Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП />,ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНОПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ />-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студенткагруппы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научныйруководитель:
докторф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Оглавление
ПЕРЕЧЕНЬУСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Введение
1Некоторые базисные леммы
2Критерий принадлежности групп, факторизуемыхобобщенносубнормальными />-подгруппами, индексы которых взаимнопросты, наследственно насыщенным формациям
Заключение
Списокиспользованных источников
Перечень условныхобозначений
Рассматриваютсятолько конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
/> --- множество всех натуральныхчисел;
/> --- множество всех простых чисел;
/> --- некоторое множество простыхчисел, т. е. />;
/>
— дополнение к /> во множестве всех простых чисел; вчастности, />;
примарноечисло — любое число вида />.
Буквами/> обозначаются простые числа.
Пусть/> --- группа. Тогда:
/> --- порядок группы />;
/>
— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/> --- коммутант группы />, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторамивсех элементов группы />;
/> --- подгруппа Фиттинга группы />, т. е. произведение всех нормальныхнильпотентных подгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/> --- подгруппа Фраттини группы />, т. е. пересечение всех максимальныхподгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/> --- />-холловаподгруппа группы />;
/> --- силовская />-подгруппа группы />;
/> --- дополнение к силовской />-подгруппе в группе />,т. е. />-холлова подгруппа группы />;
/> --- нильпотентная длина группы />;
/> --- />-длинагруппы />;
/> --- минимальное число порождающихэлементов группы />;
/> --- цоколь группы />, т. е. подгруппа, порожденная всемиминимальными нормальными подгруппами группы />;
/> --- циклическая группа порядка />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то :
/> --- /> являетсяподгруппой группы />;
/> --- /> являетсясобственной подгруппой группы />;
/> --- /> являетсянормальной подгруппой группы />;
/>
— ядро подгруппы /> в группе />, т. е. пересечение всех подгрупп,сопряженных с /> в />;
/> --- нормальное замыкание подгруппы/> в группе />,т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с /> подгруппамигруппы />;
/> --- индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/> --- нормализатор подгруппы /> в группе />;
/> --- централизатор подгруппы /> в группе />;
/> --- взаимный коммутант подгрупп /> и />;
/> --- подгруппа, порожденнаяподгруппами /> и />.
Минимальнаянормальная подгруппа группы /> --- неединичнаянормальная подгруппа группы />, не содержащаясобственных неединичных нормальных подгрупп группы />;
/> --- /> являетсямаксимальной подгруппой группы />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то:
/> --- прямое произведение подгрупп /> и />;
/> --- полупрямое произведениенормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/> --- /> и/> изоморфны;
/> --- регулярное сплетение подгрупп /> и />.
Подгруппы/> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальнав />;
/>-нильпотентной, если />-холлова подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существуетнормальный ряд, факторы которого либо />-группы,либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ееглавный фактор является либо />-группой, либоциклической группой;
нильпотентной,если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой,если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическаягруппа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальнуюподгруппу.
/>-замкнутая группа — группа,обладающая нормальной холловской />-подгруппой.
/>-специальная группа — группа,обладающая нильпотентной нормальной холловской />-подгруппой.
/>-разложимая группа — группа,являющаяся одновременно />-специальной и />-замкнутой.
ГруппаШмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которойнильпотентны.
Добавлениемк подгруппе /> группы /> называетсятакая подгруппа /> из />, что />.
Цепь--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Рядподгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая черезединицу.
Рядподгрупп /> называется:
субнормальным,если /> для любого />;
нормальным,если /> для любого />;
главным,если /> является минимальной нормальнойподгруппой в /> для всех />.
Классгрупп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой /> и все ей изоморфные группы.
/>-группа — группа, принадлежащаяклассу групп />.
Формация--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если/> --- класс групп, то:
/> --- множество всех простыхделителей порядков всех групп из />;
/> --- множество всех тех простыхчисел />, для которых />;
/> --- формация, порожденная классом />;
/> --- насыщенная формация,порожденная классом />;
/> --- класс всех групп />, представимых в виде
/>
где/>, />;
/>;
/> --- класс всех минимальных не />-групп, т. е. групп не принадлежащих />, но все собственные подгруппы которыхпринадлежат />;
/> --- класс всех />-групп из />;
/> --- класс всех конечных групп;
/> --- класс всех разрешимых конечныхгрупп;
/> --- класс всех />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех нильпотентныхгрупп;
/> --- класс всех разрешимых групп снильпотентной длиной />.
