>
Далее, точно такжеразделяем L на две части как
/>,
И L+ — аналитическая в />, L- — аналитическая в />. По аналогии приводя к общемузнаменателю, получаем уравнение на U+,U-:
/>
При успешном разложениипоследнего члена как
/>,
где по все той жеаналогии D+ иD-аналитические в областях /> соответственно, мы записываемрешения в виде
/>.
При этом мывоспользовались той же сходимостью – L+,L-растут не быстрее чем kn,а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.
Как видим, и эта,неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, методоснован на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию насумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и скаждой половиной работаем отдельно.
Метод мы рассмотрели,поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – вкраевых задачах математической физики.

 
2.Применение метода Винера-Хопфа
До этого мырассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных инеоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа икраевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальныеуравнения в частных производных.
Итак, задача: в верхнейполуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
/>
Для этого решим к.задачу на уравнении />, />, и перейдем уже врешении к пределу в нуле по каппа.
Разделяя переменные, иприменяя метод Фурье, в общем виде находим решение:
/>,
где f(k)- произвольная функция комплексного параметра k,
/>
Для удовлетворенияфункции u граничным условиямдолжны выполняться 2 условия на f(очевидноиз представления u):
/>
Решение строится, если L(k)аналитическая в полосе τ- 0. Тогда
/>,
где L+аналитическаяв верхней полуплоскости τ-
/>,
где константаопределяется как
/>
Эти результаты мыполучаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана обинтегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L
/>
нам подходит.Подставляя его в предыдущие равенства, получаем
/>и
/>,
что решает задачу.Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и впределе получаем гармоническую функцию:
/>
вычисляя интеграл,получаем
/>
Дальнейшие вычисленияприводят нас к следующему результату:
/>-
если вводимвспомогательную функцию так, то
/>,z=x+iy.
Получили ответ задачи.

Вывод
В работе мы рассмотрелиметод на примере интегральных уравнений, и обосновали его правильность. После мыприменили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления ометоде Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.
В общем то, мыприменили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0, и получалигармоническое уравнение.
В общем и целом, методВинера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решениеконкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математическиезадачи помимо своего прямого предназначения.

Списокиспользованной литературы
1.Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравненийв частных производных.”
2.Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Методика проведения утренней гимнастики в дошкольных учреждениях
Реферат Особенности логопедической работы по преодолению темпо-ритмических нарушений у дошкольников с заиканием
Реферат Разработка плана организации работы маркетингового отдела, оказывающего услуги по комплексной автоматизации и информатизации медицинской отрасли
Реферат Мигель де Сервантес Сааведра Дон Кихот
Реферат Задача про транспортную систему. Подбор вариантов проезда с учетом кол-ва пересадо, длительности, видов транспорта (самолет, авто, поезд, водн.)
Реферат тесты и ответы по инновационному менеджменту
Реферат Возрастные особенности нравственного развития личности
Реферат Страховий ринок характеристика сегментація та учасники визначення страхового тарифу та страхо
Реферат Утопление поражение электрическим током пищевые отравления
Реферат Детско-родительские отношения и их взаимосвязь с личностными качествами ребёнка дошкольного возраста
Реферат Человек на войне. По одному из произведений современной литературы. - В.В.Быков. Сотников.
Реферат Февральская революция 1917 г. и ее оценки в исторической науке
Реферат Загальні вимоги до уроку
Реферат Использование мобильного маркетинга для стимулирования продаж товаров массового спроса Товар
Реферат Kandinsky, Wassily