Содержание
Введение
ГлаваI. Развитие понятия интеграла
1.1Проблема моментов
ГлаваII. Интеграл Стилтьеса
2.1 Определениеинтеграла Стилтьеса
2.2Общие условия существования интеграла Стилтьеса
2.3Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
2.4Свойства интеграла Стилтьеса
2.5Интегрирование по частям
2.6Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
2.7Вычисление интегралов Стилтьеса
2.8Примеры
2.10Теорема о среднем, оценки
2.11Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
2.12.Примеры и дополнения
ГлаваIII. Применение интеграла Стилтьеса
3.1Применение в теории вероятностей
3.2Применение в квантовой механике
Заключение
Списоклитературы
Приложение
Введение
Понятие интеграла Римана,известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям,которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Дляизмеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (илиже вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятиенепрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграластановится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теорииизмерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьесаохватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этогоинтеграла.
Выбор темы обусловлен тем, чтоизучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана иЛебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворнейпредыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некоторомотношении удобнее его.
Цель работы — рассмотретьнеобходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное,сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Задачи, которые нужно выполнитьдля достижения цели:
изучить множество литературы поэтой теме;
отобрать из изученного материланеобходимый;
привести примеры использованияинтеграла.
Работа состоит из трёх глав. Перваяпосвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела кнеобходимости введения нового понятия интеграла.
Во второй главе рассмотреныосновные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления,рассмотрено множество примеров.
Третья глава посвященаприменению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.
Глава I. Развитиепонятия интеграла1.1 Проблема моментов
Введение понятия интегралаСтилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящейв следующем. Пусть задана последовательность чисел />;требуется найти такую функцию распределения />,чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. />. Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемоймоментов в конечном интервале; если />, то получаем проблемумоментов Стилтьеса.
Проблема моментов первоначальноставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел /> ищется такая функция />,чтобы имели место равенства />. Целесообразностьпривлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментовнапрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулсяСтилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этихисследований он предложил своё обобщение интеграла.
Ранние исследования Стилтьесаизложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется,позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла всмысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определениимногочлена
/>
Условиями
/> /> (1)
при неотрицательной /> на />.
Мы коснемся двух моментов изсодержания его статьи.
Первый относится к задаче остепени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:
/> />
Здесь Стилтьес пользуетсядоказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде
/>
/>
где />.(2)
Он показывает, что если вквадратурной формуле Гаусса в качестве /> братьчисла />, получаемые по формуле (2) изцепной дроби, соответствующей интегралу />,а /> будут корнями знаменателей подходящихдробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании />. Для этой цепной дроби числа />, очевидно, удовлетворяют неравенствам
/>
/> (3)
так как в этом случае />.
Вторым моментом являетсяследующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса оквадратуре интеграла />, Стилтьес ставит вопрос оквадратурных формулах для интеграла вида
/>.(4)
Он ограничивается тем частнымслучаем, когда /> - произвольнаяинтегрируемая по Риману функция, а /> такова, чтовнутри /> не существует интервала />, в котором />,и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большойстепенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция
/> (5)
является непрерывной и строгомонотонной, а потому существует обратная функция />,и в интеграле (4) возможна замена переменных
/>
сводящих интеграл (4) к ужеизученному Стилтьесом случаю.
По поводу же общего случаяСтилтьес указал, что «условия, налагаемые на функции />, делаются источником трудностей, которыхудастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципахинтегрального исчисления». Действительно, если /> неудовлетворяет условию отсутствия в /> интервала />, в котором />,то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение /> втом виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, иквадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла />.
Приведенные слова Стилтьесапоказывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен кпересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил приемзамены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интегралаСтилтьеса.
Стилтьес рассматривалнепрерывные дроби вида
/> (6)
где /> -в общем случае комплексное число.
Пусть /> -подходящая дробь порядка /> для непрерывнойдроби (6). Тогда существуют пределы
/>
/>
причем, если ряд /> расходится, то
/>
если же ряд /> сходится, то
/>
и функции /> и /> различны.
К этому времени математикам,занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом
/> (7)
и непрерывной дробью
/>,(8)
где /> -суть линейные функции />, а числа /> связаны с коэффициентами разложения (7) вряд по убывающим степеням />:
/>
Формулами
/>
Этой-то связью ируководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Дляподходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни /> и /> действительны иразличны, степень /> меньше степени />. Для />-йподходящей дроби справедливо равенство
/>
или, в другой форме,
/>
В частности,
Как уже говорилось /> при />,а потому, если обозначить через /> нули />, то /> и/> при />.Аналогично, если /> - нули функции />, то /> и/> для случая нечетных />.В случае расходимости ряда /> очевидно, что />.
Пусть дробь вида (6) заданаразложением в ряд по убывающим степеням />:
/> (9)
Тогда оказывается, что ряды
/>
сходятся и
/> (10)
Эти формулы позволяют по цепнойдроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача — по разложению (9)найти дробь (6) — неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемымоментов.
В самом деле, Стилтьесу былаизвестна чебышевско-марковская интерпретация />,как массы, сосредоточенной в точке />, являющейсякорнем />. Естественно было распространитьэту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая /> какмассы, расположенные в нулях функции /> (или />). После введения формул (10) Стилтьес пишет:«Рассмотрим на бесконечной прямой /> распределениемассы (положительной), при котором на расстоянии /> отначала сосредоточена масса />.
Сумма
/>
может быть названа моментомпорядка /> масс относительно начала. В такомслучае из предшествующих формул следует, что момент порядка /> системы масс
/> />
имеет значение />.
Равным образом система масс />, где />,будем иметь те же моменты />.
Мы назовем проблемой моментовследующую задачу:
Найти распределениеположительной массы на прямой />, если данымоменты порядка />».
Действительно, формулы (10) приводятк постановке проблемы моментов, если принято истолкование /> и /> как масс, а /> как соответствующих расстояний этих масс отначала координат.
