Министерствообразования Республики Беларусь
Учреждениеобразования
«Гомельскийгосударственный университет им. Ф. Скорины»
Математическийфакультет
Кафедраалгебры и геометрии
Курсоваяработа
Классификациягрупп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Исполнитель:
Студенткагруппы М-32 Лапухова А.Ю.
Научныйруководитель:
Канд.физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель2005
Содержание
Переченьусловных обозначений
Введение
1. Классификация групп сперестановочными обобщенномаксимальными подгруппами
2. Группы с />-перестановочными />-максимальными подгруппами
3. Группы, в которых />-максимальные подгруппыперестановочны с />-максимальными подгруппами
4. Группы, в которых максимальныеподгруппы перестановочны с />-максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условныхобозначений
Вработе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используютсяобозначения, принятые в книгах. Буквами /> обозначаютсяпростые числа.
Будемразличать знак включения множеств /> и знак строгоговключения />;
/> и /> -соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/> - пустое множество;
/> - множество всех /> для которых выполняется условие />;
/> - множество всех натуральныхчисел;
/> - множество всех простых чисел;
/> - некоторое множество простыхчисел, т.е. />;
/> - дополнение к /> во множестве всех простых чисел; вчастности, />;
примарноечисло — любое число вида />;
Пусть/> - группа. Тогда:
/> - порядок группы />;
/> - порядок элемента /> группы />;
/> - единичный элемент и единичнаяподгруппа группы />;
/> - множество всех простых делителейпорядка группы />;
/> - множество всех различных простыхделителей натурального числа />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/> - подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгруппгруппы />;
/> - подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальныхнильпотентных подгрупп группы />;
/> - наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/> - коммутант группы />, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторамивсех элементов группы />;
/> - />-ыйкоммутант группы />;
/> - наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/> - />-холловскаяподгруппа группы />;
/> - силовская />-подгруппа группы />;
/> - дополнение к силовской />-подгруппе в группе />,т.е. />-холловская подгруппа группы />;
/> - группа всех автоморфизмов группы/>;
/> - /> являетсяподгруппой группы />;
/> - /> являетсясобственной подгруппой группы />;
/> - /> являетсямаксимальной подгруппой группы />;
нетривиальнаяподгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/> - /> являетсянормальной подгруппой группы />;
/> - подгруппа /> характеристична в группе />, т.е. /> длялюбого автоморфизма />;
/> - индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/> - централизатор подгруппы /> в группе />;
/> - нормализатор подгруппы /> в группе />;
/> - центр группы />;
/> - циклическая группа порядка />;
/> - ядро подгруппы /> в группе />,т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с /> в/>.
Если/> и /> - подгруппыгруппы />, то:
/> - прямое произведение подгрупп /> и />;
/> - полупрямое произведениенормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/> - /> и/> изоморфны.
Группа/> называется:
примарной,если />;
бипримарной,если />.
Скобки/> применяются для обозначения подгрупп,порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/> - подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
/>, где />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальнав />;
/>-нильпотентной, если />-холловская подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существуетнормальный ряд, факторы которого либо />-группы,либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ееглавный фактор является либо />-группой, либоциклической группой;
нильпотентной,если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,если существует нормальная нильпотентная подгруппа /> группы/> такая, что /> нильпотентна.
разрешимой,если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой,если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простымичислами.
ГруппаШмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которойнильпотентны.
Добавлениемк подгруппе /> группы /> называетсятакая подгруппа /> из />, что />.
Минимальнаянормальная подгруппа группы /> - неединичнаянормальная подгруппа группы />, не содержащаясобственных неединичных нормальных подгрупп группы />.
Цокольгруппы /> - произведение всех минимальныхнормальных подгрупп группы />.
/> - цоколь группы />.
Экспонентагруппы /> - это наименьшее общее кратноепорядков всех ее элементов.
Цепь- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь,состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Рядподгрупп /> называется:
субнормальным,если /> для любого />;
нормальным,если /> для любого />;
главным,если /> является минимальной нормальнойподгруппой в /> для всех />.
Классыгрупп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов,обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е.классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. Занекоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/> - класс всех групп;
/> - класс всех абелевых групп;
/> - класс всех нильпотентных групп;
/> - класс всех разрешимых групп;
/> - класс всех />-групп;
/> - класс всех сверхразрешимыхгрупп;
/> - класс всех абелевых группэкспоненты, делящей />.
Формации- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образови конечных подпрямых произведений.
Пусть/> - некоторый класс групп и /> - группа, тогда:
/> - />-корадикалгруппы />, т.е. пересечение всех технормальных подгрупп /> из />, для которых />.Если /> - формация, то /> является наименьшей нормальной подгруппойгруппы />, факторгруппа по которойпринадлежит />. Если /> -формация всех сверхразрешимых групп, то /> называетсясверхразрешимым корадикалом группы />.
Формация/> называется насыщенной, если всегда из /> следует, что и />.
Классгрупп /> называется наследственным илизамкнутым относительно подгрупп, если из того, что /> следует,что и каждая подгруппа группы /> такжепринадлежит />.
Произведениеформаций /> и /> состоитиз всех групп />, для которых />, т.е. />.
Пусть/> - некоторая непустая формация. Максимальнаяподгруппа /> группы /> называется/>-абнормальной, если />.
Подгруппы/> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Пусть/>, /> -подгруппыгруппы /> и />.Тогда /> называется:
(1)/>-перестановочной с />,если в /> имеется такой элемент />, что />;
(2)наследственно />-перестановочной с />, если в /> имеетсятакой элемент />, что />.
Пусть/> - максимальная подгруппа группы />. Нормальным индексом подгруппы /> называют порядок главного фактора />, где /> и/>, и обозначают символом />.
Подгруппа/> группы /> называется/>-максимальной подгруппой или иначе второймаксимальной подгруппой в />, если в /> найдется такая максимальная подгруппа />, в которой /> являетсямаксимальной подгруппой. Аналогично определяют />-максимальные(третьи максимальные) подгруппы, />-максимальныеподгруппы и т.д.
Введение
Подгруппы/> и /> группы /> называются перестановочными, если />. Подгруппа /> группы/> называется перестановочной иликвазинормальной в />, если /> перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Перестановочныеподгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес канализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучениеперестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где былодоказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной.Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работеС.А. Чунихина. Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее вработе Кегеля />-квазинормальными. В 60-70-х годахпрошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочныхподгрупп, которые предопределили основные направления развития теорииперестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результатОре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы /> группы /> факторгруппа/> нильпотентна. В другом направлении этотрезультат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, чтолюбая />-квазинормальная подгруппа являетсясубнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскимиподгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщилследующим образом, если /> порождаетсясвоими />-элементами и />-подгруппа /> группы/> />-квазинормальна в/>, то факторгруппа /> нильпотентна.В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в /> подгруппы /> факторгруппа/> абелева. Отрицательное решение этой задачибыло получено Томпсоном в работе.
Отметим,что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активноиспользоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М.Пальчик исследовал свойства />-квазинормальныхподгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппамигруппы />. Существенно усиливая результатработы, Майер и Шмид доказали, что если /> -квазинормальная подгруппа конечной группы />,то факторгруппа /> содержится в гиперцентрефакторгруппы />, где /> -ядро подгруппы />. Отметим, что аналогичныйрезультат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был полученлишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре наслучай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппаконечно порожденной группы субнормальна.
Значительныеуспехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годахпослужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иныхсистем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимаягруппа /> сверхразрешима, если всемаксимальные подгруппы всех силовских подгрупп из /> перестановочныс силовскими подгруппами из />, и группа /> разрешима, если в ней имеется такаясиловская подгруппа /> и такое ее дополнение />, что /> перестановочнасо всеми максимальными подгруппами из />.Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных сисследованием влияния на строение основой группы максимальных подгруппсиловских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности такихподгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданнымисистемами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в ихсовместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы /> при условии, что />,где все подгруппы из /> перестановочны со всемиподгруппами из />. Идеи этой работы и, вчастности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многихнаправлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочностибыли описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .
Вработе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятияперестановочной подгруппы. Согласно, погруппы /> и/> называются />-перестановочными,где />, если в /> имеетсятакой элемент />, что />.Используя понятие />-перестановочности можноохарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных />-перестановочных подгрупп для подходящих />. Согласно, группа /> являетсясверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы />-перестановочны со всеми другими подгруппамиэтой группы. Новые характеризации в терминах />-перестановочныхподгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можнонайти в работах.
Такимобразом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенноперестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвященаданная работа.
1. Классификация группс перестановочнымиобобщенномаксимальными подгруппами
Результаты,связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самыхсодержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего стем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойствмаксимальных подгрупп. Отметим, например, что группа /> нильпотентнатогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны;сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальныхподгрупп просты; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальнойподгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом. Отметим также, чтомаксимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежностигруппы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этомнаправлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группаразрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которойкласс нильпотентности силовских />-подгрупп непревосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой всемаксимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которыхвсе максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
Помере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринималисьтакже попытки изучения и применения />-максимальных, />-максимальных и т.д. подгрупп. При этом, каки для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы сразличными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп вэти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы взависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение />-максимальных, />-максимальныхи т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этомунаправлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, укоторой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этотрезультат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимостьразрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны совсеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем, а в работе Л.А.Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее />-максимальная подгруппа перестановочна совсеми максимальными подгруппами этой группы .
