ЗАСТОСУВАННЯЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ
1. Дотичнаплощина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двохзмінних
Нехай заданоповерхню
/>. (1)
Точка /> належить ційповерхні і функція /> диференційована в точці />, причому невсі частинні похідні в точці /> дорівнюють нулю, тобто
/>.
Розглянемодовільну криву/>, яка проходить через точку />, лежить наповерхні (1) і задається рівнянням
/>
де точці /> відповідаєпараметр />.
Оскільки кривалежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння (1):
/>. (2)
Диференціюючирівність (2), маємо:
/>. (3)
Ця рівністьпоказує, що вектори (рис. 1)
/>
ортогональні,причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої /> у точці />.
Крім того, зрівності (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку /> і лежать наповерхні (1), ортогональні до одного й того самого вектора />. Тоді всі ці дотичнілежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною доповерхні в точці />.
Знайдемо рівняннядотичної площини. Оскільки ця площина проходить через точку /> перпендикулярно довектора />, тоїї рівняння має вигляд.
/>.(4)
Нормаллю доповерхні в точці /> називають пряму, що проходить черезточку/>перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.
Оскільки нормальпроходить через точку /> і має напрямний вектор />, то канонічнірівняння нормалі мають такий вигляд:
/>. (5)
Якщо рівнянняповерхні задано в явній формі/>, то, поклавши/>, отримаємо
/>,
тоді рівняння (4)і (5) наберуть вигляду:
/>;(6)
/>.(7)
/>
Рисунок 1 –Дотична площина та нормаль до поверхні
/>
Рисунок 2 –Геометричний зміст повного диференціала функції />
З'ясуємогеометричний зміст повного диференціала функції/>. Якщо у формулі (6) покласти/>, то цяформула запишеться у вигляді
/>.
Права частинацієї рівності є повним диференціалом функції /> в точці/>, тому />.
Таким чином,повний диференціал функції двох змінних у точці /> дорівнює приросту аплікати точкина дотичній площині до поверхні в точці/>, якщо від точки /> перейти до точки /> (рис. 2).
Зауваження 1.Ми розглянули випадок, колифункція /> диференційованав точці /> і/>.
Якщо ці умови невиконуються в деякій точці (її називають особливою), то дотична танормаль в такій точці можуть не існувати.
Зауваження 2.Якщо поверхня (1) єповерхнею рівня для деякої функції/>, тобто/>, то вектор
/>
буде напрямнимвектором нормалі до цієї поверхні рівня.
2. Скалярне поле. Похідна занапрямом. Градієнт
Область простору,кожній точці />якої поставлено у відповідністьзначення деякої скалярної величини />, називають скалярним полем.Інакше кажучи, скалярне поле – це скалярна функція /> разом з областю її визначення.
/>
Рисунок 3.3 – Вектор/>
Прикладамискалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даногонеоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, полепотенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Для того щобзадати скалярне поле, достатньо задати скалярну функцію /> точки /> і область їївизначення.
Якщо функція /> не залежитьвід часу, то скалярне поле називають стаціонарним, а скалярне поле, якезмінюється з часом, – нестаціонарним. Надалі розглядатимемо лишестаціонарні поля.
Якщо в просторіввести прямокутну систему координат/>, то точка /> в цій системі матимепевні координати /> і скалярне поле u станефункцією цих координат:
/>.
Якщо скалярнафункція /> залежитьтільки від двох змінних, наприклад x і />, то відповідне скалярне поле /> називають плоским;якщо ж функція /> залежить від трьох змінних: x,/>і/>, то скалярнеполе /> називаютьпросторовим.
Геометричноплоскі скалярні поля зображують за допомогою ліній рівня, а просторові – задопомогою поверхонь рівня.
Дляхарактеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі введемо поняття похідноїза напрямом.
Нехай заданоскалярне поле />. Візьмемо в ньому точку /> і проведемо зцієї точки вектор/>, напрямні косинуси якого />.
На векторі /> на відстані /> від його початкувізьмемо точку />.
Тоді
/>.
Обчислимо теперприріст /> функції/> при переході від точки /> до точки /> у напрямівектора/>:
/>.
Якщо існуєграниця відношення /> при/>, то цю границю називають похідноюфункції /> вточці /> занапрямом вектора/>і позначають/>, тобто
/>.
Виведемо формулудля обчислення похідної за напрямом. Припустимо, що функція /> диференційована в точціM.Тоді її повний приріст у цій точці можна записати так:
/>,
де /> – нескінченно маліфункції при/>.
Оскільки
/>
то
/>.
Перейшовши дограниці при/>,отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямом
/>.(8)
З формули (З.8)випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом.Дійсно, якщо /> збігається з одним із ортів/>, /> або />, топохідна за напрямом /> збігається з відповідноючастинною похідною. Наприклад, якщо/>, то/>, тому
/>.
Подібно до тогояк частинні похідні /> характеризують швидкість змінифункції в напрямі осей координат, так і похідна /> показує швидкість змінискалярного поля /> в точці /> за напрямом вектора/>.