Если/> и /> --- классыгрупп, то:
/>.
Если/> --- класс групп и /> ---группа, то:
/> --- пересечение всех нормальныхподгрупп /> из /> таких,что />;
/> --- произведение всех нормальных />-подгрупп группы />.
Если/> и /> --- формации,то:
/> --- произведение формаций;
/> --- пересечение всех />-абнормальных максимальных подгрупп группы />.
Если/> --- насыщенная формация, то:
/> --- существенная характеристикаформации />.
/>-абнормальной называетсямаксимальная подгруппа /> группы />, если
/>, где />
— некоторая непустая формация.
/>-гиперцентральной подгруппой в /> называется разрешимая нормальная подгруппа /> группы />,если /> обладает субнормальным рядом /> таким, что
(1)каждый фактор /> является главным фактором группы />;
(2)если порядок фактора /> есть степень простогочисла />, то />.
/> --- />-гиперцентргруппы />, т. е. произведение всех />-гиперцентральных подгрупп группы />.
Введение
Известно,что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этимможно сформулировать следующую проблему.
Проблема.Классифицировать наследственные насыщенные формации /> стем свойством, что любая группа />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппывзаимно простых индексов, принадлежит />.
Именноизучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечныхразрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
1 Некоторые базисные леммы
Вданном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются придоказательстве основного раздела данной главы.
1.1Лемма[18-A]. Пусть /> --- насыщенная формация, /> принадлежит /> иимеет нормальную силовскую />-подгруппу /> для некоторого простого числа />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)/>;
2)/>, где /> ---любое дополнение к /> в />.
Доказательство.Так как />, то />,а значит, />. Так как /> иформация /> насыщенная, то /> не содержится в />.Так как /> --- элементарная группа, то потеореме 2.2.16, /> обладает />-допустимым дополнением /> в />. Тогда />, />. Если />, то /> отличнаот /> и, значит, принадлежит />. Но тогда, ввиду равенства />, имеем
/>
отсюдаследует /> и />.Тем самым доказано, что />.
Докажемутверждение 2). Очевидно, что /> является />-корадикалом и единственной минимальнойнормальной подгруппой группы />, причем />. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
/>
Очевидно,
/>. Если />,то
/>
отсюда/>. Значит, />.Лемма доказана.
Пусть/> и /> --- произвольныеклассы групп. Следуя [55], обозначим через /> ---множество всех групп, у которых все />-подгруппыпринадлежат />.
Если/> --- локальный экран, то через /> обозначим локальную функцию, обладающуюравенством /> для любого простого числа />.
1.2Лемма[18-A]. Пусть /> и /> ---некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)/> --- наследственный класс;
2)/>;
3)если />, то />;
4)если />, то /> ---класс всех групп;
5)если /> --- формация, а /> --- насыщенный гомоморф, то /> --- формация;
6)если />, />,/> --- некоторые классы групп и /> --- наследственный класс, то /> в том и только в том случае, когда />;
7)если /> и /> ---гомоморфы и />, то />.
Доказательство.Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно изопределения класса групп />.
Пусть/>, /> --- нормальнаяподгруппа группы /> и /> ---/>-подгруппа из />.Пусть /> --- добавление к /> в />. Покажем, что />. Предположим противное. Пусть /> не входит в />.Тогда /> обладает максимальной подгруппой />, не содержащей />.Поэтому />, а значит, />,что противоречит определению добавления.
Таккак /> --- насыщенный гомоморф, то />. Но тогда /> и/>. Значит, класс /> замкнутотносительно гомоморфных образов.
Пусть/>. Пусть /> ---/>-подгруппа из />.Тогда />, а значит ввиду определения класса/>, имеем
/>
Таккак /> --- формация и />,то отсюда получаем, что />. Таким образом, />.
Докажемутверждение 6). Пусть />, />.Если /> не входит в />, то получается, что каждая />-подгруппа из /> принадлежит/>, а значит, />.Получили противоречие. Поэтому />.
Покажем,что />. Предположим, что множество /> непусто, и выберем в нем группу /> наименьшего порядка. Тогда /> не входит в />.Пусть /> --- собственная подгруппа из />. Так как классы /> и/> --- наследственные классы, то />. Ввиду минимальности /> имеем/>. Значит, />.Получили противоречие. Поэтому />.