Оказалось,что группы, у которых все />-максимальныеподгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп стаким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимомслучае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все />-максимальныеподгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результатыполучили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описаниеразрешимых групп, у которых все их />-максимальныеподгруппы сверхразрешимы.
Впоследние годы получен ряд новых интересных результатов о />-максимальных подгруппах, связанных сизучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего, вкоторых на языке />-максимальных подгруппполучены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа /> группы /> обладаетсвойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора /> группы /> выполняетсяодно из двух условий /> или />. В работе доказано, что группа /> разрешима тогда и только тогда, когда в /> имеется такая />-максимальнаяразрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметимтакже, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от/>-максимальных подгрупп их силовских подгрупп.
Пусть/> и /> - подгруппыгруппы />. Тогда подгруппа /> называется />-перестановочнойс />, если в /> найдетсятакой элемент />, что />.В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основеусловия /> -перестановочности для />-максимальных подгрупп. В частности,доказано, что: Группа /> нильпотентнатогда и только тогда, когда для любой />-максимальнойподгруппы /> группы />,имеющей непримарный индекс, в /> найдется такаянильпотентная подгруппа />, что /> и /> />-перестановочна со всеми подгруппами из />.
Пусть/> - набор всех />-максимальныхподгрупп группы />.
Какпоказывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности,накладываемые на подгруппы из />, существенноопределяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, чтогруппа /> разрешима, если любая подгруппа из/> перестановочна со всеми подгруппами из /> для всех />,где />. В связи с этим результатом естественновозникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению даннойзадачи и посвящена настоящая глава.2. Группы с />-перестановочными/>-максимальными подгруппами
Отмеченныевыше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1].Пусть /> - группа, /> -ее подгруппа Фиттинга. Если любая />-максимальнаяподгруппа группы /> />-перестановочнасо всеми максимальными подгруппами группы />,то группа /> метанильпотентна.
Доказательство.Предположим, что теорема не верна, и пусть /> -контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)Для любой неединичной нормальной в /> подгруппы/> факторгруппа /> метанильпотентна.
Рассмотримфакторгруппу />. Пусть /> -произвольная максимальная в /> подгруппа и /> - произвольная />-максимальная/> подгруппа. Тогда /> максимальнав /> и /> />-максимальна в />,а значит, по условию подгруппа /> />-перестановочна с подгруппой />. Но тогда, согласно лемме,подгруппа /> />-перестановочнас подгруппой />. Итак, условие теоремы выполняетсяв />. Но /> ипоэтому согласно выбора группы />, мы имеем (1).
(2)/> - разрешимая группа.
Еслив группе /> существует единичная />-максимальная подгруппа, то теорема очевидносправедлива. Предположим, что в группе /> все/>-максимальные подгруппы отличны от единицы.Докажем, что для каждой максимальной подгруппы /> группы/>, />. Пусть /> - максимальная подгруппа группы />. Тогда по условию для каждого />, мы имеем />.Ввиду леммы,/> и, следовательно, />.Значит, />. Поскольку />,то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что /> -разрешимая группа. Это означает, что /> разрешима, иследовательно, /> - разрешимая группа.
(3)Группа /> имеет единственную минимальнуюнормальную подгруппу /> и />,где /> и /> - максимальная в/> подгруппа, которая не является нильпотентнойгруппой.
Пусть/> - произвольная минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Так как класс всехметанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ),то /> - единственная минимальная нормальнаяподгруппа в />, причем />.В силу (2), /> является элементарной абелевой />-группой для некоторого простого />. Пусть /> -максимальная подгруппа в /> такая, что />. Пусть />.Ясно, что />. Так как />,мы видим, что />. Это показывает, что /> и, следовательно, />.Ясно, что /> и поэтому по выбору группы />, /> не являетсянильпотентной группой.
(4)Заключительное противоречие.
Всилу (3), в группе /> имеется максимальнаяподгруппа />, которая не является нормальнойподгруппой в />. Поскольку для любого />, /> - максимальная в/> подгруппа и /> -максимальная подгруппа в />, то /> - />-максимальная в /> подгруппа. Если /> -нормальная подгруппа в />, то />. Значит, /> неявляется нормальной подгруппой в />. Покажем, что /> - максимальная подгруппа группы />. Пусть />.Пусть /> - такая максимальная подгруппагруппы />, что />.Тогда />. Значит, /> или/>. Первый случай, очевидно, невозможен.Следовательно, />. Так как />, то /> -максимальная в /> подгруппа. Тогда длялюбого />, /> />-перестановочна с />.Поскольку />, то ввиду леммы (6),/> перестановочна с />.Из максимальности подгруппы /> следует, что /> или />.Если />, то ввиду леммы,/>. Полученное противоречие показывает, что />. Тогда /> длялюбого /> и поэтому />.Следовательно, />. Это означает, что /> - нормальная подгруппа в />, противоречие. Теорема доказана.
[2.1].Каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна с любой максимальнойподгруппой в /> тогда и только тогда, когда либо /> нильпотентна, либо /> -такая ненильпотентная группа с />, что циклическаясиловская />-подгруппа /> группы/> не нормальна в />,а максимальная подгруппа группы /> нормальна в />.
Доказательство.Необходимость. Разрешимость группы /> следует изтеоремы.Предположим теперь, что /> не являетсянильпотентной группой. Пусть /> - максимальнаяподгруппа группы />, которая не являетсянормальной в />. Пусть /> и/> - максимальная подгруппа группы />. Рассуждая как выше видим, что />. Следовательно, />,и /> - циклическая примарная группа. Пусть />. Покажем, что />.Допустим, что />. Пусть /> -силовская />-подгруппа группы /> и /> - максимальнаяподгруппа группы />. Тогда /> - />-максимальнаяподгруппа группы /> и, следовательно, поусловию /> - подгруппа группы />, что противоречит максимальности подгруппы />. Отсюда следует, что />.
Достаточностьочевидна. Следствие доказано.
[2.2].Если в группе /> любая ее максимальнаяподгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами группы /> и />,то /> - нильпотентная группа.
Вдальнейшем нам потребуется следующая теорема.
[2.2].Пусть /> - группа, /> -ее подгруппа Фиттинга. Если любая />-максимальнаяподгруппа группы /> />-перестановочнасо всеми />-максимальными подгруппами группы />, то группа /> разрешимаи /> для каждого простого />.
Доказательство.Предположим, что данная теорема не верна, и пусть /> -контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)/> - разрешимая группа.
Действительно,если />, то каждая />-максимальнаяподгруппа группы /> перестановочна со всеми3-максимальными подгруппами группы />. Тогда последствию,каждая максимальная подгруппа группы /> сверхразрешима.Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, /> - разрешимая группа.
Пустьтеперь />. Так как условие теоремысправедливо для группы />, то группа /> разрешима и поэтому /> -разрешимая группа.
(2)Группа /> имеет единственную минимальнуюнормальную подгруппу
/> и />,
где/> - такая максимальная в /> подгруппа, что />,/> и />.
Таккак класс всех разрешимых групп /> с /> образует насыщенную формацию, то ввиду (1),/> и поэтому в группе /> существуетединственная минимальная нормальная подгруппа />.Из леммы вытекает, что />, где /> -такая максимальная в /> подгруппа, что /> и />. Покажем, что /> делит />.Если /> не делит />,то /> - />-группа, ипоэтому />, что противоречит выбору группы />. Итак, /> делит/>. Допустим, что />.Тогда факторгруппа /> изоморфна подгруппегруппы автоморфизмов />. Так как группа /> абелева, то /> -сверхразрешимая группа, и поэтому />. Полученноепротиворечие с выбором группы /> показывает, что />.
(3)Заключительное противоречие.
Пусть/> - />-максимальнаяподгруппа группы /> и /> -максимальная подгруппа группы />. Тогда /> и />. Пусть /> - максимальная подгруппа группы /> такая, что /> являетсямаксимальной подгруппой группы />. Покажем, что /> - максимальная подгруппы группы /> и /> - максимальнаяподгруппа группы />. Так как />, то /> -собственная подгруппа группы />. Предположим,что в /> существует подгруппа /> такая, что />.Тогда из того, что /> - максимальная подгруппагруппы />, следует, что либо />, либо />.Если />, то />,противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что />. Следовательно, /> -максимальная подгруппа в />. Рассуждая каквыше, мы видим, что /> и /> -максимальные подгруппы группы />. Отсюда следует,что /> - />-максимальнаяподгруппа группы /> и /> -/>-максимальная подгруппа группы />. По условию существует элемент /> такой, что />.Следовательно,
/>
ипоэтому />. Таким образом, каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна с каждой максимальнойподгруппой группы />. Ввиду (2) и следствия,получаем, что />, где силовская />-подгруппа нормальна в группе />. Значит, />,где /> и />. Пусть /> - силовская />-подгруппаи /> - силовская />-подгруппагруппы />. Пусть /> -/>-максимальная подгруппа группы /> такая, что />.Так как />, то /> -неединичная подгруппа. Ясно, что /> - />-максимальная подгруппа группы /> и /> - />-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, по условию подгруппа /> />-перестановочна с/>, и поэтому для некоторого /> мы имеем /> -подгруппа группы />. Поскольку />, то /> -нормальная подгруппа в группе />. Так как />, то /> -нормальная подгруппа в группе />. Получилипротиворечие с тем, что /> - минимальнаянормальная подгруппа. Теорема доказана.
Длядоказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.
Есливсе максимальные подгруппы группы /> имеют простыепорядки, то /> сверхразрешима.
Доказательство.Так как в группе /> все />-максимальные подгруппы единичны, то ввидуследствия группа /> либо нильпотентна, либо />, где /> -подгруппа простого порядка /> и /> - циклическая />-подгруппа,которая не является нормальной в /> подгруппой (/> - различные простые числа). Предположим, что/> не является нильпотентной группой. Тогда />. Поскольку />,то /> - максимальная подгруппа группы /> и поэтому />.Так как группа порядка /> разрешима, то группа /> разрешима. Значит, /> -нормальная в /> подгруппа и поэтому главныефакторы группы /> имеют простые порядки.Следовательно, /> - сверхразрешимая группа.Лемма доказана.
Еслив группе /> каждая максимальная подгруппа />, индекс /> которойявляется степенью числа />, нормальна в />, то /> -/>-нильпотентная группа.
Доказательство.Предположим, что данная лемма не верна, и пусть /> -контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)Для любой неединичной нормальной подгруппы /> группы/> факторгруппа /> />-нильпотентна.
Пусть/> - максимальная подгруппа группы /> такая, что /> явяетсястепенью числа />. Тогда /> - максимальная в /> подгруппаи /> является степенью числа />. По условию, /> нормальнав />, и поэтому /> нормальнав />. Так как />,то /> - />-нильпотентнаягруппа.
(2)Группа /> имеет единственную минимальнуюнормальную подгруппу /> и /> -/>-подгруппа.
Пусть/> - минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех />-нильпотентныхгрупп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), /> и/> - единственная минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Предположим, что /> - />-подгруппа. Тогда/> для некоторой />-холловойподруппы /> группы />.Поскольку ввиду (1), /> нормальна в />, то /> -нормальная подгруппа в группе />, противоречие.Следовательно, /> - элементарная абелева />-подгруппа.
(3)Заключительное противоречие.
Пусть/> - максимальная подгруппа группы />, не содержащая />.Поскольку /> абелева, то /> и поэтому />.Это влечет />. Следовательно, /> для некоторого />.Значит, /> - нормальная в /> подгруппа и поэтому />,противоречие. Лемма доказана.
Дополнениемк теореме [2.2] является следующий факт.
[2.3].Пусть /> - группа, /> -ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы /> />-перестановочнасо всеми />-максимальными подгруппами группы />, то группа /> разрешимаи /> для каждого простого />.
Доказательство.Предположим, что теорема не верна, и пусть /> -контрпример минимального порядка.
(1)/> - непростая группа. Допустим, что />. Поскольку ввиду леммы (3),условие теоремы выполняется для факторгруппы />,то по выбору группы />, /> разрешимаи поэтому /> - разрешимая группа. Полученноепротиворечие показывает, что /> и,следовательно, любая максимальная подгруппа группы /> перестановочнасо всеми />-максимальными подгруппами в />.
Предположим,что все />-максимальные подгруппы группы /> единичны. Тогда порядок каждой />-максимальной подгруппа группы /> является делителем простого числа.Следовательно, любая максимальная подгруппа группы /> либонильпотентна (порядка /> или />), либо является ненильпотентной подгруппой иимеет порядок />. Значит, все максимальныеподгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы,мы получаем, что /> разрешима. Этопротиворечие показывает, что в группе /> существуетнеединичная />-максимальная подгруппа />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Тогда для любого />,/>. Если />,то ввиду леммы,/>. Полученное противоречие показывает, что />. Тогда />,что влечет />. Следовательно, /> - неединичная нормальная подгруппа в /> и поэтому группа /> непроста.
(2)Для любой неединичной нормальной в /> подгруппы/> факторгруппа /> разрешима(это прямо вытекает из леммы (3)).
(3)Группа /> имеет единственную минимальнуюнормальную подгруппу /> и />,где /> - такая максимальная в /> подгруппа, что />.
Пусть/> - произвольная минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Так как ввиду леммы,класс всех разрешимых групп c />-длиной /> образует насыщенную формацию, то /> - единственная минимальная нормальнаяподгруппа в />, причем />.Пусть /> - максимальная подгруппа группы /> такая, что />.Ясно, что />. Поскольку /> -единственная минимальная нормальная подгруппа в />,то />.
(4)/> - разрешимая группа.
Допустим,что /> - неразрешимая группа. Тогда /> и по выбору группы /> мызаключаем, что /> - прямое произведениеизоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа несодержится среди />-максимальных подгруппгруппы />.
Пусть/> - произвольная />-максимальнаяподгруппа, содержащаяся в />. Используяприведенные выше рассуждения, видим, что />.Следовательно, порядок любой />-максимальнойподгруппы группы />, содержащейся в />, равен простому числу. Ввиду леммы,/> - разрешимая группа. Пусть /> - максимальная подгруппа группы />, содержащая />.Так /> - простое число, то либо />, либо />.Пусть имеет место первый случай. Тогда />,и поскольку /> - простое число, то /> - максимальная подгруппа группы />. Из того, что индекс /> равенпростому числу, следует, что /> - максимальнаяподгруппа группы /> и поэтому /> - />-максимальнаяподгруппа в />. Так как /> -неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа />. Понятно, что /> -/>-максимальная подгруппа в /> и поэтому по условию перестановочна с />. В таком случае, />.Но /> - собственная подгруппа в /> и поэтому />.Это противоречие показывает, что />. Следовательно, />. Поскольку /> -простое число, то /> - максимальная подгруппав />. Из того, что группа /> естьпрямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в /> имеется неединичная />-максимальнаяподгруппа />. Тогда /> />-максимальна в /> иследовательно, />. Таким образом />. Это влечет />.Полученное противоречие показывает, что /> -разрешимая группа.
(5)Заключительное противоречие.
Из(3) и (4) следует, что /> - элементарная абелева />-группа для некоторого простого числа /> и поэтому />.Покажем, что /> делит />.Если /> не делит />,то /> - />-группа, ипоэтому />, что противоречит выбору группы />. Итак, /> делит/>. Ввиду леммы,/>.
Пусть/> - произвольная максимальная в /> подгруппа с индексом />,где /> и />. Тогда />, где /> -силовская />-подгруппа группы />.
Предположим,что /> не является нормальной в /> подгруппой. Ясно, что /> - максимальная в /> подгруппа.Если /> - нормальная подгруппа в />, то />.Значит, /> не является нормальной подгруппойв />. Пусть /> -произвольная максимальная подгруппа группы />.Тогда /> - />-максимальнаяв /> подгруппа и поэтому /> -/>-максимальная в /> подгруппадля любого />. Поскольку по условию /> />-перестановочна сподгруппой /> и />,то /> перестановочна с подгруппой /> и поэтому />.Ясно, что /> - />-максимальнаяв /> подгруппа. Так как /> и/> не является нормальной подгруппой в />, то /> ипоэтому /> - нормальная погруппа в />. Следовательно, /> -нормальная в /> подгруппа. Это влечет, что />. Ввиду произвольного выбора />, получаем, что каждая максимальная подгруппагруппы /> нормальна в />. Значит, /> -нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в /> нормальнав />. Предположим, что />.Поскольку /> и /> разрешима,то в группе /> существует минимальная нормальная />-подгруппа />,где />. Так как /> -максимальная в /> подгруппа, то />. Это влечет, что />.Следовательно, группа /> обладает главным рядом
/>
ипоэтому />. Полученное противоречие с выборомгруппы /> показывает, что />. Пусть /> -такая максимальная подгруппа группы />, что />. Тогда />.Это влечет />, что противоречие тому, что />.
Следовательно,/> - нормальная подгруппа в />. Согласно лемме,/> - />-нильпотентнаягруппа и поэтому />. Ввиду произвольноговыбора />, получаем, что /> для любого /> и/>. Ясно, что />,что противоречит />. Теорема доказана.3. Группы, в которых />-максимальные подгруппы перестановочны с />-максимальными подгруппами
Цельюданного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая />-максимальная подгруппа перестановочна совсеми />-максимальными подгруппами.
Длядоказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующаялемма.
[3.1].Пусть /> - группа Шмидта. Тогда в том итолько том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми 3-максимальнымиподгруппами группы />, когда группа /> имеет вид:
(1)/> - группа Миллера-Морено;
(2)/>, где /> -группа кватернионов порядка />, /> - группа порядка />.
Доказательство.Необходимость. Предположим, что /> - группа Шмидта,у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочнасо всеми 3-максимальными подгруппами группы />.Докажем, что в этом случае, либо /> - группаМиллера-Морено, либо />, где /> - группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка/>. Предположим, что это не так и пусть /> - контрпример минимального порядка.
