Интегралы
Основные вопросы лекции: первообразная;неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методыинтегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрированиерациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащихтригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенногоинтеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства;определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница;применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычислениеобъемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределамии от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений;задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальныеуравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающиепонижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка спостоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
Функция /> называетсяпервообразной для функции /> напромежутке />, если в любой точке этогопромежутка />.
Теорема. Если /> и/> – первообразные дляфункции /> на некотором промежутке />, то найдется такое число />, что будет справедливоравенство
/> = /> + />.
Множество всех первообразных для функции /> на промежутке/> называется неопределенныминтегралом от функции/> и обозначается />. Таким образом,
/> = /> + />.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенногоинтеграла равна подынтегральной функции, то есть
/>.
2. Дифференциал неопределенногоинтеграла равен подынтегральному выражению, то есть
/>
3. Неопределенный интеграл отдифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянногослагаемого, то есть
/>,
где /> –произвольное число.
4. Постоянный множитель можновыносить за знак интеграла, то есть
/>
5. Интеграл от алгебраической суммыдвух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
/>.
Метод замены переменной
/>,
где /> –функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Метод интегрирования по частям
/>,
где /> и/> – дифференцируемыефункции.
Интегрирование рациональных дробей.Простейшими дробями называют дроби вида
/> и />,
причем квадратный трехчлен не имеетдействительных корней.
Рациональную функцию /> можно разложить в суммупростейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени отвыражения стоящего в знаменателе.
Для интегралов вида /> делают замену />, а для интегралов /> в общем случаеиспользуются подстановки Эйлера.
При интегрировании тригонометрическихвыражений /> в общем случаеиспользуется замена переменной />, где />.
/>/>
Талица основных интегралов.
1. />/>
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. />
8. />
9. />
10. />
11. />
12. />
Пусть на отрезке /> задана функция />. Разобьем отрезок />на/>элементарных отрезков точками/>/>.На каждом отрезке /> разбиениявыберем некоторую точку /> иположим />, где />. Сумму вида
/> (1)
будем называть интегральной суммой дляфункции />.на />. Для избранного разбиенияотрезка /> на части обозначим через />максимальную из длин отрезков/>, где />.
Пусть предел интегральной суммы пристремлении /> к нулю существует, конечени не зависит от способа выбора точек /> и точек/>. Тогда этот пределназывается определенным интегралом от функции />на/>, обозначается />, а сама функция /> называется интегрируемойна отрезке />, то есть
/> = />/>.
Экономический смысл интеграла. Если /> – производительность трудав момент времени />, то /> есть объем выпускаемойпродукции за промежуток />.Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени />, численно равна площадипод графиком функции />, описывающейизменение производительности труда с течением времени, на промежутке /> или />.
Достаточное условие существования интеграла.Теорема. Если /> непрерывна наотрезке />, то она интегрируема наэтом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можновыносить за знак интеграла, то есть
/>,
где />/> – некоторое число.
2. Интеграл от алгебраической суммыдвух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
/>.
3. Если отрезок интегрирования разбитна части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой извозникших частей, то есть при любых />
/>
4. Если на отрезке />, где />, />, то и
/>.
Следствие. Пусть на отрезке />, где />, />, где /> и /> – некоторые числа. Тогда
/>.
Теорема о среднем. Если функция /> непрерывна на отрезке />, где />, то найдется такоезначение />, что
/>.
Теорема. Пусть функция /> непрерывна на отрезке /> и /> – любая первообразная для /> на />. Тогда определенныйинтеграл от функции /> на /> равен приращениюпервообразной на />на этом отрезке,то есть
/>
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.
Теорема. Пусть функция /> имеет непрерывнуюпроизводную на отрезке />, /> и функция /> непрерывна в каждой точке /> вида />, где />.
Тогда имеет место равенство
/>=/>.
Эта формула носит название формулы заменыпеременной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функции /> и /> имеют непрерывныепроизводные на отрезке />. Тогда
/>.
Эта формула называется формулойинтегрирования по частям.
