Контрольная работа подисциплине:
Теория вероятностей иматематическая статистика
Законы распределенияслучайных величин. Доверительный интервал
Задача 1
Вероятностьпоявления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найтивероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более80 раз.
Решение:
/>,
где /> - функцияЛапласа, значения которой находятся из таблиц.
/>;
/>.
Здесь: />.
/>.
Ответ: 0,49.
Задача 2
Среднее числовызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того,что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) не менее 3-х вызовов; в) менее 3-хвызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
а)Вероятность события «за 4 минуты поступило 3 вызова равна:
/>,
где
/> - среднеечисло вызовов в минуту; />;
t – время, закоторое может поступить 3 вызова; t=4 мин.;
k – число возможныхвызовов за время t; k=3.
/>.
/> - находим изтаблицы значений функции распределения Пуассона для k=3 и a=/>=8.
в) События«поступило менее 3-х вызовов» и «поступило не менее 3-х вызовов» являютсяпротивоположными. Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
/>.
Здесь:вероятности /> находятся из таблиц распределенияПуассона соответственно для значений k=0, k=1, k=2 и для a=/>=8.
б) Данноесобытие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше),поэтому: />.
Ответ: а) 0,03; б) 0,99; в)0,01.
Задание 3
Случайнаявеличина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x).Требуется: а) найти дифференциальную функцию f¢(x) (плотностьвероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построитьграфики функций f(x) и f¢(x).
/>
Решение:
а) /> - плотностьвероятности.
б)Математическое ожидание:
/>.
Дисперсиявеличины Х:
/>
в) Графикфункции f(x):
/>х
/> 1 2 f(х)
/>
/> 1
/>; />; />.
Графикфункции />
/>х 1 2 f¢(х)
/> 1
/>; />.
Задание 4
Найтидоверительный интервал для оценки математического ожидания Q нормальногораспределения с надежностью />, зная выборочную среднюю />, объем выборкиn и среднее квадратическое отклонение s.
/>; />; n=225.
Решение:
/>.
Здесь: /> находится изтаблицы распределения Стьюдента для n=225 и />.
/>.
/>;
/>.
Ответ: (73,12; 77,04).