Абсолютнавеличина похідної /> відповідає значенню швидкості, азнак похідної визначає характер зміни функції /> в напрямі /> (зростання чиспадання).
Очевидно, щопохідна за напрямом/>, який протилежний напряму/>, дорівнюєпохідній за напрямом/>, взятій з протилежним знаком.
Справді, призміні напряму на протилежний кути /> зміняться на />, тому
/>.
Фізичний змістцього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значенняшвидкості зміни поля, а тільки на характер зміни поля. Якщо, наприклад, внапрямі /> полезростає, то в напрямі /> воно спадає, і навпаки.
Якщо поле плоске,тобто задається функцією /> то напрям вектора /> цілком визначаєтьсякутом />. Тому, поклавши у формулі (8) />та/>, отримаємо
/>.
Вектор,координатами якого є значення частинних похідних функції /> в точці /> називають градієнтомфункції в цій точці і позначають/>.Отже,
/>. (9)
Зв'язок міжградієнтом і похідною в даній точці за довільним напрямом показує така теорема.
Теорема.Похідна функції /> у точці/> за напрямом вектора /> дорівнюєпроекції градієнта функції в цій точці на вектор/>,тобто
/>.(10)
Доведення
Нехай /> – кут міжградієнтом (9) і одиничним вектором /> (рис. 4), тоді з властивостейскалярного добутку [1] отримаємо
/>
Зазначимо деякі властивостіградієнта.
1. Похідна вданій точці за напрямом вектора /> має найбільше
значення, якщонапрям вектора /> збігається з напрямом градієнта,причому
/>.(11)
Справді, зформули (10) випливає, що похідна за напрямом досягає максимального значення(11), якщо />,тобто якщо напрям вектора /> збігається з напрямом градієнта.
/>
Рисунок 4 –Зв'язок між градієнтом і похідною за напрямом
Таким чином, швидкістьзростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта.Зрозуміло, що у напрямі, протилежному до напряму градієнта, поле найшвидшезменшуватиметься.
2. Похідна занапрямом вектора, перпендикулярного до градієнта, дорівнює нулю. Інакшекажучи, швидкість зміни поля у напрямі, перпендикулярному до градієнта,дорівнює нулю, тобто скалярне поле залишається сталим.
Справді, заформулою (10)/>, якщо/>.
Вектор-градієнту кожній точці поля /> перпендикулярний до поверхнірівня, яка проходить через цю точку.Це твердження випливає з того, що напрямний вектор нормалі доповерхні рівня/>, яка проходить через точку /> має координати(п. 1)
/>.
4. Справедливірівності:
/>
/>
/>
/>
/>.
Доведення
Доведемо,наприклад, третю рівність. Маємо:
/>
Решта рівностейдоводяться аналогічно.
3. ФормулаТейлора для функції двох змінних
Якщо функціяоднієї змінної /> має на відрізку /> неперервні похідні до />-го порядкувключно, то справджується формула Тейлора:
/>(12)
/>.
Нехай />/>,
тоді/>, тому формулу(12) можна записати у вигляді
/>.(13)
В аналогічномувигляді формулу Тейлора можна отримати і для функції багатьох змінних.Розглянемо функцію двох змінних.
Нехай функція /> в області /> має неперервнічастинні похідні до />-го порядку включно. Візьмемо двіточки /> та /> такі, щобвідрізок /> належавобласті/>.
Введемо новузмінну />:
/>, />, />.(14)
При /> за цимиформулами отримаємо координати точки />, а при /> – координати точки />. Якщо /> змінюватиметься навідрізку />,то точка />опишевесь відрізок />.Тоді вздовж цьоговідрізка функція буде функцією однієї змінної />:
/>.(15)
Запишемо формулу(13) для функції (15) при/>:
/>.(16)
Обчислимодиференціали, що входять у формулу (16). З рівностей (14) і (15) маємо
/>.
Оскільки/>, то
/>.(17)
Аналогічно
/>,
/>.(18)
Продовжуючи цейпроцес, знайдемо
/>,
/>. (19)
Крім того приріст
/>.(20)
Підставившивирази (17 – 20) у формулу (14), отримаємо
/>,(21)
/>.(22)
/>
Рисунок 5 –Локальний максимум (мінімум) функції />
Формулу (21)називають формулою Тейлора для функції двох змінних з залишковим членом /> у формуЛагранжа. Цю формулу використовують для наближених обчислень. Для різнихзначень n з формули (21) можна отримати рівності для наближеногообчислення значень функції/>. Абсолютну похибку цих наближенихрівностей оцінюють через залишковий член (22).
Формула Тейлора(21) для функції двох змінних нагадує формулу Тейлора (13) для функції однієїзмінної. Але насправді, якщо розкрити вирази для диференціалів у формулі (21),то отримаємо складнішу формулу, ніж для
функції однієї змінної.Наприклад, при /> формула (21) має вигляд:
/>(23)
4. Локальніекстремуми функції двох змінних
Нехай функція /> визначена вобласті/>,а точка/>.Якщо існує окіл точки />, який належить області /> і длявсіх відмінних від /> точок />цього околу виконується нерівність/>, тоточку /> називаютьточкою локального максимуму (мінімуму) функції/>, а число /> – локальниммаксимумом (мінімумом) цієї функції (рис. 5). Точки максимуму тамінімуму функції називають її точками екстремуму.