Теорема. Пусть на отрезке /> заданы непрерывные функции/> и /> такие, что />. Тогда площадь />фигуры, заключенной междукривыми /> и />, на отрезке /> вычисляется по формуле
/>
Пусть на отрезке /> задана непрерывнаязнакопостоянная функция />. Тогда объем/> тела, образованного привращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями />, /> и /> находится по формуле
/>.
Дифференциальным уравнением называетсяуравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, этипеременные и производные различных порядков данной функции.
Дифференциальное уравнение />го порядка называется разрешеннымотносительно старшей производной, если оно имеет вид
/>.
Решением дифференциального уравнение называетсятакая функция />, которая при подстановкеее в это уравнение обращает его тождество.
Общим решением дифференциального уравнения/>го порядка называется такоеего решение
/>,
которое является функцией переменных />и /> произвольных независимыхпостоянных />.
Частным решением дифференциальногоуравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторыхконкретных числовых значениях постоянных />.
Теорема. Пусть в дифференциальномуравнении
/> (1)
функция /> иее частная производная /> непрерывнына открытом множестве /> координатнойплоскости. Тогда
1. Для любой точки /> множества /> найдется решение /> уравнения (1), удовлетворяющееусловию />.
2. Если два решения /> и /> уравнения (1) совпадаютхотя бы для одного значения />, то этирешения совпадают для всех тех значений переменной />,для которых они определены.
Дифференциальное уравнение (1) первогопорядка называется неполным, если функция /> явнозависит либо только от/>, либо только от />.
Дифференциальное уравнение первого порядканазывается уравнением с разделяющимися переменными, если оно может бытьпредставлено в виде
/>
или в виде
/>,
где />,/>, /> – некоторые функциипеременной />; /> – функциипеременной />.
Дифференциальное уравнение первого порядканазывается линейным, если оно имеет вид
/>,
где /> и/> – некоторые (непрерывные)функции переменной />.
В случае, когда функция /> тождественно равна нулю,уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Линейное дифференциальное уравнениевторого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
/>, (2)
где /> –некоторые действительные числа, /> – некотораяфункция.
Если />,то уравнение
/> (3)
называется однородным, в противном случаепри/> уравнение (2) называетсянеоднородным.
Теорема. Если /> и/> – линейно независимыечастные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения являетсялинейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид
/>,
Для некоторых действительных чисел /> и />.
Уравнение
/> (4)
называется характеристическим уравнениемуравнения (3).
Теорема.
1. Пусть характеристическое уравнение(4) имеет действительные корни />, причем/>. Тогда общее решениеуравнения (3) имеет вид
/>,
где /> и/> – некоторые числа.
2. Если характеристическое уравнение (4)имеет один корень /> (кратности 2),то общее уравнения (3) имеет вид
/>,
где /> и/> – некоторые числа.
3. Если характеристическое уравнение(4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид
/>,
где />,/>, /> и /> – некоторые числа.
Теорема. Общее решение линейногонеоднородного дифференциального уравнения (2) равно сумме общего решениясоответствующего однородного уравнения (3) и частного решения исходногонеоднородного уравнения (2).
Числовым рядом называется выражение вида
/> (1)
Числа /> называютсячленами ряда, а член /> — общим членомряда.
Сумма /> первыхчленов ряда /> называется /> – й частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если существуетконечный предел последовательности его частичных сумм, то есть
/>
Число /> называетсясуммой ряда.
Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд (1) сходится и имеетсумму />, то и ряд полученныйумножением данного ряда на число /> такжесходится и имеет сумму />.
2. Если ряды
/>
и
/> (2)
сходятся и их суммы соответственно равны /> и />, то и ряд /> представляющий суммуданных рядов также сходится, и его сумма равна />.
3. Если ряд сходится, то сходится иряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числачленов.
Теорема (необходимый признак сходимости)Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю, то есть
/>.
Теорема (признак сравнения). Пусть (1) и(2) – ряды с положительными членами, причем члены первого ряда не превосходятчленов второго, то есть при любом/>
/>.
Тогда а) если сходится ряд (2), тосходится и ряд (1)
б) если расходится ряд (1), то расходитсяи ряд (2).