Таккак /> - группа Шмидта, то ввиду леммы (I),/>, где /> -силовская />-подгруппа в />, /> - циклическая />-подгруппа.
Покажем,что /> - группа простого порядка. Предположим, чтоэто не так. Тогда в группе /> имеетсясобственная подгруппа /> простого порядка. Ввидулеммы (IV),/> и, следовательно, /> -нормальная подгруппа в группе /> и /> - группа Шмидта.
Понятно,что в группе /> каждая 2-максимальная подгруппагруппы /> перестановочна со всеми3-максимальными подгруппами группы />.
Поскольку/>, то /> ипоэтому по выбору группы /> мы заключаем,что либо /> - группа Миллера-Морено, либо />, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />.
Впервом случае /> - абелева подгруппа и,следовательно, /> - группа Миллера-Морено.Полученное противоречие с выбором группы /> показывает,что />, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />.Тогда />, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - циклическая группа порядка />. Пусть /> -такая максимальная подгруппа группы />, что />. Если />,то />. Поскольку /> -группа Шмидта, то /> нильпотентна, и поэтому />. Это означает, что /> -нормальная подгруппа в группе />. Полученноепротиворечие показывает, что />. Следовательно, /> - максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> -подгруппа группы /> с индексом />. Ясно, что /> -/>-макимальная подгруппа группы />. Так как по условию /> и/> перестановочны, то /> -подгруппа группы />, индекс которой равен />. Рассуждая как выше, видим, что /> - нормальная подгруппа группы />. Полученное противоречие показывает, что /> - группа простого порядка.
Пусть/> - произвольная максимальная подгрупа в /> и /> - максимальнаяподгруппа в />. Так как /> неабелева,то /> - неединичная подгруппа. Из того, что /> - максимальная подгруппа в />, следует, что /> -3-максимальная подгруппа в />.
Ввидулеммы (II), /> - максимальная подгруппа в />. Рассмотрим максимальную в /> подгруппу />,такую что />. Тогда
/>
и/> - 2-максимальная подгруппа в />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны.Если />, то используя лемму (V), имеем
/>
Изтого, что /> получаем, что порядок /> делит />.Поскольку />, то полученное противоречиепоказывает, что /> - собственная подгруппагруппы />. Следовательно, /> нильпотентна, и поэтому
/>
Значит,либо /> - максимальная подгруппа в />, либо />.В первом случае получаем, что /> являетсяединственной максимальной подгруппой в />.Это означает, что /> - циклическая подгруппа,что противоречит выбору группы />. Следовательно,первый случай невозможен. Итак, />. Ввидупроизвольного выбора /> получаем, что /> - единственная />-максимальнаяподгруппа в группе />. Из теоремы следует, что /> - либо циклическая группа, либогруппа кватернионов порядка />. Так как первыйслучай очевидно невозможен, то /> - группакватернионов порядка />. Поскольку подгруппа /> изоморфна погруппе группы автоморфизмов />, то />.Полученное противоречие с выбором группы /> доказывает,что либо /> - группа Миллера-Морена, либо />, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />.
Достаточностьочевидна. Лемма доказана.
.В ненильпотентной группе /> каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы /> тогда и только тогда, когда группа /> имеет вид:
(1)/> - группа Миллера-Морена;
(2)/> - группа Шмидта, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />;
(3)/> и />,
где/> - группа простого порядка />, /> - нециклическая />-группа и все ее максимальные подгруппы,отличные от />, цикличны;
(4)/>,
где/> - группа порядка />,/> - группа простого порядка />, отличного от />;
(5)/>,
где/> - группа порядка />,каждая подгруппа которой нормальна в группе />,/> - циклическая />-группаи />;
(6)/>,
где/> - примарная циклическая группа порядка />, /> - группапростого порядка />, где /> и />;
(7)/>,
где/> и /> - группы простыхпорядков /> и /> (/>), /> - циклическая />-подгруппа в /> (/>), которая не является нормальной в />, но максимальная подгруппа которой нормальнав />.
Доказательство.Необходимость. Пусть /> - ненильпотентная группа,у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочнасо всеми 3-максимальными подгруппами группы />.
Еслив группе /> все максимальные подгруппынильпотентны, то группа /> является группойШмидта. Ввиду леммы, группа /> оказываетсягруппой типа (1) или типа (2).
Итак,мы можем предположить, что в группе /> существуетненильпотентная максимальная подгруппа.
Изтеоремы следует, что группа /> разрешима. Таккак в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степеньюпростого числа, то />.
I./>.
Пусть/> - некоторая силовская />-подгруппа в /> и/> - некоторая силовская />-подгруппа в />,где />.
Предположим,что в группе /> нет нормальных силовских подгрупп.Так как группа /> разрешима, то в /> существует нормальная подгруппа /> простого индекса, скажем индекса />, и она не является нильпотентной группой.Действительно, если /> нильпотентна, то в нейнормальна силовская />-подгруппа />. Так как />,то /> - нормальная подгруппа в />. Из того, что /> следует,что /> - нормальная силовская />-подгруппа в />.Полученное противоречие показывает, что /> неявляется нильпотентной подгруппой.
Таккак /> является максимальной подгруппой в />, то по условию все 2-максимальные подгруппыгруппы /> перестановочны с каждоймаксимальной подгруппой группы />. Ввиду следствия,группа /> имеет вид />,где /> - группа простого порядка /> и /> - циклическая />-подгруппа.
Таккак
/>
ифакторгруппа /> изоморфна подгруппе из />, то /> больше/>.
Если/> - нильпотентная группа, то /> и поэтому согласно теореме Бернсайда,группа /> />-нильпотентна.Но тогда />. Полученное противоречиепоказывает, что /> является ненильпотентнойгруппой. Так как /> - нормальная подгруппа в />, то ввиду следствия,подгруппа /> имеет вид />,где /> - циклическая />-подгруппа,и, следовательно, />. Полученное противоречиепоказывает, что в группе /> существуетнормальная силовская подгруппа.
Пусть,например, такой является силовская />-подгруппа /> группы />.Пусть />. Ясно, что />.
Еслив группе /> существует подгруппа Шмидта />, индекс которой равен />, то />.Ввиду следствия,/> - группа порядка />.
Пусь/>. Допустим, что /> -циклическая подгруппа. В этом случае, группа /> являетсягруппой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что /> -нециклическая подгруппа. Пусть /> - произвольнаямаксимальная подгруппа группы />, отличная от />. Если /> -нильпотентная подгруппа, то группа /> нильпотентна,противоречие. Следовательно, /> - группа Шмидта,и поэтому /> - циклическая подгруппа. Такимобразом, группа /> относится к типу (3).
Пусть/>. Тогда />.Следовательно, /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Пусть /> - произвольная максимальная подгруппа группы/>. Если /> -нильпотентная подгруппа, то />, и поэтому />. Полученное противоречие показывает, что /> - группа Шмидта. Значит, /> - циклическая подгруппа. Пусть /> - произвольная максимальная подгруппа группы/>, отличная от />.Так как />, то /> -единственная />-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, />.Факторгруппа />, где /> -элементарная абелева подгруппа порядка /> и/>. Так как /> -неприводимая абелева группа автоморфизмов группы />,то /> - циклическая группа, и поэтому подгруппа /> циклическая, противоречие.
Предположимтеперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе /> являетсястепенью числа />.
Таккак в группе /> существуют собственные подгруппыШмидта, то />. Пусть /> -подгруппа Шмидта группы />. Тогда /> для некоторого />.Понятно, что для некоторого /> имеет место /> и поэтому не теряя общности мы можетполагать, что />. Поскольку />,то />. Из того, что />,следует, что />.
Таккак /> - максимальная подгруппа группы />, то по условию 2-максимальные подгруппыгруппы /> перестановочны со всемимаксимальными подгруппами в />. Используяследствие, мы видим, что /> - группапростого порядка и /> - циклическая подгруппа,причем все собственные подгруппы группы /> нормальныв />. Следовательно, /> являетсямаксимальной подгруппой группы />.
Предположим,что />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Из того, что />,следует, что /> - нильпотентная максимальнаяподгруппа в />. Значит, /> -нормальная подгруппа в />. Поскольку /> нормальна в />,то /> - нормальная подгруппа группы />. Так как />,то в группе /> существует 2-максимальнаяподгруппа /> такая, что />.Тогда /> - />-максимальнаяподгруппа в />, и следовательно, /> - />-максимальнаяподгруппа в />. Поскольку по условию /> перестановочна с />,то
/>
чтоприводит к противоречию с максимальностью подгруппы />.Следовательно, />.
Предположимтеперь, что />. Допустим, что />. Пусть /> -произвольная максимальная подгруппа группы /> и/> - произвольная />-максимальнаяподгруппа группы />. Рассуждая как вышевидим, что /> - нормальная подгруппа в группе /> и поэтому /> -подгруппа группы />. Используя приведенныевыше рассуждения видим, что />. Полученное противоречиес максимальностью подгруппы /> показывает, что />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, такая что />. Так как />,то /> - абелева и поэтому />.Следовательно, />. Так как />, то />.Из того, что
/>
получаем,что />, и поэтому /> -нормальная подгруппа в группе />.
