Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

--PAGE_BREAK--
Пример 3. Найти общее решение системы:

    

Характеристическое уравнение



Имеет различные и притом вещественные корни λ1 = 2,  λ2 = 3, λ3=6,  так что фундаментальная система решений имеет вид (10). Найдем сначала частное решение вида



Соответствующее характеристическому числу λ1 = 2. В качестве чисел γ11, γ22, …, γ1nможно взять алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

                             

который получается из характеристического определителя Δ (λ) заменой  λ на λ1=2. Получаем



или (деля на 2)

 

Подставляя эти значения γ1kв (33), получим



Аналогично найдем, что в качестве чисел γ2k, γ3k, соответствующих характеристическим числам λ2 = 3, λ3=6, можно взять γ21 = 1, γ22 = 1, γ23 = 1, γ31 = 1, γ32 = -2, γ33 = 1. Фундаментальной системой решений будет



Так что общее решение имеет следующий вид


Случай наличия кратных корней характеристического
уравнения.

 Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то изложенный выше способ построе­ния фундаментальной системы решений, очевидно, не приме­ним.

  Однако и в этом случае удается построить фундаменталь­ную систему решений в элементарныхфункциях.

Заметим, прежде всего, что если l1есть простое характе­ристическое число, то независимо от того, будут среди осталь­ных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

                      
y
1
=
g
1
e
l
1
x, y
2
=
g
2
e
l
1
x, …, yn
=
g
n
e
l
1
x    (38)

где g1, g2, … ,gn— некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти част­ные решения, соответствующие кратному корню.

При этом, так же как и для линейного однородного урав­нения n-го порядка, оказывается, что одному характеристичес­кому числу кратности k
соответствует k
линейно независимых частных решений.

Теорема.Если l
1
есть характеристическое число крат­
ности
k
, то ему соответствует решение вида

y1=P1(x)
e
l
1
x, y2=P2(x)
e
l
1
x, …, yn=Pn(x)
e
l
1
x                                                 (39)

где
P
1
(
x
),
P
2
(
x
), …,
Pn
(
x
)
суть полиномы от х степени не вы­
ше чем
k
−1, имеющие в совокупности k
произвольных коэф­фициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих поли­
номов
k
коэффициентов являются произвольными, а все осталь­
ные выражаются через них.

В частности может случиться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному харак­теристическому числу l1будет соответствовать решение вида

y
1
=
g
1
e
l
1
x, y
2
=
g
2
e
l
1
x, …, yn
=
g
n
e
l
1
x          (40)

Однако здесь kиз коэффициентовg
1
,
g
2
, …,
g
n
являются про­извольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным является только один из них.

Практически при нахождении решения, соответствующего характеристическому числу l1 нужно искать решение в виде (39), считаяP
1
(х), Р2(х), ..., Рп(х) полиномами (k−1)-йсте­пени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (39) в (2), выразить все коэффициенты через kиз них, которые оста­ются произвольными.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффици­ентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим kлинейно   независимых   решений,   соответствующих   характеристическомучислу l
1
. Все эти частные решения будут состав­лены из произведений показательной функции e
l
1
x
на полино­мы от х, степени которых не превышают k
−1.
Если же поли­номы в формулах (39) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k
линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

Если l
1
— вещественное характеристическое число, то по­строенные выше k
линейно независимых решений будут веще­ственными.

Если же система (2) имеет комплексное характеристическое число a
+
ib
кратности k
, то оно имеет сопряженное характери­стическое число а—ib
той же кратности.

Построив k
линейно.независимых комплексных решений, со­ответствующих характеристическому числу a
+
ib
, и отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k, веществен­ных линейно независимых частных решений.

В общем случае каждому простому вещественному характе­
ристическому числу соответствует одночастное решение, каждой
паре простых сопряженных комплексных характеристических
чисел соответствует два вещественных линейно независимых решения, вещественному характеристическому числу кратности
k
соответствует
k
вещественных линейно независимых частных
решений, а каждой паре сопряженных комплексных характе­
ристических чисел кратности
k
соответствует 2
k
вещественных
линейно независимых частных решений. Всего получается п
вещественных решений. Все эти решения линейно независимы
в интервале(-∞,+∞), так что они образуют фундаменталь­ную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой
фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же
произвольными постоянными С1, С2, ..., Сп, мы получим общее решение системы (2) в области (12).
Заметим, однако, что мы не можем, на основании указанной теоремы выяснить до конца структуру фундаментальной систе­мы   решений  до   тех   пор,  тюка   не   построим   ее   фактически.

