Задание 1
Осуществить интерполяцию спомощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значениеинтерполяционного полинома в точке />.
Таблица 1 Порядковый номер исходных данных № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Х 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445 1,450 1,455 1,460 У 0,888 0,889 0,89 0,891 0,892 0,893 0,894 0,895 0,896 0,897
интерполяция погрешностьпроизводная
/>
Решение
Интерполяционный многочленНьютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
/>
/> - конечная разность первогопорядка
/> - конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей дляэкспериментальных данных:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 1,415 0,888 0,001 2 1,420 0,889 0,001 3 1,425 0,89 0,001 4 1,430 0,891 0,001 5 1,435 0,892 0,001 6 1,440 0,893 0,001 7 1,445 0,894 0,001 8 1,450 0,895 0,001 9 1,455 0,896 0,001 10 1,460 0,897
/>.
Задание 2
Уточнить значение корня назаданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
/>, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторуюпроизводную функции
/>. Получим /> и />.
Итерационное уравнение запишетсятак:
/>.
В качестве начальногоприближения возьмем правый конец отрезка />.
Проверяем условие сходимости:
/>.
Условие сходимости методаНьютона выполнено.
Таблица значений корняуравнения:i
/> 1 3,083 2 2,606 3 2,453
Уточненное значение корня />/>.
В качестве оценки абсолютнойпогрешности полученного результата можно использовать величину
/>.
Задание 3
Методами треугольников,трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
/>
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла наинтервале определяется следующей формулой:
/>
/>
/> слева
/> справа 1 0,25 0,2 2 0,2 0,1667 3 0,1667 0,1429 4 0,1429 0,125
/> 0,7595 0,6345
Значение интеграла: />.
Метод трапеций
Площадь трапеции равняетсяполусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию междуточками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
/>
/>
/> 1 0,25 2 0,2 3 0,1667 4 0,1429 5 0,125
Значение интеграла: />.
Метод Симпсона
/>
/>
/> 1 0,25 2 0,2 3 0,1667 4 0,1429
Значение интеграла: />.
Задание 4
Проинтегрировать уравнениеметодом Эйлера на интервале [0.2, 1.2]. Начальное условие у(0,2)=0,25.
/>
Решение
/>
Все вычисления удобно представитьв виде таблицы:
/>
/>
/>
/>
/>
/> 0,2 0,2500 0,2751 0,0688 0,3188 1 0,45 0,3188 0,4091 0,1023 0,4211 2 0,7 0,4211 0,5634 0,1408 0,5619 3 0,95 0,5619 0,7359 0,1840 0,7459 4 1,2 0,7459 0,9318 0,2329
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму иразность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их валгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
/>
Задача 2. Вычислитьпроизведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить накомплексной плоскости.
/>
Решение
Задача 1.
/>
/>
Задача 2.
/>
/>
Задание 6
Вычислить производную функции f(z) в точке />.
/>
/>
Решение
Так как для аналитическихфункций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительногоаргумента, то
/>
Задание 7
Вычислить интеграл позамкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении.Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
/>
Решение
а)
/>
Подынтегральная функция имеетособые точки: />. Тогда интеграл вычистится последующей формуле:
/>.
б)
/>
Подынтегральная функция имеетособые точки: />. Тогда интеграл вычистится по следующейформуле:
/>.