Цепные дроби рассматривающегосяП.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) ивсе корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке />. Стилтьес же не связывал рассматриваемые имдроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни />, /> оказывались вобщем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтомузакономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала ирассмотрение её на интервале />. Далее,поскольку /> рассматриваются как моменты массыотносительно начала координат, то прежнее определение момента через интегралРимана /> становилось недостаточным,существенно ограничивая класс последовательностей чисел />;даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках,приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функцииплотности />, как это было у русских ученых. Междутем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел /> достаточнобыло наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить вцепную дробь (6), а тем самым найти функции />.Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решениепроблемы моментов. Если при этом /> и />, /> и /> попарно совпадут, то получится определенноерешение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы /> и />. Следовательно,общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод оразрешимости проблемы моментов для интервала />,но для этого требовалось дать иное определение моментов.
Физическое определение моментаматериальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходомот момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла,тесно связанному с функциями распределения.
Таким образом, именно для того,чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятиемомента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как этообычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чемисходное физическое понятие.
Он рассмотрел интеграл /> для случая произвольной непрерывной /> и произвольной возрастающей />. В этих предположениях он высказал бездоказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно можетбыть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем вэтих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории новогоинтеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования,и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.
Глава II. Интеграл Стилтьеса2.1 Определение интегралаСтилтьеса
Пусть в промежутке /> заданы две ограниченные функции /> и />. Разложимточками
/> (1)
промежуток /> на части и положим />.Выбрав в каждой из частей /> /> по точке/>,вычислим значение /> функции /> и умножим его на соответствующее промежутку /> приращение функции />
/>.
Наконец, составим сумму всехтаких произведений:
/>.(2)
Эта сумма носит названиеинтегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса /> при стремлении /> кнулю называется интегралом Стилтьеса функции /> пофункции /> и обозначается символом
/>.(3)
Иной раз, желая особенноотчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса,употребляют обозначение
/>
Предел здесь понимается в том жесмысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря,число /> называется интегралом Стилтьеса,если для любого числа /> существует такое число />, что лишь только промежуток /> раздроблен на части так, что />, тотчас же выполняется неравенство
/>,
как бы не выбирать точки /> в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говоряттакже, что функция /> в промежутке /> интегрируема по функции />.
Читатель видит, что единственное(но существенное) отличие данного выше определения от обычного определенияинтеграла Римана состоит в том, что /> умножается не наприращение /> независимой переменной, а наприращение /> второй функции. Таким образом,интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качествефункции /> взята сама независимая переменная />:
/>.
2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
Установим общие условиясуществования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, чтофункция /> монотонно возрастает.
Отсюда следует, что при /> теперь все />.
Аналогично суммам Дарбу, и здесьцелесообразно внести суммы
/> />
где /> и/> означают, соответственно, нижнюю и верхнююточные границы функции /> в />-мпромежутке />. Эти суммы мы будем называть нижнейи верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.
Прежде всего, ясно, что (приодном и том же разбиении)
/>
причем /> и/> служат точными границами для стилтьесовскихсумм />.
Сами суммы Дарбу-Стилтьесаобладают следующими двумя свойствами:
1-е свойство. Если кимеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьесаможет от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться.
2-е свойство. Каждаянижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы иотвечающей другому разбиению промежутка.
Если ввести нижний и верхнийинтегралы Дарбу-Стилтьеса:
/> и/>
то, оказывается, что
/>.
Наконец, с помощью суммДарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основнойпризнак существования интеграла Стилтьеса:
Теорема: Для существованияинтеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было
/>
Или
/>,
если под />,как обычно, разуметь колебание /> функции /> в />-м промежутке />.
В следующем пункте мы применимэтот критерий к установлению важных парных классов функций /> и />, для которыхинтеграл Стилтьеса существует.2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
I. Еслифункция /> непрерывна, а функция /> имеет ограниченное изменение, то интегралСтилтьеса
/> (5)
существует.
Сначала предположим, что /> монотонно возрастает: тогда примени критерийпредыдущего пункта. По произвольно заданному /> ввидуравномерной непрерывности функции /> найдется такое />, что в любом промежутке с длиной, меньшей />, колебание /> будетменьше />. Пусть теперь промежуток /> произвольно разбит на части так,что />. Тогда все
/> и
/>,
откуда и следует выполнениеусловия (4), а стало быть и существование интеграла.
В общем случае, если функция /> имеет ограниченное изменение, онапредставима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: />. В соответствии с этим преобразуется и суммаСтилтьеса, отвечающая функции />:
/>.
Так как по уже доказанномукаждая из сумм /> и /> при/> стремится к конечному пределу, то этосправедливо и относительно суммы />, что итребовалось доказать.
Можно ослабить условия,налагаемые на функцию />, если одновременноусилить требования к функции />:
Если функция /> интегрируема в /> всмысле Римана, а /> удовлетворяет условиюЛипшица:
/>
/> (6)
то интеграл (5) существует.
Для того чтобы опять иметьвозможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию /> не только удовлетворяющей условию (6), но имонотонно возрастающей.
Ввиду (6), очевидно, />, так что
/>.
Но последняя сумма при /> и сама стремится к 0 вследствиеинтегрируемости (в смысле Римана) функции />,а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла(5).
В общем случае функции />, удовлетворяющей условию Липшица (6),представим в виде разности
/>
Функция />,очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. Тоже справедливо и для функции />,так как, в силу (6), при />
/>
и
/>
В таком случае рассуждениезавершается, как и выше.
III. Еслифункция /> интегрируема в смысле Римана, афункция /> представима в виде интеграла спеременным верхним пределом:
/> (7)
где /> абсолютноинтегрируема, в промежутке />, то интеграл (5)существует.
Пусть />,так что /> монотонно возрастает. Если /> интегрируема в собственном смысле и,следовательно, ограничена: /> то для />
Имеем
/>
Таким образом, в этом случае /> удовлетворяет условию Липшица, и интегралсуществует в силу 2.
Предположим теперь, что /> интегрируема в несобственном смысле. Ограничимсяслучаем одной особой точки, скажем />. Прежде всего,по произвольно взятому /> выберем /> так, чтобы было
/> (8)
где /> -общее колебание функции /> врассматриваемом промежутке.
Разобьем промежуток /> по произволу на части и составим сумму
/>
Она разлагается на две суммы />, из коих первая отвечает промежуткам,целиком содержащимся в промежутке />, а вторая — остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке />, если только />;тогда, в силу (8),
/>
С другой стороны, так как впромежутке /> функция /> интегрируемав собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом /> и сумма /> станетменьше />. Отсюда следует (4), что итребовалось доказать.
