Вариант 2
I. Вычислитьинтегралы
/>
Преобразуемподынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:
/>
Найдем А и В:
/>
Отсюда видно что А и Вявляются решением системы:
/>
Решим эту систему инайдем А и В:
/>
Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.
/>
/> с помощью замены переменных
/>
Введем /> и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:
/>
Возвращаемся к x:
/>
Теперь вычисляемопределенный интеграл:
/>
Итак,
/>
3./>методом интегрирования по частям
/>
Итак,
/>
II. Функции многих переменных
1. Найти частныепроизводные 1-го порядка
/>
/>
/>
2. Исследовать наэкстремум функцию
/>
Найдем частныепроизводные
/>
/>
Найдем все стационарныеточки функции, точки в которых должны выполняться условия: />,/>
/>
/>
Это равносильноследующему:
/>
/>
/>
/>
Вторая система не имеетвещественного корня
/>
/>
/>
/>
/>
t= 0 t=1
y=1 y=-1
x=1
M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.
Теперь определим характерэтих стационарных точек.
Найдем частныепроизводные второго порядка этой функции.
/>
В точке M0(0;0):
/>
Так как />
В точке M1(1;1):
/>
Так как />>0,A>0,C>0 то точка M1(1;1)это точка экстремума,
Причем этотэкстремум-минимум.
III. Решить дифференциальные уравнения.
1. Решить уравнение сразделяющимися переменными
/>
/>
Интегрируем правую илевую части уравнения:
/>
/>
После некоторыхпреобразований выражаем решение уравнения:
/>
2. Решить линейноеуравнение 1-го порядка
/>
Ищем решение уравнения в видепроизведения двух функций: />
При этом:
/>
После подстановки висходное уравнение имеем:
/>
/>
Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющуюуравнению:
/>
Найдем функцию u, которая должна удовлетворятьуравнению:
/>:
Решение запишется в виде:
/>
3 />
Это неоднородное линейноедифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:
/>, где /> - общее решение соответствующегооднородного уравнения, /> - частное решение.
Найдем />
Решим однородноедифференциальное уравнение
/>
Характеристическоеуравнение для него:
/>
Это квадратное уравнение
d=36-100=-64 – дискриминантотрицательный, корни комплексные:
k1=3-4i; k2=3+4i
Общее решение, следовательно,имеет вид:
/>,
где /> - константы.
Ищем частное решение. Функциясвободного члена имеет вид:
/>, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25
При этом />, следовательно, частноерешение ищем в виде:
/>
Находим его производныепервого и второго порядка и подставляем в уравнение:
/>
Для нахождениякоэффициентов А и В решим систему:
/>
A=0,07, B=0,16
Таким образом,окончательное решение уравнения имеет вид:
/>
IV. Ряды
1. Исследовать насходимость ряд с положительными членами
/>
Рассмотрим ряд:
/>
Это степенной ряд соснованием меньшим 1, а он заведомо сходится.
Теперь сравним члены ряда/> с членамиряда />
/> при n>4, значит ряд /> также сходится.
2. Исследовать наабсолютную и условную сходимость ряд:
/>
Исследуем на абсолютнуюсходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда)значит необходимый признак сходимости выполняется.
/>,
Сравним член этого ряда счленом заведомо расходящегося гармонического ряда:
/>, следовательно наш ряд расходитсяабсолютно.
Исследуем ряд на условнуюсходимость:
Так как условия признакаЛейбница выполнены
/>
данный ряд сходитсяусловно.
3. Найти областьсходимости функционального ряда
/>, перепишем его в виде:
/>
Член данного рядапредставляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармоническогоряда.
Для расходящегосягармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его членстремится к нулю), так что сходимость функционального ряда /> определяетсясходимостью степенного ряда: />, причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.
Cтепенной же ряд сходится когда егочлен по модулю
/>
Решаем это модульное неравенство и находим область сходимостифункционального ряда />:
/>
/>
Итак, область сходимости функционального ряда />:
/>