Предположим,что в группе /> существует подгруппа /> порядка />,отличная от />. Из того, что порядок /> следует, что /> -максимальная подгруппа группы />. Отсюда следует,что /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Так как по условиюподгруппы /> и /> перестановочны,то мы имеем
/>
Следовательно,/> - подгруппа группы />,и поэтому
/>
Этопротиворечие показывает, что в группе /> существуетединственная подгруппа порядка />. Ввиду теоремы,группа /> является либо группой кватернионовпорядка />, либо является циклической группойпорядка />. В первом случае, подгруппа /> порядка /> группы/> содержится в центре /> группы/>, и поэтому подгруппа /> неявляется группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай.Значит, /> - циклическая подгруппа порядка />. Понятно, что />.Если />, то подгруппа /> нормальна в группе />,и поэтому />. Полученное противоречиепоказывает, что />. Таким образом, /> - группа типа (6). Пусть теперь />. Если порядок />,то />, и поэтому /> -группа типа (4). Предположим, что порядок />.Пусть /> - максимальная подгруппа группы /> и /> - максимальнаяподгруппа группы />. Из того, что />, следует, что /> -неединичная подгруппа. Так как подгруппа /> нильпотентна,то />. Но как мы уже знаем, /> - циклическая подгруппа и поэтому />. Следовательно, />.Пусть /> - произвольная подгруппа порядка /> группы />.Ясно, что /> - />-максимальнаяподгруппа группы /> и /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Значит, по условию подгруппы /> и /> перестановочны.Так как /> - абелева подгруппа, то /> - нормальная подгруппа в группе />. Заметим, что поскольку />, то
/>
являетсянормальной подгруппой в /> и поэтому /> - нормальная подгруппа в группе />. Это означает, что /> -группа типа (5).
II./>.
Пусть/> - некоторая силовская />-подгруппа группы />,/> - некоторая силовская />-подгруппа группы /> и/> - некоторая силовская />-подгруппа группы />,где /> - различные простые делители порядка группы />. Пусть /> -произвольная нормальная максимальная подгруппа группы />.Так как /> - разрешимая группа, то индексподгруппы /> в группе /> равеннекоторому простому числу. Пусть, например, индекс /> равен/>. Ввиду следствия,/> - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентнаягруппа порядка />.
1.Предположим, что /> - нильпотентнаяподгруппа. Пусть /> - силовская />-подгруппа группы />,/> - силовская />-подгруппагруппы /> и /> -силовская />-подгруппа группы />. Тогда />.Так как /> и />,то /> и /> - нормальныеподгруппы в группе />. Из того, что индексподгруппы /> равен />,следует, что /> и /> -силовские подгруппы группы /> и поэтому /> и />. Понятно, чтодля некоторого /> имеет место /> и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать,что />. Следовательно, />.Ясно, что /> не является нормальной подгруппойв группе />.
Еслиподгруппы /> и /> нильпотентны,то /> и />, и поэтому /> - нормальная подгруппа в группе />. Значит, подгруппы /> и/> не могут быть обе нильпотентнымиподгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.
а)/> и /> - группы Шмидта.
Таккак />, то ввиду следствия,/> - подгруппа простого порядка /> и /> - циклическаяподгруппа, которая не является нормальной в группе />,но максимальная подгруппа /> группы /> нормальна в />.Аналогично видим, что /> - подгруппа простогопорядка /> и /> -нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> - нормальная подгруппа в />, и поэтому /> являетсягруппой типа (7).
б)Одна из подгрупп />, /> являетсянильпотентной, а другая — группой Шмидта.
Пустьнапример, /> - группа Шмидта и /> - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует,что /> - группа простого порядка />, /> - циклическаягруппа и максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />.Так как /> - нильпотентная группа, то />. Из того, что /> следует,что /> - нормальная подгруппа в группе />. Значит, ввиду леммы,/> - нормальная максимальная подгруппа в группе/> и поэтому />.Следовательно, /> - группа простого порядка/>.
Изтого, что /> - нильпотентная подгруппа и /> - циклическая группа следует, что /> - нормальная подгруппа в />. Следовательно, /> -нормальная подгруппа в группе />, т.е. /> - группа типа (7).
2.Предположим теперь, что /> -ненильпотентная группа.
Изследствия следует, что />, где /> - группа простого порядка /> и /> - циклическаягруппа, которая не является нормальной в группе />,но максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />.Так как /> - характеристическая подгруппа в /> и /> - нормальнаяподгруппа в />, то /> -нормальная подгруппа в />. Из того, что /> - нормальная максимальная подгруппа в группе/>, следует, что /> -группа простого порядка />.
Покажемтеперь, что /> - нормальная подгруппа в группе />. Так как />,то /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Пусть /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Тогда /> - />-максимальнаяподгруппа группы /> для любого />. По условию /> -подгруппа группы />. Поскольку порядок
/>
делит/>, то />.Таким образом /> для любого />,т.е. />. Так как /> -нормальная подгруппа в группе />, то />, и поэтому />.Отсюда получаем, что /> - нормальная подгруппа вгруппе />. Поскольку /> -/>-максимальная подгруппа, то согласноследствия, /> - нильпотентная группа, и поэтому />. Это означает, что /> -нормальная подгруппа в группе />. Таким образом,группа /> является группой типа (7).
Итак,/> - группа одного из типов (1) — (7) теоремы.
Достаточность.Покажем, что в группе /> каждая />-максимальная подгруппа перестановочна совсеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть/> - группа типа (1) или (2). Ввиду леммы,в группе /> каждая />-максимальнаяподгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами группы />.
Пусть/> - группа типа (3). Тогда /> и />, где /> - группа простого порядка />, /> - нециклическаягруппа и все ее максимальные подгруппы, отличные от />,цикличны. Пусть />.
Таккак />, то />,и поэтому в группе /> существует нильпотентнаямаксимальная подгруппа, индекс которой равен />.Пусть /> - произвольная нильпотентнаямаксимальная подгруппа группы /> с индексом />. Тогда />.Так как /> - максимальная подгруппа группы />, то /> -нормальная подгруппа в />, и следовательно,
/>
Значит,/> - единственная нильпотентная максимальнаяподгруппа, индекс которой равен />.
Пусть/> - произвольная максимальная подгруппа в /> и /> - максимальнаяподгруппа в />. Пусть /> -произвольная максимальная подгруппа в />,/> - максимальная подгруппа в />, /> - максимальнаяподгруппа в />.
1.Если /> и /> -нильпотентные подгруппы группы /> индекса />, то />.Так как /> - максимальная подгруппа группы />, то /> -нормальная подгруппа в />, и следовательно, /> перестановочна с />.
2.Предположим, что /> является ненильпотентнойподгруппой. Так как />, то />. Из того, что />,следует, что /> - циклическая подгруппа. Так как />, то /> -максимальная подгруппа группы />, и поэтому /> - нормальная подгруппа в группе />. Из того, что />,следует, что />. Следовательно, /> - нильпотентная максимальная подгруппагруппы />, индекс которой равен />. Если /> -максимальная подгруппа группы /> такая, что />, то /> -/>-подгруппа, и поэтому /> -нильпотентная подгруппа. Пусть /> - произвольнаямаксимльная подгруппа группы />, индекс которой /> равен />.Так как />, то />.Следовательно, для некоторого /> мы имеем />. Без ограничения общности можно полагать,что />. Так как /> -максимальная подгруппа циклической группы />,то />, и поэтому /> -нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, /> -группа Шмидта. Значит, /> и поэтому />, где /> -циклическая />-подгруппа.
Если/>, то />.Так как /> - подгруппа циклической группы />, то />.Из того, что /> - максимальная подгруппа группы />, следует, что /> -нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> - нормальная подгруппа в группе /> и поэтому />.Это означает, что подгруппа /> перестановочнасо всеми 2-максимальными подгруппами группы />.
Если/>, то /> -подгруппа циклической группы /> и поэтому /> - нормальная подгруппа в />. Так как группа /> нильпотентна,то /> - нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> -нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна со всеми 2-максимальнымиподгруппами группы />.
3.Предположим теперь, что /> - нильпотентнаягруппа, такая что />, и /> не является нильпотентнай подгруппой. Тогда />. Рассуждая как выше видим, что /> - группа Шмидта. Так как />, то /> имеетвид
/>,
где/> - циклическая />-группа.
Если/>, то />.Но /> - подгруппа циклической группы /> и поэтому />.Из того, что /> - максимальная подгруппа группы />, следует, что /> -нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> - нормальная подгруппа в группе /> и поэтому мы имеем />,что влечет перестановочность подгруппы /> совсеми />-максимальными подгруппами группы />, в частности с />.
Если/>, то подгруппа /> содержитсяв некоторой силовской />-подгруппе /> группы />.Так как /> - максимальная подгруппа группы />, то /> ипоэтому />. Следовательно, /> - максимальная подгруппа группы />. Значит, /> -нормальная подгруппа в />. Так как /> - нильпотентная группа, такая что />, то />.Ясно, что /> - нормальная подгруппа группы />. Если />,то /> имеет вид />.Так как />, то имеет место /> и поэтому
/>.