В общем случае, когда функция /> абсолютно интегрируема в промежутке />, мы рассмотрим функции
/>
очевидно, неотрицательные иинтегрируемые в названном промежутке. Так как
/>
то вопрос сводится, как и выше,к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция /> непрерывна в промежутке /> и имеет, исключая разве лишь конечное числоточек, производную />, причем эта производнаяинтегрируема (в собственном или несобственном смысле) от /> до />;тогда, как известно, имеет место формула типа (7):
/>.
Если /> абсолютноинтегрируема, то к функции /> полностьюприложимо изложенное в 3.2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
Из определения интегралаСтилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
/> />
/> />
/> />
/> /> />
При этом в случаях /> из существования интегралов в правой частивытекает существование интеграла в левой части.
Затем имеем
/> />
в предположении, что /> и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулыдостаточно лишь озаботиться включением точки /> вчисло точек деления промежутка /> при составлениисуммы Стилтьеса для интеграла />.
По поводу этой формулы сделаемряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла /> следуетуже существование обоих интегралов
/> и/>.
Для своеобразного предельногопроцесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интегралСтилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, позаданному /> ввиду существования интеграла /> найдется такое />,что любые две суммы /> и /> Стилтьеса,которым отвечают /> и />,разнятся меньше чем на />. Если при этом в составточек деления включить точку />, а точкиделения, приходящиеся на промежуток />, брать в обоихслучаях одними и теми же, то разность /> сведетсяк разности /> двух сумм Стилтьеса, относящихсяуже к промежутку />, ибо прочие слагаемыевзаимно уничтожатся. Применяя к промежутку /> ивычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключимо существовании интеграла />. Аналогичноустанавливается и существование интеграла />.
Особенно заслуживает бытьотмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоихинтегралов /> и />,вообще говоря, не вытекает существование интеграла />.
Чтобы убедиться в этом,достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке /> функции/> и /> заданыследующими равенствами:
/>;/>
Легко видеть, что интегралы
/>
оба существуют и равны 0, ибосоответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует изтого, что всегда />, для второго — изпостоянства функции />, благодаря чему всегда />
В то же время интеграл
/>
не существует. Действительно,разобьем промежуток /> на части так, чтобы точка0 не попала в состав точек деления, и составим сумму
/>
Если точка 0 попадет впромежуток />, так что />,то в сумме />останется только одно />-е слагаемое; остальные будут нули, потомучто
/> для/>.
Итак,
/>
В зависимости от того, будет ли /> или />,окажется /> или />,так что /> предела не имеет.
Указанное своеобразноеобстоятельство связано с наличием разрывов в точке /> дляобеих функций /> и />.2.5 Интегрирование по частям
Для интегралов Стилтьеса имеетместо формула
/> (9)
в предположении, что существуетодин из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула этаносит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.
Пусть существует интеграл />. Разложив промежуток /> начасти /> />,выберем в этих частях произвольно по точке />,так что
/>
Сумму Стилтьеса для интеграла />
/>
можно представить в виде
/>
Если прибавить и опять отнятьсправа выражение
/>
то /> перепишетсятак:
/>
Выражение в фигурных скобкахпредставляет собою стилтьесову сумму для интеграла /> (существованиекоторого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка /> точками деления
/>
если в качестве выбранных изпромежутков /> /> точеквзять />, а для промежутков /> и />, соответственно,/> и />. Если, какобычно, положить />, то теперь длины всехчастичных промежутков не превзойдут />. При /> сумма в квадратных скобках стремится к />, следовательно, существует предел и для />, т.е. интеграл />,и этот интеграл определяется формулой (9).
Как следствие нашегорассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция /> в промежутке /> интегрируемапо функции />, то и функция /> интегрируема по функции />.
Это замечание позволяет добавитьряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые былирассмотрены в п.3, переменив роли функций /> и/>.2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралуРимана
Пусть функция /> непрерывна в промежутке />, а /> монотонновозрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показалЛебег, интеграл Стилтьеса /> с помощьюподстановки /> непосредственно приводится кинтегралу Римана.
/>
На рисунке изображен графикфункции />. Для тех значений />, при которых функция /> испытываетскачок (ибо мы вовсе не предполагаем /> обязательнонепрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком,соединяющим точки /> и />.Так создается непрерывная линия, которая каждому значению /> между /> и/> относит одно определенное значение /> между /> и/>. Эта функция />,очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можнорассматривать как своего рода обратную для функции />.
Именно, если ограничиться лишьтеми значениями />, которые функция /> действительно принимает при изменении /> от /> до/>, то /> являетсяобратной для неё в обычном смысле, т.е. относит /> именното значение />, при котором />. Но из промежутка значений />
/>
связанного со скачком функции />, лишь одно значение /> имеетсебе соответствующее значение />; другимзначениям /> в упомянутом промежутке никакиезначения />, очевидно, не отвечают. Но мыусловно относим и им то же значение />; геометрическиэто и выразилось в дополнении графика функции /> рядомвертикальных отрезков.
Докажем теперь, что
/> (10)
где последний интеграл берется вобычном смысле, его существование обеспечено, так как функция />, а с нею и сложная функция />, непрерывна.
С этой целью разложим промежуток/> на части с помощью точек деления
/>
и составим стилтьесову сумму
/>.
Если положить />, то будем иметь
/>
Так как />,то
/>.
Это выражение имеет видримановой суммы для интеграла
/>
Отсюда, однако, нельзя ещёнепосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при/> может оказаться, что /> кнулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися /> и /> будет заключенозначение />, где функция /> испытывает скачок. Поэтому мы будемрассуждать иначе.
Имеем
/>
и
/>
так что
/>
Предположим теперь /> настолько малыми, чтобы колебания функции /> во всех промежутках /> былименьше произвольного наперед заданного числа />.Так как
при />,очевидно, />
то одновременно и
/>
В таком случае
/>.
Этим доказано, что
/>
откуда и следует (10).
Несмотря на принципиальнуюважность полученного результата, он не дает практически удобного средства длявычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторыхпростейших случаях, мы покажем в следующем пункте.2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
Докажем следующую теорему:
Если функция /> интегрируема в смысле Римана в промежутке />, а /> представленаинтегралом
/>
где функция /> абсолютно интегрируема в />, то
/> (11)
Интеграл справа существует. Существованиеинтеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п.3,3).