Мы выясним эту структуру в следующей главе, где будет дан другой способ построения фундаментальной системы, при­чем в отличие от настоящего пункта там строится сразу вся фундаментальная система.

Указанный выше вид фундаментальной системы решений дает возможность сделать некоторые заключения об устойчи­вости нулевого решения однородной системы (2)*.

Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле
Ляпунова)  нулевого  решения однородной линейной системы  с
постоянными коэффициентами.


Рассмотрим систему:
             
где akl
— постоянные. вещественные числа, а х1, x
2
, ..., xn
— неиз­вестные функции от времени t
.

Теорема.Если все характеристические числа системы (41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение

x
1
≡ 0, х2 ≡ 0,
...,
хп5≡ 0              (42)

асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞ причем начальные возмущения можно брать любыми.

Это утверждение непосредственно следует из вида фунда­ментальной системы решений и соответствующего ей общего ре­шения системы(41),установленного для общего случая харак­теристических чисел этой системы ранее.

 Теорема о неустойчивости нулевого решения однород­ной линейной системы с постоянными коэффициентами. Если
хоть одно из характеристических чисел системы (41)положи­тельно или имеет положительную вещественную часть, то нуле­вое решение (42)   неустойчиво в смысле Ляпунова при t
→+∞.

 Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены незави­симой переменной. Рассмотрим систему:


Введем вместо х новую независимую переменную t
по фор­муле

t
=
y(
x
).                                                            
  (44)

Тогда получим систему:



                   (k=1, 2, …, n).                                                                               (45)

Предположим, что коэффициенты этой системы постоянны, т. е.

        

Тогда pkl
(х) имеют вид

       pkl(x)=aklψ΄(x),                                                        (47)

т. е. рк1 (х)  представляют собой произведения постоянных чи­сел на одну и ту же функцию от х.

Обратно,  если   коэффициенты pkl
(
x
)   обладают этим  свой­ством, т. е. если

                    pkl(x)=aklφ(x),                                        (48)

то, положив

               t=ψ(x)=∫φ(x)dx,                                             (49)

мыполучим систему с постоянными коэффициентами akl.


Пример 1.     Пусть дана система:



Здесь условие (48) выполнено, причем φ(x)=1/x


    Поэтому    подстановка

   t=∫φ(x)dx
=∫1/
xdx
=
ln

x
   (
x
>0)                            (51)

или

x= et                               (52)

приводит данную систему к системе с постоянными коэффициентами:

                        
Интегрируя эту систему, получаем:

                                         (54)

Поэтому общим решением системы (50) будет:

                                                       (55)

Отсюда видно, что решения системы (50) могут иметь особенность только в точке х=0, которая является единственной особой точкой этой си­стемы. (В точке х=0 не выполнены условия теоремы существования). Наря­ду с такими решениями существует целое семейство решений  y
1
=
Cx
2
,y
2
=
Cx
2
,

y
3
=
Cx
2
голоморфныхв окрестности особой точки х = 0. Заме­тим, однако, что среди них (и вообще) нет решений, в которых функции у1, y
2
и
y
3
стремились бы к пределам, не равным одновременно нулю, когда х стремится к особой точке х = 0.

Интегрирование неоднородной линейной системы с по­
стоянными   коэффициентами   методом   вариации   произвольных
постоянных.   Рассмотрим  теперь   неоднородную   линейнуюсистему с постоянными коэффициентами


Так как соответствующая однородная система всегда инте­грируется в элементарных функциях, то, применяя метод ва­риации произвольных постоянных, мы всегда можем получить общее решение неоднородной системы (56), по крайней мере, в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях.

Замечание.Если в системе (56) функции fk

(
x
) представ­ляют собою произведения показательной функции (с вещест­венным или комплексным показателем) на полином от х, то для построения общего решения этой системы можно вместо применения метода вариации произвольных постоянных найти частное решение методом неопределенных коэффициентов и прибавить его к общему решению соответствующей однородной системы. Тогда мыполучим общее решение системы (56).
    продолжение
--PAGE_BREAK--