Этоозначает, что подгруппы /> и /> перестановочны. Если />,то /> и поэтому />.Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны.
4.Если />, то подгруппа /> является максимальной подгруппой группы /> индекса /> и/> - 2-максимальная подгруппа в />. Но подгруппы такого вида уже изучены.
5.Если />, то подгруппа /> является максимальной подгруппой группы /> с индексом /> и/> - максимальная подгруппа группы />. Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы/> группы /> перестановочнысо всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Этоозначает, что в любом случае /> перестановочнасо всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Легковидеть, что в группе /> типа (4) каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть/> - группа типа (5). Легко видеть, что вгруппе /> все />-максимальныеподгруппы группы /> нормальны в группе />. Таким образом, каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть/> - группа типа (6). Пусть /> - максимальная подгруппа группы />. Понятно, что либо />,либо />, где />.Отсюда следует, что /> - единственнаянеединичная />-максимальная подгруппа группы />. Так как />,то /> - нормальная подгруппа в группе />, и поэтому подгруппа /> перестановочнасо всеми />-максимальнаыми подгруппами группы />.
Пусть/> - группа типа (7). Тогда />, где /> -подгруппа группы /> простого порядка />, /> - подгруппагруппы /> простого порядка /> и /> - циклическая />-подгруппа группы />,которая не является нормальной подгруппой в группе />,но максимальная подгруппа группы /> нормальна в />. Покажем, что в группе /> любая />-максимальнаяподгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />. Предположим, что данное утверждение неверно, и пусть /> - контрпримерминимального порядка.
Предположим,что />. Пусть /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> -нормальная подгруппа группы />. Следовательно, /> перестановочна с любой />-максимальной подгруппой группы />. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что />.
Пусть/> - подгруппа группы /> синдексом />. Так как />,то /> - неединичная подгруппа группы />. Ясно, что /> -нормальная подгруппа группы />. Факторгруппа /> имеет вид />,где /> - силовская подгруппа порядка />, /> - силовскаяподгруппа порядка />, /> -циклическая силовская />-подгруппа, которая неявляется нормальной подгруппой в />, но максимальнаяподгруппа /> группы /> нормальнав группе />. Поскольку />,то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что любая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />. Пусть /> -произвольная />-максимальная подгруппа группы /> и /> - />-максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> и/>. Отсюда следует, что /> -/>-максимальная подгруппа группы /> и /> - />-максимальная подгруппа группы />, и поэтому
/>
Следовательно,подгруппы /> и /> перестановочны.Полученное противоречие с выбором группы /> заканчиваетдоказательство теоремы.
Еслив группе /> любая ее />-максимальнаяподгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами группы /> и />,то /> - нильпотентная группа.
Классыгрупп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все этоклассы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2),(3), (5) — (7).
Хорошоизвестно, что в группе автоморфизмов /> группыкватернионов /> имеется элемент /> порядка />.Пусть />. Тогда /> принадлежиттипу (2). Действительно, пусть /> - единственнаяподгруппа порядка 2 группы />. Тогда /> и поэтому />.Понятно, что /> - главный фактор группы /> и кроме того, />.Таким образом, /> - максимальная подгруппагруппы /> и все максимальные в /> подгруппы, индекс которых делится на 2,сопряжены с />. Следовательно, /> - группа Шмидта.
Пусть
/>
и/> - группа порядка 7. Ввиду леммы,/> - абелева группа порядка 9. Поскольку /> изоморфна некоторой подгруппе /> порядка 3 из группы автоморфизмов />, то /> -группа операторов для /> с />.Пусть />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы /> и /> не являетсянормальной подгруппой группы />. Легкопроверить, что все максимальные подгруппы группы />,отличные от />, цикличны и не являютсянормальными подгруппами группы /> и поэтому /> - группа типа (3).
Пустьтеперь /> и /> -такие простые числа, что /> делит />. Тогда если /> -группа порядка />, то в группе ееавтоморфизмов /> имеется подгруппа /> порядка />.Пусть />, где /> -группа порядка />. Тогда /> - группа операторов для /> с /> и поэтому группа/> принадлежит типу (3).
Пустьснова /> и /> -группы, введенные в примере, /> и />, где /> Пусть/> - канонический эпиморфизм группы /> на факторгруппу />.Пусть /> - прямое произведение групп /> и /> с объединеннойфакторгруппой /> (см. лемму ).Пусть /> - силовская />-подгруппа группы />.Тогда />, где /> ипоэтому
/>, где /> />
Покажем,что />. Поскольку /> и/>, то />.Следовательно, /> и поэтому />. Значит, />.Так как /> и />,то /> и поэтому /> .Пусть /> - неединичная подгруппа из />. Ясно, что />.Пусть />. Мы имеем
/>
Значит,/> и поэтому />.Следовательно, /> - нормальная погруппа в />. Таким образом, группа /> принадлежит типу (5).
Пусть/> - циклическая группа порядка />, где /> -простое нечетное число. Согласно лемме,/>. Пусть теперь /> -произвольный простой делитель числа /> и /> - группа порядка /> в/>. Обозначим символом /> полупрямоепроизведение />. Пусть /> -подгруппа порядка /> группы />. Тогда /> ипоэтому если />, то согласно лемме,/>, что противоречит определению группы />. Следовательно, />,что влечет />. Значит, группа /> принадлежит типу(6).
Покажем,наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть /> и/> - группы нечетных простых порядков /> и /> соответственно (/>). Тогда
/>
ипоэтому найдется такой простой делитель /> числа/>, который одновременно отличен от /> и />. Пусть />, где /> -группа порядка /> в />.Тогда группа /> принадлежит типу (7).
4. Группы, в которых максимальныеподгруппы перестановочны с />-максимальнымиподгруппами
Вданном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппагруппы перестановочна со всеми ее />-максимальнымиподгруппами.
Длядоказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующиелеммы.
Класс/> всех таких абелевых групп />, что /> несодержит кубов, является формацией.
Доказательство.
Пусть/>. И пусть /> -произвольная нормальная подгруппа группы />.Тогда /> абелева. Так как по определениюэкспоненты /> делит /> ипоскольку /> не содержит кубов, то /> не содержит кубов. Следовательно, />.
Пусть/> и />. Покажем, что
/>.
Пусть/>. Тогда />,где /> и />. Так как />, то по определению экспоненты />. Из того, что /> и/> не содержат кубов, следует, что /> не содержит кубов. Поскольку группа /> изоморфна подгруппе из />, то /> делит/>, и поэтому /> несодержит кубов. Так как группа /> абелева, то />. Следовательно, /> -формация. Лемма доказана.
[4.1].Пусть />, где /> -формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы /> перестановочна с любой />-максимальной подгруппой группы />, то />.
Доказательство.Предположим, что лемма не верна, и пусть /> -контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)Для любой неединичной нормальной подгруппы /> группы/>, факторгруппа />.
Пусть/> - максимальная подгруппа группы /> и /> - />-максимальная подгруппа группы />. Тогда /> -максимальная подгруппа группы /> и /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Из того, что по условиюподгруппы /> и /> перестановочны,мы имеем
/>
Поскольку/>, то /> ипоэтому по выбору группы /> мы заключаем,что />.
(2)/> имеет единственную минимальную нормальнуюподгруппу /> для некоторого простого />, и /> где/> - максимальная подгруппа группы /> с />.
Пусть/> - минимальная нормальная подгруппа группы />. Ввиду леммы, /> -разрешимая группа, и поэтому /> - элементарнаяабелева />-группа для некоторого простого />. Так как /> -насыщенная формация, то ввиду (1), /> - единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы /> и/>. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, не содержащая /> и />. По тождествуДедекинда, мы имеем />. Из того, что /> абелева, следует, что /> и поэтому />.Это показывает, что />, />.
(3)Заключительное противоречие.
Ввиду(2), для некоторой максимальной подгруппы /> группы/> имеем />.Так как />, то />.Пусть /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Тогда по условию, /> для каждого />.По лемме,/> и поэтому />.Следовательно, />. Это означает, что каждая/>-максимальная подгруппа группы /> единичная, и следовательно, /> - простое число для всех максимальныхподгруппы /> группы />.Так как /> для некоторого простого />, то /> -максимальная подгруппа группы />. Это означает,что /> - />-максимальнаяподгруппа группы />.
Предположим,что />. Тогда в /> имеетсянеединичная максимальная подгруппа />. Ясно, что /> - />-максимальнаяподгруппа группы />, и поэтому /> перестановочна с />.Следовательно, />, но />. Полученное противоречие показывает, что />.
Посколькуввиду (1),
/>, то /> -нильпотентная подгруппа.
Изтого, что /> - неединичная нормальная подгруппав группе />, следует, что />.
Таккак факторгруппа /> изоморфна подгруппегруппы автоморфизмов /> и группа автоморфизмов /> группы /> простогопорядка /> является циклической группойпорядка />, то /> абелева.Из того, что /> и /> несодержит кубов, следует, что /> не содержиткубов. Это означает, что />. Следовательно, />, и поэтому /> -нильпотентная подгруппа. Таким образом, />.Полученное противоречие с выбором группы /> доказываетлемму.