Остается лишь установитьравенство (11).
Без умаления общности можнопредположить функцию /> положительной.
Составим, как обычно, суммуСтилтьеса
/>
Так как, с другой стороны, можнонаписать
/>
то будем иметь
/>
Очевидно, для /> будет />,где /> означает колебание функции /> в промежутке />.Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:
/>
Но мы уже знаем (п.3,3), что при/> последняя сумма стремится к 0,следовательно,
/>
что и доказывает формулу (11).
В частности, из доказаннойтеоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное длянепосредственного применения на практике:
2. При прежних предположенияхотносительно функции /> допустим, что функция /> непрерывна во всем промежутке /> и имеет в нем, исключая разве лишьконечное число точек, производную />, которая в /> абсолютно интегрируема. Тогда
/> (12)
Интересно отметить, что интегралсправа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимаясимвол /> буквально как дифференциал,заменит его выражением />.
Обращаясь к случаям, когдафункция /> оказывается разрывной (что дляпрактики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения«стандартной» разрывной функции />,определяемой равенствами
/>
Она имеет разрыв первого рода — скачок — в точке /> справа, причем величинаскачка /> равна 1; в точке /> слева и в остальных точках функция /> непрерывна. Функция /> будетиметь такой же разрыв в точке /> справа; наоборот,/> будет иметь подобный разрыв в точке /> слева, причем величина скачка будет равна — 1.
Предположим, что функция /> непрерывна в точке />,и вычислим интеграл /> где /> (при /> этотинтеграл равен нулю).
Составим сумму Стилтьеса:
/>
Пусть точка /> попадет, скажем, в />-й промежуток, так что />. Тогда />,а при />, очевидно, />.Таким образом, вся сумма /> сводится кодному слагаемому: /> Пусть теперь />. По непрерывности />.Следовательно, существует (при />)
/> (13)
Аналогично можно убедиться втом, что (при />)
/> (14)
(при /> этот интеграл обращается в нуль).
Теперь мы в состоянии доказатьтеорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а именно, отказаться оттребования непрерывности функции:
Пусть функция /> в промежутке /> непрерывна,а /> имеет в этом промежутке, исключая разве лишьконечное число точек, производную />, котораяабсолютно интегрируема в />. При этом пустьфункция /> в конечном числе точек
/>
терпит разрыв первого рода. Тогдасуществует интеграл Стилтьеса и выражается формулой
/>
/> (15)
Характерно здесь наличиевнеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции /> вточках /> или />-односторонние.
Для упрощения записи введемобозначения для скачков функции /> справа и слева:
/>
/>
очевидно, для
/> />
Составим вспомогательную функцию:
/>
которая как бы вбирает в себявсе разрывы функции />, так что разность />, как мы сейчас установим, оказывается уженепрерывной.
Для значений />, отличных от всех />,непрерывность функции /> не вызывает сомнений, ибодля этих значений непрерывны обе функции /> и/>. Докажем теперь непрерывность /> в точке /> справа.Все слагаемые суммы />, кроме члена />, непрерывны при /> справа;поэтому достаточно изучить поведение выражения />.При /> оно имеет значение />;но таков же и его предел при />:
/>
Аналогично проверяется инепрерывность функции /> в точке /> слева.
Далее, если взять точку /> (отличную от всех />),в которой функция /> имеет производную, товблизи этой точки /> сохраняет постоянноезначение, следовательно, в ней и функция /> имеетпроизводную, причем
/>.
Для непрерывной функции />, по предыдущей теореме, существует интегралСтилтьеса
/>
Точно так же легко вычислить иинтеграл
/>
/>
/>
Складывая почленно эти дваравенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от /> по функции />устанавливаетсяпопутно (п.4,3).2.8 Примеры
Вычислить по формуле (11) интегралы:
а) />
б) />
в) />
Решение:
а) />
б) />/>
/>
в) />
Вычислить по формуле (15) интегралы:
а) /> где/>
б) /> где/>
Решение:
а) Функция /> имеет скачок 1 при /> искачок — 2 при />; в остальных точках />. Поэтому
/>
б) Скачок 1 при /> и — 2 при /> (значениефункции /> при /> невлияет на результат); в прочих точках />.
Имеем:
/>
Вычислить по формуле (15) интегралы:
а) /> б)/> в) />
где
/>
Решение:
Функция /> имеетскачки, равные 1, при /> и />.Производная
/>
Поэтому
а) />
Аналогично,
б) />
в) />
Предположим, что вдоль отрезка /> оси /> расположенымассы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенныенепрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для /> через/> сумму всех масс, расположенных в промежутке />; сверх того, положим, />. Очевидно, /> -монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический моментэтих масс относительно начала координат.
Разобьем промежуток /> на части точками
/>
На отрезке /> при /> содержится,очевидно, масса />. Точно так же на отрезке/> содержится масса />.Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом концепромежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение
/>.
При стремлении к 0 всех />, в пределе придем к точному результату:
/>.(16)
Можно было бы здесь сначалаустановить «элементарный» статический момент />,отвечающий отрезку оси от /> до />, а затем «просуммировать» этиэлементы.
Аналогично для момента инерции /> тех же масс относительно начал найдемформулу
/> (17)
Важно подчеркнуть, что интегралСтилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородныеслучаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!
Пусть непрерывно распределенныемассы имеют линейную плотность />; кроме них пустьв точках /> расположены сосредоточенные массы />. Тогда, исключая эти точки, функция /> имеетпроизводную
/>
В каждой же точке /> функция испытывает скачок, равный именномассе />, в этой точке сосредоточенной.
Если теперь разложить интеграл (16)по формуле (15), то получим
/>
Всмотревшись в правую часть,легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс,а во втором — статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результатполучится интеграл для интеграла (17).
а) Составить выражение /> и построить график его для следующегораспределения масс: массы величины 1 в точках /> инепрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке />.
Решение:
/>
В промежутке /> имеем:
/>
б) То же самое — для такогораспределения: массы величины 2 при /> и 4 и непрерывнораспределенные массы с плотностью /> в промежутке />.
Решение:
/>
В промежутке /> имеем
/>
в) выяснить распределение масс,если /> равна функции /> задачи 3).