Теорема (предельный признак сравнения). Пусть(1) и (2) – ряды с положительными членами и существует конечный пределотношения их общих членов />, торяды одновременно сходятся, либо расходятся.
Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд(1) с положительными членами и существует предел
/>.
Тогда, если />,то ряд сходится; если />, то рядрасходится; если />, то вопрос осходимости ряда остается нерешенным.
Ряды с членами произвольного знака
Знакочередующиеся ряды. Подзнакочередующимся рядом понимается ряд в котором члены попеременно тоположительны то отрицательны
Теорема. (Признак Лейбница). Если членызнакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общегочлена при/> равен нулю, ряд сходится,а его сумма не превосходит первого члена.
Если ряд, составленный из абсолютных величинчленов данного ряда (1) сходится, то сходится и данный ряд.
Ряд называется условно сходящимся, еслисам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов,расходится.
Ряд называется абсолютно сходящимся, еслисходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Степенным рядом называется ряд вида
/> (3)
Совокупность тех значений />, при которых степенной ряд(3) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. 1). Если степенной рядсходится при значении />(отличном отнуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях /> таких, что />/>.2). Если степенной ряд расходится при />,то он расходится при всех значениях /> таких,что />.
1. />,
2. />.
Тогда областью сходимости степенного рядабудет интервал />.
На любом отрезке />, целиком принадлежащеминтервалу сходимости />, функция /> является непрерывной, аследовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке.
Кроме того, в интервале сходимостистепенной ряд можно почленно дифференцировать. При этом после интегрированияили дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости/>.
Имеют место следующие разложенияэлементарных функций.
/>/>
/>/>
/>
Случайные события
Основные вопросы лекции: случайныесобытия; случайные величины, описательныйподход к понятию случайной величины, дискретные случайные величины, случайныевеличины общего вида, функция распределения, распределение случайных величиныи числовые характеристики.
Числовые характеристикислучайных величин
Рассмотримосновные характеристики дискретной случайной величины при конечном числезначений.
Каждомузначению дискретной случайной величины отвечает его вероятность. Как отмечалосьвыше, последовательность таких пар образует ряд распределения дискретнойслучайной величины:
/>
где />, />, i= 1,…, n, />.
Еслислучайная дискретная величина является случайной альтернативной величиной, т.е.задается двумя значениями 0 и 1 и соответствующими им вероятностями исходов q =1 – ри р, то ряд распределения принимает форму:
/>,
где 0 ≤ p ≤ 1, p +q = 1.
На основеряда распределения можно определить среднее значение случайной дискретнойвеличины как меру, которая объединяет значения случайной дискретной величины иих вероятности. Среднее значение есть взвешенная средняя всех возможныхзначений случайной величины, роль весов (частот) играют вероятности.
Ожидаемоесреднее значение случайной величины называется математическим ожиданием М(Х) (оценкой, которую ожидают получить).
Математическоеожидание случайной дискретной величины X (т.е. принимающей только конечное илисчетное множество значений x1,x2,…, хп соответственно с вероятностями р1, p2,…, рп) равно сумме произведенийзначений случайной величины на соответствующие им вероятности:
/>. (1)
Свойства математического ожиданияслучайной дискретной величины
Математическоеожидание случайной дискретной величины обладает следующими свойствами:
1. M(C) = С,
где С –постоянная величина.
2. М (С·Х) = С·М(Х),
где С –постоянная величина.
3. М (Х1 ± Х2±…± Хn) = М(Х1) ± М(Х2) ±…± М(Хn). (2)
4. Дляконечного числа пнезависимых случайных величин:
М (Х1∙ Х2∙…∙Хn)= М(Х1) ∙М(Х2)∙…∙М(Хn). (3)
5. М (Х–C) = М(Х) –C.
Следствие. Математическоеожидание отклонения значений случайной величины X от ее математическогоожидания равно нулю:
М [Х – М(Х)] = 0. (4)
6.Математическое ожидание среднего арифметического значения п одинаковораспределенных взаимно независимых случайных величин равно математическомуожиданию каждой из величин:
/>. (5)
Случайныедискретные величины называются одинаково распределенными, если у них одинаковыеряды распределения, а следовательно, и одинаковые числовые характеристики.