[4.1].В примитивной группе /> каждаямаксимальная подгруппа группы /> перестановочнасо всеми />-максимальными подгруппами группы /> тогда и только тогда, когда группа /> имеет вид:
(1)/>,
где/> - группа порядка /> и/> - группа порядка />,где />;
(2)/>,
где/> - минимальная нормальная подгруппа в /> порядка /> и/> - группа порядка />,где />;
(3)/>,
где/> - группа порядка /> и/> - группа порядка />,где />.
(4)/>,
где/> - группа порядка /> и/> - группа порядка />,где /> - различные простые делители порядка группы />.
Доказательство.Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа /> разрешима,то />, где /> -примитиватор группы /> и /> -единственная минимальная нормальная подгруппа группы />,/>. Ввиду леммы,/>.
Пусть/> - произвольная максимальная подгруппа группы/> и /> - максимальнаяподгруппа группы />. Ясно, что /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны.Следовательно, для любого />, /> - подгруппа группы />,и поэтому либо />, либо />. Ввиду леммы, первый случай не возможен.Следовательно, />. Это означает, что /> для любого />.Значит, />. Следовательно, в группе /> все />-максимальныеподгруппы единичны. Это означает, что либо />,либо />, либо />.
1.Пусть />. Если />,то группа /> принадлежит типу (1). Если />, то группа /> принадлежиттипу (3).
2.Пусть />. Допустим, что />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />. Тогда /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны.Следовательно, />. Полученное противоречиепоказывает, что />. В этом случае /> - группа типа (2).
3.Пусть />. Рассуждая как выше, видим, что />. Значит, /> -группа типа (4).
Достаточностьочевидна. Лемма доказана.
Посколькув любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все ониперестановочны со всеми />-максимальнымиподгруппами группы />. Опишем теперьненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочнасо всеми />-максимальными подруппами.
[4.2].В ненильпотентной группе /> каждая еемаксимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами группы /> тогда и только тогда,когда либо /> где /> -различные простые числа и /> либо /> - группа типа (2) из теоремы ,либо /> - сверхразрешимая группа одного изследующих типов:
(1)/>,
где/> - группа простого порядка />, а /> -такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что />, где /> и/>;
(2)/>,
где/> - группа простого порядка />, /> - циклическая />-группа с /> (/>) и />;
(3)/>,
где/> - группа простого порядка />, /> - />-группа с /> (/>), /> и всемаксимальные подгруппы в />, отличные от />, цикличны.
Доказательство.Необходимость.
Пусть/> - группа, в которой каждая максимальнаяподгруппа перестановочна с любой />-максимальнойподгруппой группы />.
Поскольку/> - ненильпотентная группа, то в нейсуществует максимальная подгруппа />, которая неявляется нормальной в />. Тогда />. Следовательно, /> -примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .
I.Пусть />, где /> и/> - простые числа (не обязательно различные).Ввиду леммы,/> и />.
Таккак />, то /> содержитсяв некоторой максимальной подгруппе /> группы />. Пусть /> -произвольная максимальная подгруппа группы /> и/> - максимальная подгруппа группы />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, для любого /> подгруппы /> и/> перестановочны. Это означает, что />. Поскольку />,то либо />, либо />.Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, /> -единственная максимальная подгруппа группы />,и поэтому /> - примарная циклическая группа.Ввиду произвольного выбора />, /> - примарная циклическая группа.
Пусть/>. Тогда /> длянекоторого />. Пусть /> -силовская />-подгруппа группы />, /> - силовская />-подгруппа группы /> и/> - силовская />-подгруппагруппы />. Так как
/>,
то/> - группа порядка /> и/>. Из того, что факторгруппа /> сверхразрешима и подгруппа /> циклическая, следует, что /> - сверхразрешимая группа. Допустим, что /> - наибольший простой делитель порядка группы/>. Тогда /> ипоэтому />. Значит, /> и/>, противоречие. Если /> -наибольший простой делитель порядка группы />,то рассуждая как выше видим, что /> и />. Полученное противоречие показывает, что /> - наибольший простой делитель порядка группы/>. Значит, /> -нормальная подгруппа в группе />. Если />, то /> и/>, где /> -группа порядка />, /> -/>-группа. Ясно, что /> -единственная />-максимальная подгруппа в />. Поскольку /> -неприводимая абелева группа автоморфизмов группы />,то /> - циклическая группа и поэтому /> - циклическая группа. Следовательно, /> - группа типа (2).
Пустьтеперь />. Поскольку в группе /> все максимальные подгруппы примарны ицикличны, то /> и поэтому />.
II.Пусть />. Согласно лемме,/>, где /> -минимальная нормальная подгруппа в группе /> илибо />, либо />.
1.Пусть />.
Пусть/> - силовская />-подгруппагруппы />.
Пусть/> - произвольная максимальная подгруппа группы/>, отличная от />.Рассуждая как выше видим, что /> - примарнаяциклическая группа. Значит, />.
Предположим,что /> - />-группа. Тогда />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />.
Допустим,что />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы /> такая, что />. Тогда /> -/>-максимальная подгруппа группы />, и следовательно, /> -подгруппа группы />, что влечет
/>
Полученноепротиворечие показывает, что /> и поэтому />. Значит, />,где /> - минимальная нормальная подгруппа группы /> порядка /> и/>. Следовательно, />.
Пустьтеперь /> и />.Пусть /> - силовская />-подгруппа в /> и/> - максимальная подгруппа группы />, которая содержит />.Тогда />.
Таккак /> - циклическая силовская />-подгруппа группы />,то /> - />-сверхразрешимаягруппа.
Предположим,что />. Пусть /> -силовская />-подгруппа группы /> и пусть /> -максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Допустим, что />.Тогда ввиду леммы,/> - сверхразрешимая группа, /> и поэтому /> -нормальная подгруппа в группе />. Пусть /> - силовская />-подгруппагруппы />. Так как /> -нормальная максимальная подгруппа в группе />,то />. Поскольку /> сверхразрешима,то />, и поэтому /> -нормальная подгруппа в группе />. Из того, что /> - циклическая группа, следует, что />. Значит, /> -нормальная подгруппа в группе />. Предположим,что />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, такая что />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Поскольку по условию подгруппы /> и /> перестановочны,то
/>
противоречие.Следовательно, />. Пусть теперь /> - произвольная максимальная подгруппа группы/>. Поскольку /> -/>-максимальлная подгруппа группы />, то
/>
Полученноепротиворечие показывает, что />. Значит, /> и />. Так как /> - максимальная подгруппа группы />, то /> -минимальная нормальная подгруппа в группе />.Из того, что /> - силовская />-подгруппа группы />,следует, что />. Ясно, что />.Следовательно, />, и поэтому /> - нормальная подгруппа в группе />. Допустим, что />.Пусть /> - максимальная подгруппа группы />, такая что />.Рассуждая как выше видим, что
/>
противоречие.С другой стороны, если />, то как и выше получаем,что
/>
чтоневозможно. Следовательно, />.
Предположимтеперь, что />. Допустим, что />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, такая что />. Поскольку /> -максимальная подгруппа группы /> и />, то /> -/>-максимальная подгруппа группы />. По условию /> -подгруппа группы />. Следовательно, />, противоречие. Используя приведенные вышерассуждения можно показать, что при /> этот случайтакже невозможен.
Полученноепротиворечие показывает, что />. Пусть />. Тогда />,и поэтому /> - нормальная силовская />-подгруппа в группе />.Значит, />, где />.Пусть /> - максимальная подгруппа группы /> такая, что /> -максимальная подгруппа в />. Пусть /> - произвольная максимальная подгруппа группы/>. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Поскольку />,то /> и поэтому />.Значит, /> - единственная максимальнаяподгруппа группы />. Следовательно, /> - циклическая группа. Пусть /> - произвольная максимальная подгруппа группы/>, отличная от />.Так как
/>,
то/>. С другой стороны, /> ипоэтому /> - максимальная подгруппа группы />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Ясно, что /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Поскольку подгруппы /> и/> перестановочны и />,то /> и поэтому />.Следовательно, /> - единственная />-максимальная подгруппа группы />. Значит, согласно теореме,/> - либо циклическая группа, либо группакватернионов порядка />. Пусть имеет место первыйслучай. Тогда />. Это означает, что /> - нормальная подгруппа в />, и поэтому /> Полученноепротиворечие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, />, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />.
Пустьтеперь />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />. Тогда /> - />-максимальнаяподгруппа группы />, и, следовательно, /> - подгруппа группы />.Но поскольку />, то этот случай невозможен.
2.Для любой максимальной и не нормальной в /> подгруппы/> имеет место />,где /> и /> - различыепростые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любоймаксимальной в /> подгруппы есть простоечисло. Это означает, что группа /> сверхразрешима,что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы />.Пусть /> - произвольная максимальнаяподгруппа группы />, отличная от />. Рассуждая как выше видим, что /> - примарная циклическая подгруппа и поэтому /> для некоторых /> и/>. Следовательно, />.Пусть /> - силовская />-подгруппа группы />,пусть /> - силовская />-подгруппа группы />,которая содержится в /> и пусть /> - силовская />-подгруппагруппы />, которая содержится в />. Если /> -нормальная подгруппа группы />, то />. Полученное противоречие показывает, что /> не является нормальной подгруппой группы />.