Решение:
Массы величины 1 в точках /> и 0, в промежутке /> непрерывнораспределенные массы с плотностью 1, в промежутке /> -массы с плотностью />.
/>
6. Рассмотрим другой вопрос, вкотором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим,что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределеннойнагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось /> вдоль по оси балки, а ось /> вертикально вниз (см. рис) Не делая различиймежду действующими силами, обозначим для /> через/> сумму всех сил, приложенных на отрезке /> балки, включая интеграл реакции опор; далее,пусть />. Силу /> называютперерезывающим усилием в сечении /> балки. При этомсилы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх — отрицательными.
Поставим задачей определить такназываемый изгибающий момент /> в произвольномсечении /> балки. Под этим разумеют суммумоментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки,относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки,момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (длялевой части — обратное правило).
Так как на элементе />, скажем, правой части балки приложена сила />, создающая элементарный момент
/>
то, «суммируя» получим
/>
Аналогично, исходя из левойчасти балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительногонаправления для отсчета моментов)
/>/> (18)
Легко непосредственно усмотреть,что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Ихравенство равносильно условию
/>
которое является следствием изусловий равновесия
/>
выражающих равенство нулю суммывсех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих набалку.
Если интенсивность непрерывнораспределенной нагрузки обозначить через />,то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет
/>
Пусть сосредоточенные силы /> приложены в точках />.Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки,соответственные равные />. Далее, применяя,например, к интегралу (18) формулу (15), получим
/>.
В двух слагаемых правой частилегко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интегралсосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральнойформулой.
Установим ещё один факт,интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрированиепо частям, получим
/>/>
Отсюда ясно, что всюду, заисключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство
/>
/>
Пусть балка длины /> несет «треугольную» нагрузку синтенсивностью />; кроме того, пусть к нейприложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке />,интеграл реакции опор, обе равные — 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определитьперерезывающее усилие /> интегрализгибающий момент />.
Решение:
Формула (15) может оказатьсяполезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируемэто на следующем примере.
Пусть /> -«кусочно-полиномиальная» функция в промежутке />;это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками
/>
так, что в каждой из частейфункция /> представляется полиномом не выше />-й степени. Заменив значения функции /> и всех её производных в точках /> и /> нулями,обозначим через /> величину скачка />-й производной /> в/>-й точке />.
Пусть, далее, /> - любая непрерывная функция; положим
/> и,вообще, />
Тогда имеет место следующаяформула:
/>
Действительно, последовательнонаходим
/>
двойная подстановка исчезает, аинтеграл
/>
Аналогично
/>
и т.д.
Установим в заключение, спомощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частямдля обыкновенных интегралов. Именно, если /> и/> обе абсолютно интегрируемы в промежутке />, а /> и/>определяются интегральными формулами:
/>
/>
то справедлива формула
/> (19)
Для доказательства, по формуле (11)заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):
/>/>
Остается ещё раз применитьформулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).
Здесь функции /> и />играют как быроль производных от функций />, /> не будучи ими на деле. При непрерывностифункций /> и /> мывозвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное
/>
Геометрическая иллюстрацияинтеграла Стилтьеса
/>
Рассмотрим интеграл
/> (20)
предполагая функцию /> непрерывной интеграл положительной, а /> - лишь монотонно возрастающей (в строгомсмысле); функция /> может иметь и разрывы (скачки).
Система параметрическихуравнений
/> (21)
выражает некоторую кривую />, вообще говоря, разрывную (рис). Если принекотором /> функция /> испытываетскачок, так что />, то этим предельнымзначениям /> отвечает одно интеграл то жепредельное значение />, равное />. Дополним кривую /> всемигоризонтальными отрезками, соединяющими пары точек
/>/> и />
отвечающие всем скачкам функции /> (см. рис). Таким образом, составится уженепрерывная кривая />. Покажем, что интеграл (20)представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры,ограниченной кривой />, осью и двумя крайнимиординатами, отвечающими абсциссам /> и />.
С этой целью разложим промежутокна части точками
/>
и в соответствии с этим промежуток/> на оси /> -на части точками
/>
Введя наименьшее и наибольшеезначения /> и /> функции/> в />-м промежутке />, составим нижнюю интеграл верхнюю суммыСтилтьеса-Дарбу
/>
Легко видеть теперь, что онипредставляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящихпрямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.
Так как при стремлении к 0 всех /> обе суммы стремятся к общему пределу (20),то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служитдействительно интеграл (20).2.10 Теорема о среднем, оценки
Пусть в промежутке /> функция /> ограничена:
/>
а /> монотонновозрастает. Если существует интеграл Стилтьеса /> от/> по />,то имеет место формула
/> (22)
Это и есть теорема о среднем дляинтегралов Стилтьеса.
Для доказательства будемисходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы />:
/>
Переходя к пределу, получим
/> (23)
Или
/>
Обозначая написанное отношениечерез />, придем к (22).
Если функция /> в промежутке /> непрерывна,то обычным путем убеждаемся в том, что /> естьзначение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретаетвид
/>,где /> (24)
В практике интегралов Стилтьесанаиболее важным является случай, когда функция /> непрерывна,а функция /> имеет ограниченное изменение. Дляэтого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:
/> (25)
Где
/>.
Действительно, для суммыСтилтьеса /> будет
/>
так что остается лишь перейти кпределу, чтобы получить требуемое неравенство.
Отсюда вытекает, в частности, иоценка близости суммы /> к самому интегралуСтилтьеса /> (при прежних предположенияхотносительно функций /> и />).Представив /> и /> ввиде
/>
/>
и почленно вычитая этиравенства, получим
/>
Если, как обычно, обозначитьчерез /> колебание функции /> в промежутке />,так что
/> для />
то, применяя оценку (25) ккаждому интегралу /> в отдельности, будемиметь
/>
Если промежуток /> раздроблен на столь мелкие части, что все />, где /> -произвольное наперед взятое число, то заключаем, что
/> (26)
Эти оценки будут намииспользованы в следующем пункте.2.11 Предельный переход под знаком интегралаСтилтьеса
Пусть функции /> непрерывны в промежутке /> и при /> равномерностремятся к предельной функции
/>
(очевидно, также непрерывной), а/> - функция с ограниченным изменением. Тогда
/>
Доказательство: По заданному /> найдется такое />,что при /> будет для всех />
/>
Тогда, в силу (25), для />
/>
что, ввиду произвольности />, и доказывает теорему.