Докажемутверждение 7). Пусть /> и /> ---/>-подгруппа из группы />.Отсюда следует, что />, />.А это значит, что />. Отсюда нетруднозаметить, что />. Следовательно, />. Итак, />.Лемма доказана.
1.3Лемма[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> --- ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда и только тогда />-корадикаллюбой минимальной не />-группы является силовскойподгруппой, когда:
1)/>;
2)формация /> имеет полный локальный экран /> такой />,что /> для любого /> из/>.
Доказательство.Необходимость. Пусть /> --- максимальныйвнутренний локальный экран формации />. Пусть /> --- произвольное простое число из />. Так как /> ---насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, /> ---формация.
Пусть/> --- формация, имеющая локальный экран /> такой, что /> длялюбого /> из />.Покажем, что />. Согласно теореме 2.2.13, /> --- наследственная формация для любого /> из />.Отсюда нетрудно заметить, что /> для любого /> из />.А это значит, что />.
Пусть/> --- группа минимального порядка из />. Так как />---наследственная формация, то очевидно, что /> ---наследственная формация. А это значит, что /> и/>. Покажем, что /> ---полный локальный экран, т. е. /> для любого /> из />.Действительно. Пусть /> --- произвольная группаиз />. Отсюда />.Пусть /> --- произвольная />-группа из />.Так как />, то />.Отсюда />. Так как /> ---полный экран, то />. А это значит, что />. Следовательно, />.Отсюда нетрудно заметить, что />. Теперь,согласно теореме 2.2.5, />, где /> --- единственная минимальная нормальнаяподгруппа группы />, /> ---/>-группа и />.Так как /> и />,то />. Отсюда />.Противоречие. Итак, />. Покажем, что /> для любого /> из/>. Пусть /> и/> --- />-группа.Пусть /> --- произвольная />-подгруппа из />.Тогда />. Отсюда />.А это значит, что />. Противоречие.
Достаточность.Пусть /> --- произвольная минимальная не />-группа. Так как /> разрешима,то по теореме 2.2.5,
/>
где/> --- />-группа,/>. Согласно условию, /> ---/>-группа. А это значит, что /> --- />-замкнутаягруппа. Но тогда, /> --- />-замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, /> --- силовская подгруппа группы />. Лемма доказана.
1.4Лемма[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> --- ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не />-группа бипримарна и />-замкнута,где />, когда:
1)/>;
2)формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> илюбая группа из /> является примарной />-группой для любого простого /> из />.
Доказательство.Необходимость. Пусть /> --- произвольнаяминимальная не />-группа. Согласно условию,/> --- бипримарная />-замкнутаягруппа, где />. По лемме 4.1.1, />. Согласно лемме 4.1.3, формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> и/> для любого простого /> из/>. Покажем, что любая группа из /> примарна. Предположим противное. Тогдасуществует группа /> и />. Пусть /> ---группа наименьшего порядка такая, что />.Очевидно, что /> и />.Нетрудно заметить, что /> и /> имеетединственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18,существует точный неприводимый />-модуль />, где /> ---поле из /> элементов.
Пусть/>. Покажем, что />.Поскольку /> и />,то />.
Пусть/> --- собственная подгруппа из />. Покажем, что />.Пусть />. Если />,то />. Следовательно, />.Пусть />. Тогда /> ---собственная подгруппа из />. А это значит,что /> и />. Так как /> и /> ---наследственная формация, то />. Но тогда и />, а значит и />.
Пустьтеперь />. Так как />,то /> и />. Отсюда следует,что />. Итак, />.Cогласно условию, /> бипримарна, чтоневозможно, т. к. />.
Достаточность.Пусть /> --- произвольная минимальная не />-группа. Согласно условию, /> разрешима. По теореме 2.2.5,
/>
где/> --- />-группа,/>.
Согласноусловию, /> --- примарная />-группа. А это значит, что /> --- бипримарная />-замкнутаягруппа. Но тогда /> --- бипримарная />-замкнутая группа. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенносубнормальными />-подгруппами, индексыкоторых взаимно просты, наследственнонасыщенным формациям
Вданном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификациянаследственных насыщенных формаций />, замкнутыхотносительно произведения обобщенно субнормальных />-подгрупп,индексы которых взаимно просты.
2.1Теорема[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> — ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы и индексы />,/> взаимно просты;
2)любая минимальная не />-группа /> либо бипримарная />-замкнутаягруппа />, либо группа простого порядка;
3)формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> илюбая группа из /> является примарной />-группой для любого простого /> из />.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- произвольная минимальная не />-группа. Предположим, что />, где /> ---характеристика формации />. Покажем, что /> --- группа простого порядка. Пусть />. Тогда существует простое число />, />. Так как />, то />,что невозможно. Итак, /> --- примарная />-группа. Так как />,то, очевидно, что />.