Допустим,что />. Тогда /> -силовская />-подгруппа группы /> и />. Изсверхразрешимости группы /> следует, что /> - нормальная подгруппа группы />. Значит, />,где /> - группа простого порядка />. Ясно, что /> ипоэтому />. Поскольку все максимальныеподгруппы группы />, отличные от />, цикличны, то /> -группа типа (3).
Пусть/>. Тогда /> и/> - нормальная подгруппа группы />. Значит, />.Так как /> - максимальная подгруппа группы />, то /> -циклическая подгруппа и />. Если />, то />.Если />, то /> -группа типа (1).
Пустьтеперь, /> - различные простые числа. Тогда /> и />. Если /> - нормальная подгруппа группы />, то /> ипоэтому /> - группа типа (1). Пусть /> не является нормальной подгруппой группы />. Тогда /> -наибольший простой делитель порядка группы /> ипоэтому /> - нормальная подгруппа группы />. Пусть /> -максимальная подгруппа группы />, такая что /> и />. Допустим, что /> - нормальная подгруппа группы />. Значит, в ней существует нормальная силовскаяподгруппа. Если />, то /> и поэтому /> -нормальная подгруппа группы />. Полученноепротиворечие показывает, что для некоторого />,/> - нормальная подгруппа группы />. Следовательно, /> -нормальная подгруппа группы />, противоречие.Значит, /> не является нормальной подгруппойв группе />. Рассуждая как выше видим, что у /> все максимальные подгруппы отличные от /> примарны и цикличны и />. Значит, /> -группа типа (1).
Достаточность.Если /> и />,то очевидно, что любая />-максимальная погруппагруппы /> перестановочна с ее максимальнымиподгруппами.
Пусть/> - группа Шмидта, где /> -группа кватернионов порядка /> и /> - группа порядка />.Ясно, что в группе /> />-максимальныеподгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.
Предположимтеперь, что /> - группа типа (1)-(3). Пусть /> - произвольная максимальная подгруппа группы/> и /> - />-максимальная подгруппа группы />. Докажем, что подгруппы /> и /> перестановочны.
Пусть/> - группа типа (1). Пусть />.
1.Пусть />, где /> -простое число, отличное от />. Пусть /> - силовская />-подгруппагруппы />, которая содержится в />. Тогда />.
Допустим,что />. Поскольку группа /> сверхразрешима,то индекс /> максимальной подгруппы /> является простым числом.
Пусть/>. Тогда />.Значит, />. Поскольку
/>,
то/> - максимальная в /> подгруппа.Если />, то /> -примарная циклическая группа. Так как /> делит/>, то />,/> и поэтому для некоторого />, />. Полученноепротиворечие показывает, что />. Это означает,что /> - нормальная подгруппа в />.
Допустим,что />. Пусть />.Тогда /> - нормальная подгруппа в />. Поскольку в /> любаямаксимальная подгруппа индекса /> совпадает с />, то /> -нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна с />.
Пустьтеперь />. Пусть /> -силовская />-подгруппа и /> - силовская />-подгруппав /> соответственно. Пусть />. Тогда /> ипоэтому для некоторого />, />.Из того, что />, следует, что /> - максимальная подгруппа группы />. С другой стороны, /> -максимальная подгруппа циклической группы />.Значит, />. Отсюда следует, что /> и поэтому /> -нормальная подруппа в />. Следовательно, /> перестановочна с />.Пусть />. Тогда для некоторого />, />. Рассуждая каквыше видим, что />. Значит, /> - нормальная подгруппа в />. Поскольку
/>,
то/>. Это означает, что подгруппы /> и /> перестановочны.Пусть />. Используя приведенные вышерассуждения видим, что /> - нормальная подгруппа в />. Поскольку />,то /> - нормальная подгруппа в />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны.Пусть />. Рассуждая как выше видим, что /> - нормальная подгруппа в /> и />. Значит, />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны. Пустьтеперь />. Поскольку />,то /> - нормальная подгруппа в />. Пусть />.Тогда />, где />.Пусть /> - силовская />-подгруппа группы />.Пусть />. Тогда /> -/>-группа и для некоторого />, />. Без ограниченияобщности можно предположить, что />. Поскольку />, то />.Значит, />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны.Пусть />. Тогда />.Следовательно, /> и поэтому подгруппа /> перестановочна с />.Пусть />. Тогда />.Ясно, что />. Следовательно, />. Это означает, что подгруппы /> и /> перестановочны.Пусть />. Тогда />.Поскольку />, то
/>
ипоэтому подгруппы /> и /> перестановочны.
Если/>, то рассуждая подобным образом, получаем,что /> перестановочна с />.
Допустим,что />. Так как в /> всемаксимальные подгруппы, отличные от />, примарные ициклические, то /> - максимальная подгруппав />. Следовательно, />.Это означает, что в группе /> существуетединственная />-максимальная подгруппа /> и она единична. Таким образом, /> перестановочна с />.
2.Пусть теперь />.
Пусть/>. Тогда /> -нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна с />.Пусть />. Тогда />.Поскольку для некоторого />, />, то без ограничения общности можнопредположить, что />. Значит, />. Если />,то /> и поэтому
/>
Допустим,что />. Тогда /> -/>-группа. Поскольку для некоторого />, /> и />, то /> ипоэтому />. Пусть теперь />. Пусть /> -силовская />-подгруппа и /> - силовская />-подгруппав /> соответственно. Тогда />. Ясно, что /> длянекоторого /> и />.Следовательно, /> и поэтому />. Если />,то
/>
Если/>, то
/>
Влюбом случае, />-максимальная подгруппа /> перестановочна с максимальной подгруппой />.
Пусть/> - группа типа (2) или (3). Если />, то />.Поскольку />, то /> -/>-максимальная подгруппа группы />. Если />,то /> содержится в некоторой максимальнойциклической подгруппе /> группы />. Так как />,то /> - нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что
/>
Значит,/> перестановочна с />.Пусть />. Если />,то /> для некоторого />.Поскольку /> то
/>
ипоэтому /> перестановочна с />. Если />,то />. Из того, что />,следует, что />. Значит, /> перестановочнас />.
Пустьтеперь />. Тогда /> -/>-группа и, следовательно, для некоторого />, /> . Безограничения общности можно предположить, что />.Ясно, что /> - />-максимальнаяподгруппа группы />. Пусть /> - максимальная подгруппа группы />, содержащая />.Допустим, что />. Если />,то />. Предположим, что />.Тогда /> - циклическая группа. Поскольку />, то /> -максимальная подгруппа группы />. Из того, что /> - циклическая подгруппа следует, что />. Значит, />.Поскольку />, то /> -нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> - нормальная подгруппа в />. Значит, /> перестановочнас />.
Пусть/>. Поскольку /> -циклическая группа, то /> - нормальная подгруппа в />. Следовательно, /> перестановочнас />. Теорема доказана.
Еслив группе /> любая ее максимальная подгруппаперестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами группы /> и />,то /> - нильпотентная группа.
Легковидеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и вслучае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) — (3).
Заключение
Вданной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппыперестановочны с />-максимальными подгруппамигрупп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая />-максимальнаяподгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальнаяподгруппа перестановочна со всеми />-максимальнымиподгруппами. Доказана />-разрешимость и найденыоценки />-длины групп, у которых каждая />-максимальная подгруппа />-перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами, где />.
Литература
1.БоровиковМ.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросыалгебры. Выпуск 5. — Минск: Университетское, 1990. — С. 80-82.
2.БоровиковМ.Т. О />-разрешимости конечной группы //Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И.Салука. — Минск: Наука и техника, 1986. — С. 3-7.
3.БелоноговВ.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными />-максимальнымиподгруппами // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 21-32.
4.БерковичЯ.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл.АН СССР. — 1964. — Т. 158, № 5. — С. 1007-1009.
5.БерковичЯ.Г. Конечные группы, у которых все />-е максимальныеподгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. — 1969. — Т. 5,№ 1. — С. 129-136.
6.БерковичЯ.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальнымиподгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. — 1969. — № 7. — С. 10-15.
7.БерковичЯ.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат.журн. — 1967. — Т. 8, № 4. — С. 741-753.
8.ВеньбиньГо, Шам К.П., Скиба А.Н., />-накрывающиесистемы подгрупп для классов />-сверхразрешимыхи />-нильпотентных конечных групп // Сиб. мат.журнал. — 2004. — Т. 45, № 3. — С. 75-92.
9.ГолубеваО.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм.навук. — 2001. — № 3. — С. 135-136.
10.КурносенкоН.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентнымиподгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. — 1998. С. 113-122.
11.ПальчикЭ.М. О />-квазинормальных подгруппах //Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 11. — С. 967-969.
12.ПальчикЭ.М. О группах, все />-максимальные подгруппыкоторых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем.наук. — 1968. — № 1. — С. 45-48.
13.ПальчикЭ.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 5. — С. 391-392.