Пусть Х1, Х2,…,Хn – одинаково распределенные случайные величины, математические ожиданиякаждой из которых одинаковы и равны а. Тогда математическое ожидание их суммыравно nаи математическое ожидание средней арифметической равно а:
/>.
Ожидаемое среднеезначение функции случайной величины ожидаемое среднее значение можно вычислять как функциюслучайной величины. Пусть h(X) – функция случайной величины X. Ожидаемоезначение функции дискретной случайной величины:
/> (6)
Функция h(X) можетбыть любой, например X 2,3Х 4, logX. Разберем простой пример, когда h(X) –линейная функция от X, т.е. h(X)= аХ+ b, где а, b – числовые параметры.
Ожидаемыйежемесячный доход от продаж продукции составляет 5400 условных денежных единиц.Для линейной функции случайной величины вычисления M[(h(x)] можно упростить,так как из свойств математического ожидания следует, что
M (аХ+ b) = аM(Х) + b,
где a, b – числовыепараметры.
Формула (5)подходит для любых случайных величин как дискретных, так и непрерывных.
Дисперсия дискретнойслучайной величины
Дисперсияслучайной величины естьматематическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от еематематического ожидания.
σ2 = D(X) =M{[X – M(X)] 2} = /> [xi – M(X)] 2P(xi).(7)
Вероятностизначений случайной величины играют роль весов (частот) при вычислении ожидаемыхзначений квадратов отклонений дискретной случайной величины от средней. Поформуле (7) дисперсия вычисляется путем вычитания математического ожидания изкаждого значения случайной величины, затем возведения в квадрат результатов,умножения их на вероятности Р(хi) и сложения результатов для всех хi.
Для примера3.1 (о рекламных объявлениях,размещаемых в газете в определенный день) дисперсия вычисляется так:
σ2 = />[xi–M(X)] 2P(xi) = (0–2,3) 2 + (1–2,3) 2+ (2–2,3) 2 + (3–2,3) 2+ (4–2,3) 2 + (5 – 2,3) 2 = 2,01.
Свойства дисперсии дискретнойслучайной величины
Дисперсиядискретной случайной величины обладает следующими свойствами.
1. D(C) = 0,
где C –постоянная величина.
2. D (C∙X)= C∙D(X),
где C –постоянный множитель.
3. Дляконечного числа nнезависимых случайных величин:
D (X1 ± Х2±…±Xn) = D(X1) + D(X2)+ … +D(Xn).(8)
4. Если Х1, Х2,…,Хn – одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсия каждойиз которых равна σ2 (Хi), то дисперсия их суммы равна пσ2, адисперсия средней арифметической равна σ2/п:
/>σ2/п. (9)
Длявычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой, полученной путемнесложных математических выкладок:
D(X) = M [X – M(X)] 2 =M [X2 – 2M(X) X+ M(X) 2] =
M(X) 2 –2M(X) M(X)+ [M(X)] 2 = M(X2) – [M(X)] 2 = M (X 2) – М 2 (Х).
Таким образом, σ2= D(X) = M(X2) – М2 (Х). (10)
Дисперсия линейнойфункции случайной величины
Для случайнойвеличины, заданной линейной функцией аХ+b, имеем
D(a∙X+ b)= a2∙D(X)=a2∙σ2. (11)
Поформуле (11) найдем дисперсию ожидаемого дохода для примера 3. Доход заданфункцией 2Х-8000. Находим M(X2)=50002∙0,2 + 60002∙0,3 + 70002∙0,2+ 80002∙0,2 + 90002∙0,1 =4 650 000. М(Х)=6700. Отсюда дисперсия D(X)=M(X2) – [М(Х)] 2=46 500 000 – 67002=1 610 000. Используяформулу (11), вычислим дисперсию ожидаемого дохода: D(Х) = σ2 = 22∙1610 000 = 6 440 000. Среднее квадратическое отклонение дохода равно />
ИспытанияБернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющихследующим условиям:
1. Каждоеиспытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные ипротивоположные события.