Пустьтеперь />. Рассмотрим случай, когда />.
Покажем,что /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу/>. Предположим противное. Тогда /> содержит, по крайней мере, две минимальныенормальные подгруппы /> и />.Так как />, то в группе /> найдутся максимальные подгруппы /> и /> такие, что />, />. Так как /> и /> принадлежат />, />, />, то />,/>. Так как /> ---формация, то />. Получили противоречие. Итак, />, где /> ---единственная минимальная нормальная />-подгруппа группы/>.
Покажем,что /> --- примарная />-группа,где />. Предположим, что существуют простые числа />, где />.Тогда в /> найдутся максимальные подгруппы /> и /> такие, что /> --- />-число,/> --- />-число.Рассмотрим подгруппы /> и />.Очевидно, что индексы /> и /> взаимнопросты. Так как /> и />,то />. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы /> и /> />-субнормальны в />.Так как /> --- минимальная не />-группа, /> и/> --- собственные подгруппы группы />, то /> и/>. Так как />,то согласно условию, />. Получили противоречие.
Покажем,что /> --- />-группа,где />. Предположим, что />.Так как />, то согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгуппа группы />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---собственная подгруппа /> и />,то />. Согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгруппа />. Очевидно, что /> --- />-субнормальнаяподгруппа />. По лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгруппа группы />. Так как />, то из /> иусловия теоремы следует, что />. Получилипротиворечие. Итак, /> --- />-группа. Тогда /> ---бипримарная />-замкнутая группа, где />.
Пусть/>. Рассмотрим фактор-группу />. Так как />,то, как показано выше, /> --- бипримарная />-замкнутая группа. Отсюда следует, что /> --- бипримарная />-замкнутаягруппа.
Излеммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем,что из 3) следует 1).
Пусть/> --- группа наименьшего порядка такая, что />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы группы /> взаимнопростых индексов, то />. Так как /> --- разрешимая группа и />, где />,то нетрудно заметить, что />, где /> и /> --- холловскиеподгруппы группы />, /> и/>, />, где />, /> --- некоторыеэлементы группы />.
Пусть/> --- собственная подгруппа группы />. Покажем, что />.Так как /> --- разрешимая группа, то согласнотеореме Ф. Холла [63], />, где />, />, где />, /> --- некоторыеэлементы из />. Согласно лемме 3.1.4, /> и /> --- />-субнормальные подгруппы группы />. Так как /> и/>, а /> ---наследственная формация, то /> и /> --- />-субнормальныеподгруппы /> и /> соответственно.Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что /> и/> --- />-субнормальныеподгруппы группы />, а значит, согласно лемме3.1.4 и в />. Так как />,то по индукции, получаем, что />. А это значит,что /> --- минимальная не />-группа.
Если/> --- группа простого порядка, то ее нельзяпредставить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.
Пусть/> --- бипримарная группа. Тогда согласно лемме4.1.4, />. Согласно лемме 4.1.1, />. А это значит, что все подгруппы группы />, содержащие /> />-абнормальны, т. е. группа /> не представима в виде произведениясобственных />-субнормальных />-подгрупп взаимно простых индексов. Получилипротиворечие. Теорема доказана.
Напомним,что формация /> называется 2-кратно насыщенной,если она имеет локальный экран /> такой, что /> --- насыщенная формация для любого простогочисла /> из />.
Следующаятеорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2Теорема [18-A].Пусть /> --- наследственная 2-кратнонасыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы из /> взаимнопростых индексов;
2)/> --- формация Шеметкова;
3)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы из />;
4)/>.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- произвольная минимальная не />-группа. Рассмотрим случай, когда />. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, чтолибо /> --- группа простого порядка />, где />,либо />, где /> и/> из />.А также нетрудно показать, что /> --- единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы />.А это значит, что />. Пусть /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />. Если />,то из полноты экрана /> следует, что />. Так как /> ---внутренний экран, то />. А это значит, что />. Противоречие. Итак, />.