Пусть теперь функция /> непрерывна в промежутке />, а функции /> -все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этихфункций в их совокупности ограничены:
/>
и /> при/> стремятся к предельной функции
/>
То
/>
Доказательство:
Прежде всего, убедимся в том,что предельная функция /> сама также будет иметьограниченное изменение. Разложив промежуток /> произвольнымобразом на части точками
/>
будем иметь (при любом />)
/>
Переходя к пределу здесь при />, получим
/>
откуда и
/>
Составим суммы Стилтьеса
/> />
Если предположить, чтопромежуток /> при этом разложен на столь мелкиечасти, что колебание функции /> в каждой из нихбудет уже меньше произвольного наперед взятого числа />,то в силу оценки (26), при всех />
/> />/> (27)
С другой стороны, еслиразбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, /> при />,так что найдется такое />, что для /> будет
/>. (28)
Тогда для тех же значений /> будем иметь, в силу (27) и (28),
/>
откуда, ввиду произвольности />, и следует требуемое заключение.2.12. Примеры и дополнения
Предполагая функцию /> монотонно возрастающей в строгомсмысле, можно доказать относительно числа />,фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение: />
Действительно, обозначив через /> и /> наименьшее инаибольшее значения функции /> в промежутке /> и считая />,легко найдем такую часть /> этогопромежутка, в которой границами /> служат числа /> и />, так что
/>
Написав для промежутков /> и /> неравенства вида(23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точныенеравенства:
/>
так что число
/>
Лежит строго между /> и />; а тогда найдеми /> строго между /> и/>, для которого /> ит.д.
Используя формулу (11) п.,формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса,очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенныхинтегралов.
Итак, пусть /> интегрируема (в смысле Римана), а /> монотонно возрастает в промежутке />. Введем функцию
/>;
она, как мы знаем, будетнепрерывна.
Теперь последовательно имеем
/>
/> />
что и требовалось доказать.
Если /> монотонновозрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можноточнее сказать относительно />: />
Доказать, что, если в точке /> одна из функций /> и/> непрерывна, в то время как другая вокрестности этой точки ограничена, то существование интегралов /> и />влечет за собойсуществование и />.
С этой целью заметим, что, еслипри составлении стилтьесовой суммы /> мы будемвключать точку /> в состав точек деления,то сумма /> будет слагаться из двуханалогичных сумм для частичных промежутков /> и/>; при /> онабудет стремиться к сумме интегралов />. Пусть теперьточка /> не входит в число точек деления. Присоединяяк ним точку />, мы от /> перейдемк новой сумме />, про которую мы уже знаем, что при/>/> она имеетуказанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность /> будет вместе с /> стремитьсяк 0.
Пусть точка /> попадает в промежуток />; тогда сумма /> отличаетсяот суммы /> лишь тем, что вместо слагаемого
/>
в ней имеется два слагаемых:
/>
где /> и />выбираютсяпроизвольно под условиями /> и />. Положив для упрощения />, сведем последнее выражение к
/>
так что
/> (29)
Когда />,то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второйограничен; следовательно, /> что итребовалось доказать.
Если обе функции /> и /> оказываются разрывнымив одной интеграл той же точке />, то интегралСтилтьеса
/> (30)
заведомо не существует.
Для доказательства будемразличать два случая. Пусть сначала />, и пределы /> и /> неравны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку /> нестанем вводить в число точек деления; пусть, скажем, /> Выбраводин раз />, а другой раз взяв /> в качестве /> составимдве суммы /> и />,разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь
/>
Кроме того, точку /> можно выбрать так, чтобы разность /> была по абсолютной величине большейнекоторого постоянного положительного числа. Тогда разность /> не стремится к 0, так что интегралсуществовать не может.
Если же />,но их общее значение отлично от /> («устранимыйразрыв»), то, наоборот, включим /> в число точекделения; пусть />. Если /> имеет, например, разрыв в точке /> справа, то, как и только что, составим двесуммы /> и />,разнящиеся лишь выбором />: для /> точка /> взятапроизвольно между /> и />,а для /> в качестве /> взята/>. По-прежнему имеем (29), интегралрассуждение завершается аналогично.
Упражнения 3) и 4) проливаютсвет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4.
Пусть /> непрерывна,а /> имеет ограниченное изменение в промежутке />.
Опираясь на оценку (25),доказать непрерывность интеграла Стилтьеса
/>
по переменному верхнему пределу /> в точке />,где функция /> непрерывна.
Заключение сразу вытекает изнеравенства
/>
если принять во внимание, что вточке /> должна быть непрерывна и вариация />.
Если /> естькласс непрерывных в промежутке /> функций, а /> - класс функций с ограниченным изменением вэтом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируемапо каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этихклассов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.
Это, ввиду 4), почти очевидноотносительно класса />. Действительно, еслифункция /> имеет точку разрыва />, то она заведомо не интегрируема, например,по функции с ограниченным изменением />, имеющей ту же точкуразрыва.
Пусть теперь /> в промежутке /> имеетбесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывнуюфункцию />, для которой интеграл (30) несуществует.
Если разделить промежуток /> пополам, то хоть в одной из половин полноеизменение функции /> тоже будет бесконечно; разделимэту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некотораяточка />, в каждой окрестности которой /> не имеет ограниченного изменения. Дляпростоты пусть />.
В таком случае легко построитьпоследовательность возрастающих интеграл стремящихся к /> значений/>:
/>
так, чтобы ряд
/>
расходился. Для этого ряда затемможно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел />, чтобы и ряд
/> (31)
все же расходился. Теперьопределим функцию />, полагая
/> />
/>
а в промежутках /> считая /> линейной:
/> />
Очевидно, /> будет непрерывна. В то же время, ввидурасходимости ряда (31), при /> и
/>
так что интеграл от /> по /> действительноне существует.
Доказанное утверждение можносформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции /> существует по любой /> из/>, то /> необходимопринадлежит />; аналогично, если этот интеграл поданной функции /> существует для любой /> из />,то /> необходимо принадлежит />.
В первой теореме о предельномпереходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобыпоследовательность функций /> стремилась кпредельной функции /> равномерно. Можно,однако, заменить это требование более общим условием, что эти функцииограничены в их совокупности:
/>
/>
(Только при этом нужно ещёнаперед предположить непрерывность предельной функции />).