2 Вероятностьуспеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q =1-р.
3. Все n испытаний – независимы. Вероятность наступления события влюбом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Успех инеуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственнымпроцессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успехотносится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспехотносится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную,если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности n испытаний Бернулли.
Случайнаявеличина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р– вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1-р) –соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиальногораспределения с параметрами n и р.
Все возможные исходы данного экспериментаназываются элементарными событиями, а множества составленные из них –событиями. Таким образом можно разбить все множество исходов наблагоприятствующие данному событию (то есть входящие в него) и неблагоприятствующие. Множество всех исходов обозначают />, а события – заглавнымилатинскими буквами.
Классическое определение вероятности. Вероятностьюсобытия /> называется отношение числавсех исходов на число благоприятствующих событию исходов и обозначают />, то есть
/>,
где /> –число всех исходов эксперимента, />-числоблагоприятствующих событию /> исходов.Это так называемая классическая схема.
Пусть некоторый эксперимент повторяется /> раз.
Схема Бернулли имеет место при соблюдениитрех условий.
1. Каждое повторение имеет дваисхода.
2. Повторения независимы.
3. Вероятность появления событияпостоянна и не меняется при повторениях.
Тогда вероятность появления события />/> разпри /> испытаниях можно найти поформуле
/>,
где /> –число сочетаний из /> элементов по/>, />.
Если события /> такие,что
1. попарно не пересекаются, то есть />.при/>
2. />,
то говорят что они образуют полную группусобытий.
Теорема (формула полной вероятности). Если/> – полная группа событий и />/>,то
/>.
Теорема (формула Байеса) Если /> – полная группа событий и />/>,то
/>, />
Случайной величиной называют любуючисловую функцию заданную на множестве />.Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называетсяслучайная величина принимающая не более чем счетное число значений. Дискретнуюслучайную величину удобно задавать в виде таблицы
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
где /> –вероятность того, что случайная величина примет значение />при/>.
Математическим ожиданием /> дискретной случайнойвеличины /> называется число /> = />.
Свойства математического ожидания
1. />
2. />
3. />.
Дисперсией />дискретнойслучайной величины называется число
/>
Свойства дисперсии
1. />
2. />
3. />.
Среднеквадратическим отклонением /> называется число />.
Функцией распределения случайной величиныназывают функцию />.
Свойства функции распределения
1. />.
2. Функция /> непрерывна слева.
3. Функция /> монотонно возрастает.
Случайная величина называется непрерывной,если непрерывна ее функция распределения. Плотностью распределения /> случайной величиныназывают функцию, удовлетворяющую следующим условиям
1. />
2. />
3. />
Для непрерывных случайных величинматематическое ожидание определяется как число />. Для дисперсии формулаостается прежней.
На практике чаще всего встречаютсяследующие виды распределений
1.Биномиальное, где случайная величина принимаетзначения /> с вероятностями />.
2.Геометрическое, где случайная величина принимаетзначения /> с вероятностями />
3.Нормальное, где плотность распределения имеет вид
/>
4.Равномерное, где плотность распределения имеет вид
/>/>/>
Литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003.
2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теориявероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005.
3. Высшая математика для экономистов: Практикум / Подред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задачпо теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика. М., Высшая школа, 1977
6. М.С. Красс Математика для экономическихспециальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998.
7. Выгодский М.Я. Справочник по высшейматематике. – М., 2000.
8. Берман Г.Н. Сборникзадач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.
9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математикедля экономистов – Алматы — 2002 г.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальноеи интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985, Т1,2.
11.П.Е. Данко,А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях изадачах/ М. ОНИКС-2005.
12.И.А. ЗайцевВысшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.
13. Головина Л.И. Линейнаяалгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.
14. Замков О.О.,Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализаэкономики. – М.: ДИС, 1997.
15. Карасев А.И.,Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики дляэкономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2.
16. Колесников А.Н. Краткийкурс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.
17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшаяшкола, 2005 г.