Покажем,что />. Предположим, что это не так. Тогда в /> найдется неединичная собственная подгруппа />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---минимальная не />-группа и /> --- собственная подгруппа />, то />.Покажем, что />. Если это не так, то в /> существует неединичная нормальная />-подгруппа />.Тогда />. Так как />,то />, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, />. Отсюда />.Так как />, то />.А это значит, что />. Так как /> --- насыщенная формация, то />. Следовательно, />,что невозможно. Итак, />, значит, /> --- группа Шмидта. Итак, /> --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, /> --- группа Шмидта.
Тотфакт, что из 2) /> 3) следует из теоремы2.2.19; 3) /> 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) /> 1) следует из теоремы 2.2.10. Теоремадоказана.
Очевидно,что любая сверхрадикальная формация /> содержит любуюгруппу />, где /> и/> />-субнормальны в /> и принадлежат /> иимеют взаимно простые индексы в />.
Следующийпример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщеннаяформация />, содержащая любую группу />, где /> и/> />-субнормальны в /> и принадлежат /> иимеют взаимно простые индексы в />.
2.3Пример.Пусть /> --- формация всех сверхразрешимыхгрупп, а /> --- формация всех />-групп, где />,/> и /> --- различныепростые числа. Рассмотрим формацию />. Так каксуществуют минимальные не />-группы, которыене являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то /> не является формацией Шеметкова. Так как />, то согласно теореме 3.3.9, формация /> не является сверхрадикальной формацией.
Сдругой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа /> />-замкнута, где />. Очевидно, что любая минимальная не />-группа /> являетсялибо группой простого порядка, либо бипримарной />-замкнутойгруппой, где />. Теперь из теоремы 4.2.1 следует,что /> содержит любую группу />, где />,/> и /> принадлежат /> и /> и /> --- субнормальны в />.
Заключение
Вглаве 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основныхрезультатов главы 2.
Вглаве 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работеКартера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н.Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимыхгрупп получено описание наследственных насыщенных формаций />, содержащих любую группу />, где />,/> и /> принадлежат /> и /> и /> --- />-субнормальныв />, теорема 2.1 .
Доказано,что любая разрешимая /> --- наследственная2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, являетсясверхрадикальной, теорема 2.2 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. Омаксимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып.5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. Орешетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-тматематики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С.27--54.
3. Васильев, А.Ф. Овлиянии примарных />-субнормальных подгрупп настроение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-вообр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. Олокальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. Опроизведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, №3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. Онекоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. Одвух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994.-- Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В.Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, №1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С.Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечныегруппы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. Опроизведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск:Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.Конечные группы с перестановочными />-субнормальными (/>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; №56).
16. Прокопенко, А.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. Оминимальных не />-группах / В.Н. Семенчук// ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н.Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математикиАН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-тматематики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.Характеризация локальных формаций /> по заданнымсвойствам минимальных не />-групп / В.Н.Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строенияконечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984.-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.Описание разрешимых минимальных не />-групп дляпроизвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. Оразрешимых минимальных не />-группах / В.Н.Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С.16--21.
25. Семенчук, В.Н. Рольминимальных не />-групп в теории формаций /В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.Конечные группы с />-абнормальными или />-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук// Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.Разрешимые />-радикальные формации / В.Н.Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Ободной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996.-- № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. Оразрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не />-групп/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.Классификация локальных наследственных формаций критические группы которыхбипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.-- 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАНБеларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.Конечные группы, факторизуемые />-достижимымиподгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-таим. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Ободном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебраформаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. Оминимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.Факторизации />-нильпотентными сомножителями /В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С.135--137.
40. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С.39--41.
41. Чунихин, С.А. Огруппах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938.-- Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. Осуществовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара потеории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А.Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А.Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, №8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. Опроизведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989.-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31,№ 3. — С. 366--372.
49.Ballester-Bolinches, A. On the lattice of />-subnormalsubgroups / A. Ballester-Bolinches, К.Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50.Ballester-Bolinches, A. On />-critical groups/ A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174.-- P. 948--958.
51.Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52.Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A.Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z.-- 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O.The />-normalizers of a finite soluble group / R.Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р.175--202.
55. Carter, R.Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher,T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimalnicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol.91. — P. 198--205.
57. Doerk, K.Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes.-- Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E.On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W.Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80,№ 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. TheTheory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: KluwerAcademic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W.X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. Anote on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3.-- P. 98--105.
63. Hall, P. Onthe Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T.On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P.177--182.
65. Huppert, B.Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Noteon (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951.-- Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin,L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P.90--93.
69. Kegel, O.H.Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echtenthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A.Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno// Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk,V.N. Finite groups with permutable />-subnormal and />-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A.Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson,J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H.Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H.Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H.Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.