При доказательстве достаточнорассмотреть случай, когда /> возрастает встрогом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием,проведенным в п.:
/>
/>
и, имея дело уже с римановымиинтегралами, просто применить теорему Арцелла.
Укажем, в заключение, другуютрактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функцииот промежутка.
Пусть для каждой части /> данного промежутка />/> определено число />,причем, если промежуток /> точкой /> разложен на части /> и/>, то и
/>
Тогда /> естьаддитивная функция от переменного промежутка />.Предположим, что кроме неё для промежутка /> заданаи функция точки />. Разложим теперь, какобычно, промежуток /> точками
/>
на части />,в каждой части произвольно выберем по точке /> и,наконец, составим сумму
/> (32)
Предел этой суммы при /> и есть интеграл Стилтьеса, которыйестественно — учитывая процесс его построения — обозначить так:
/> (33)
Если определить вторую функциюточки />, положив
/> для/>
то, ввиду аддитивности функции />, во всех случаях
/> (34)
так что сумма (32) сведется кобыкновенной стилтьесовой сумме
/>
а предел (33) — к обыкновенномуинтегралу Стилтьеса
/>.
Обратно, если существуетпоследний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причемлегко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенныйинтеграл Стилтьеса к интегралу (33).
/>
Глава III. Применениеинтеграла Стилтьеса3.1 Применение в теории вероятностей
В элементарной теориивероятностей, где рассматриваются случайные величины />,которые могут принимать только конечное множество значений />, среднее значение или математическоеожидание /> определяется формулой:
/> (1)
Имея эту формулу, мы можем припомощи интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения наслучайные величины />, которые могут приниматьлюбое множество значений, заключенное в каком-нибудь ограниченном интервале />, — если только мы примем следующую аксиому:
Каковы бы ни были функции /> и /> случайнойвеличины />, для которых всегда />, для них будут иметь место также инеравенства:
/> (2)
Чтобы распространить определениясреднего значения, возьмем какое-нибудь подразделение
/>
и пусть /> и/>, когда /> Здесь/>, и поэтому в силу условия (2):
/>
Величины же /> и />, таким образомопределенные, могут принимать соответственно только значения /> и />, а потому поформуле (1):
/>
С другой стороны, очевидно, чтовероятности /> и /> оберавны вероятности />, и потому
/>
Итак, если ввести функциираспределения /> случайнойвеличины />:
/>
Верхняя грань сумм в левой частии нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралуСтилтьеса функции />, взятому в пределах от /> до />;последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной впромежутке интегрирования. Итак, для среднего значения /> должно иметь место равенство:
/>.
Несколько сложнее обстоит делосо случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множествозначений. Если такая случайная величина /> можетпринимать только счетное множество значений />,то среднее значение /> определяется формулой
/>,(3)
причем ряд в правой части этойформулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы отпорядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднеезначение не было бы однозначно определено.
Имея формулу (3), мы можем припомощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьесараспространить определение среднего значения и на многие такие случайныевеличины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.
Приведем пример вычисления среднегозначения /> случайной величины />, для которой это вычисление требует именноинтеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, нибесконечным рядом.
Пусть случайная величина /> определяется следующими условиями:
Она может принимать толькозначения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x.
/>/>
0 /> /> 1
/>
Она не может принимать ни одногозначения в интервале />; попадание в соседниеинтервалы равновероятно. Таким образом, в интервале /> еёфункция распределения должна быть постоянна и равна />.
В каждом из крайних интерваловповторяется такая же картина, т.е. /> не можетпринимать ни одного значения в интервале /> и/>, попадание же в четыре интервала />, />, />, /> для неёодинаково вероятно. Таким образом, в интервалах /> и/> её функция распределения должна иметьпостоянные значения: в первом /> и во втором />.
Такая же картина повторяется и вкаждом из названных четырех интервалов длины /> ит.д.
/>
0 /> /> /> /> /> /> 1
/>
0 /> /> /> /> /> /> 1
Повторив /> разнаше рассуждение, мы будем иметь /> интервалов, каждыйдлины />; для /> изэтих интервалов вероятность попадания в каждый из них будет равна />, попадание в остальные будет невозможно. Вэтих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определитьфункцию распределения в каждой точке интервала />,достаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечноечисло раз. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которыхфункция распределения постоянна, она должна была получить определенные значенияв силу того, что она должна быть неубывающей.
В самом деле, и слева, и справаот каждой такой точки, с обеих сторон как угодно близко к ней, будутвстречаться интервалы, в которых функция распределения постоянна, потому что помере расширения этих интервалов путем присоединения к имеющимся уже интерваламдлины /> следующих интервалов длины /> расстояния между ними становятся скольугодно малыми.
Определив таким образом функциюраспределения />, мы уже без труда вычислим среднеезначение />.
Для этого достаточно обратитьсяк его геометрическому изображению. В данном случае оно изображается площадью,ограниченной прямыми /> и /> икривой распределения />. Но эта площадь в силусимметрии равна площади, ограниченной прямыми /> и/> и кривой />.Взятые же вместе эти площади составляют площадь квадрата равную 1. Отсюда ясно,что />3.2 Применение в квантовой механике
Аппарат стилтьесовскогоинтегрирования приспособлен для единообразного описания дискретных инепрерывных явлений. Это обстоятельство оказалось решающим и при введении его вматематический арсенал квантовой механики.
Если в механике раньшепользовались в основном классическим математическим анализом — аппаратом,приспособленным для описания определенного класса непрерывных явлений, а в техслучаях, когда нужно было описать дискретные явления, прибегали к теории рядов,конечных или бесконечных, то в квантовой механике такие приемы оказалисьнедостаточными. Непрерывные и дискретные аспекты переплелись в ней настолькотесно, что идея их единообразного описания напрашивалась сама собой.
Идея стилтьесовскогоинтегрирования могла оказаться полезной с самого начала. Но в момент зарожденияквантовой механики и некоторое время спустя интегрирование по Стилтьесу былоеще недостаточно разработано, а главное — слишком мало известно, чтобы лечь воснову квантовой механики. И Дирак повернул направление ее развития в иномнаправлении.
Дирак в качестве исходнойпозиции тож ставит проблему единообразного описания дискретных и непрерывныхявлений. При этом за основное понятие он берет понятие непрерывности, адискретное описывает в терминах последнего. Против такого подхода сразу воссталИ. Нейман, предложив заменить обобщенные функции интегралами Стилтьеса. Большинствофизиков не приняло концепции Неймана, тем не менее он продолжал отстаивать иразвивать свою точку зрения, подробно изложив свои соображения в своеймонографии. И хотя его концепция была принята не сразу, тем не менее вквантовой механике интеграл Стилтьеса нашел своё применение.
Интеграл Стилтьеса и линейныефункционалы.
Понятие функционала явилосьпредметом многочисленных исследований, восходящих ещё к Эйлеру. Среди этихисследований важное место заняли изыскания по аналитическому изображениюфункционалов.
В явной форме понятие функционаласформулировал Вольтера в 1887году. Он же дал и первое аналитическое выражениедля некоторого класса функционалов в виде выражения, аналогичного ряду Тейлорас привлечением понятия производной функционала. В теории функций наиболеераспространенным способом изображения функций является выражение их рядами тогоили иного типа. По аналогии начались попытки представления функционалов в видерядов по функционалам
/>,
где /> -некоторые константы, зависящие от природы разлагаемого в ряд функционала />, а /> -определенная последовательность фиксированных функционалов. Первым такимразложением было разложение, предложенное Пинкерле и Амальди в 1901 г. Оноимело вид:
/>,
где с — некоторое фиксированноечисло промежутка />, на котором заданорассматриваемое множество функций />.
Кроме них предложили общиевыражения линейных функционалов Фреше и Адамар, но все эти способы пригоднытолько для относительно узких классов непрерывных функций. Поэтому поиски новыханалитических выражений для функционалов продолжались.
Решающим в этом направлении былрезультат Рисса. В 1909 г. Он доказал, что всякий линейный функционал />, определенный в пространстве непрерывныхфункций />, заданных на />, раастояние между которыми /> выражается интегралом Стилтьеса
/>
где /> -функция с ограниченным изменением, определяемая через />
Заключение
Интеграл, который мы рассмотрелив данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно, как мыуже говорили в первой главе, в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; онввел его и применил в интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на долидругих математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной,Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интегралаСтилтьеса, отправляясь от разных задач. В теории цепных дробей применяли егосам Стилтьес и А.А. Марков, в теории R-интеграла — Кёниг, в теории чисел — Г.Ф. Вороной, в небесной механике — А.М. Ляпунов, втеории интегральных уравнений — Гильберт, Хеллингер, в теории линейныхфункционалов — Рисс. В дальнейшем разработкой интеграла занимались также У.Г. Юнги Радон. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радонприменял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений.
Очень велико число работ,посвященных изучению различных свойств интеграла Стилтьеса. Это работы Хелли, Брэй,Гильдебрандт, Р. Юнг, Г.М. Шварц, Яджи и др.
Совершенно необозримо полеприложений различных типов интеграла Стилтьеса. Разумеется, та исходнаяпроблема, из которой родилось само понятие интеграла Стилтьеса, — проблемамоментов, — не перестала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса,Маркова, Юнга и других ученых, о которых сказано выше, поток примененийинтеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Многие разделыматематики невозможно представить без использования интеграла Стилтьеса.
Идея стилтьесовскогоинтегрирования использовалась и продолжает использоваться при изученииразличных вопросов математики, физики, квантовой механики. Поэтому даннаяработа может быть использована в качестве пособия для студентовфизико-математичсеких факультетов.
Список литературы
1. Александров П.С., Колмогоров А. Введение в теорию функций действительногопеременного. Изд.3-е, переработ. М. — Л., Гостехтеориздат., 1938г.
2. Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы.М.,«Наука», 1971
3. Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. — М., 1936, 216с.
4. Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Государственноеиздательство физ. — мат. литературы, М., 1958
5. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. — М.: Издательство «ФакториалПресс», 2002. — 160с.
6. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Перевод с немецкого Г.П. Сафроновой.Под ред. И.П. Натансона. — М.: Государственное издательство физ. — мат. литературы,1959г.
7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональногоанализа: Учебник для вузов. — 6-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физ.- мат. Литературы, 1989. — 624 с.
8. Леонтьева Т.А. и др. Задачи по теории функций действительногопеременного: Учеб. Пособие по спец. «Математика»/ Панферов В.С., СеровВ.С. — М.: Изд-во МГУ, 1997 — 208с.
9. Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. Под ред. И.Я. Верченко- М.: Государственное издательство «Высшая школа» — 1965
10. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. — М., «Наука», 1974г.
11. Песин И.Н. Развитие понятия интеграла, М., «Наука», 1966. — 207с.
12. Самородницкий А.А. Теория меры/ Сыктывкар. Гос. Университет. — Л.: ИздательствоЛГУ, 1990. — 267с.
13. Теория функций вещественной переменной. И.П. Натансон. Главная редакцияфизико-математической литературы издательства «Наука», 1974
14. Теория функций и функциональный анализ: [Сборник статей/ Науч. ред. проф.Б.М. Гагаев]. — Казань: Издательство Казанского университета, 1976г. — 98с.
15. Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М. — Л. Издательствотехнико-теоретической литературы, 1948
16. Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физ. — мат. Литературы,«Наука», 1976г
17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Втрех томах. Том III/ — СПб.: Издательство Лань, 1997. — 672с.
18. Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. Учебное пособиедля пединститутов. Изд-во 2-е, М., Учпедгиз, 1961
19. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т.2. Пер. с латинского. — М.,Гостехтеориздат., 1957. — 368с.
20. http://go. mail.ru
21. www.aggregateria.com
Приложение
СТИЛТЬЕС ТОМАСИОАННЕС (Stieltjes Thomas Johannes 1856-1894).
Стилтьес Томас Иоаннес (29.12.1856-31.12.1894)- нидерландский математик и астроном. Член Нидерландской Академии наук (1886г) Родилсяв Зволле. Окончил Политехническую школу в Делфте. В 1877-1883гг. работал вЛейденской обсерватории, с 1886г. — профессор Тулузского университета. Научныеисследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывныхдробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, приближенногоинтегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесомпонятие интеграла Риманаиграет важную роль в современной математике. Известно также интегральноепреобразование Стилтьеса.