Це означенняможна перефразувати так. Покладемо /> />, тоді
/>.
Якщо прирістфункції /> привсіх достатньо малих за абсолютною величиною приростах /> і />, то функція /> в точці /> досягає локальногомаксимуму /> (локальногомінімуму/>).Інакше кажучи, в околі екстремальної точки прирости функції мають один і тойсамий знак.
Теорема 1 (необхідні умовиекстремуму).Якщо функція />має в точці /> локальний екстремум, тов цій точці частинні похідні першого порядку за змінними x та /> дорівнюють нулю або неіснують.
Доведення
Нехай /> – точкаекстремуму. Тоді функція /> буде функцією однієї змінної. Цяфункція має екстремум у точці ц/>, тому її похідна /> дорівнює нулю або неіснує.
Аналогічно,розглянувши функцію /> отримаємо, що />
дорівнює нулю абоне існує.
Подібна теоремасправедлива для функції n змінних. Точку/>, в якій частинні похідні першогопорядку функції /> дорівнюють нулю, тобто/>, називають стаціонарноюточкою функції/>.
Стаціонарні точкита точки, в яких частинні похідні не існують, називаються критичними точками.
Таким чином, якщофункція в будь-якій точці досягає екстремуму, то це може статися лише вкритичній точці. Проте не всяка критична точка є точкою екстремуму, тобтотеорема 1 встановлює лише необхідні, але не достатні умови екстремуму.Наприклад, частинні похідні функції /> дорівнюють нулю в точці/>. Але цяфункція у вказаній точці екстремуму не має, тому що в досить малому околі точки/>вонанабуває як додатних (при/>), так і від'ємних (при/>) значень.
Слід зазначити,що в задачах з практичним змістом, як правило, відомо, що функція маєекстремум. Якщо така функція має лише одну критичну точку, то ця точка і будеточкою екстремуму.
Теорема 2 (достатні умови екстремуму).Нехай у стаціонарній точці /> і деякому її околі функція /> має неперервнічастинні похідні другого порядку.Якщо
/>,
то функція/> має в точці /> екстремум,причому максимум при />і мінімум при /> . Якщо />, то вточці /> функція/> екстремумуне має.
Доведення
Запишемо формулуТейлора (23) для функції /> в околі стаціонарної точки/>.Враховуючи,що/>,отримаємо:
/>
У випадкумінімуму для довільних достатньо малих значень /> та /> права частина цієї рівності маєбути додатною, а у випадку максимуму – від'ємною.
Внаслідокнеперервності других частинних похідних для цього достатньо, щоб диференціалдругого порядку в точці />
/>
зберігав знак длямалих значень /> та/>.
Введемо такіпозначення/>,/>, />, тоді
/>.
Нехай /> – кут міжвідрізком />,де /> –точка з координатами /> і віссю/>; тоді/>./>, тому при /> маємо
/>
Розглянемо теперп’ять можливих випадків.
1. Нехай /> і/>, тоді />, тому придосить малих значеннях /> приріст/>, тобто функція /> має в точці /> максимум.
2. Аналогічнодоводимо, що коли /> і/>, то функція /> має в точці /> мінімум.
Нехай /> і/>. Якщо з точки /> рухатисявздовж променя
/>, то/>. Якщо взяти /> таким, щоб /> або />, то
/>.
Отже, при малихзначеннях /> приріст/> в околіточки /> незберігає знак, тому ця точка не є точкою екстремуму функції/>.
4. Аналогічновстановлюємо, що коли /> і/>, то функція /> в точці /> також не маєекстремуму.
5. Нехай /> і/>, тоді /> і
/>.
При досить малихкутах /> знаквеличини /> збігаєтьсязі знаком />,тому знак величини /> залежатиме від знака множника/>. Але знаквеличини /> змінюєтьсяпри /> і/>, бо />. Отже, вдостатньо малому околі точки /> знак /> не збігається, тобто функція /> в цій точціекстремуму не має.
Зауваження. З доведення теореми 2випливають так звані другі достатні умови екстремуму: функція /> має мінімум устаціонарній точці/>, якщо диференціал другого порядкув цій точці />, і максимум – якщо />.
Можна довести, щодругі достатні умови екстремуму справедливі для функцій довільного числа змінних.
На основі теорем1 і 2 отримаємо правило дослідження диференційовних функцій двох змінних наекстремум. Щоб знайти екстремум диференційовної функції/>, необхідно:
1) знайтистаціонарні точки функції із системи рівнянь:
/>
2) у кожнійстаціонарній точці /> обчислити вираз
/>;
якщо />, то /> – точкаекстремуму функції, причому точка максимуму при /> і мінімуму при/>; якщо/>, то точка /> не є точкоюекстремуму функції;
3) обчислитизначення функції /> у точках максимуму та мінімуму.
Якщо/>, то ніякоговисновку про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додатковедослідження.
5. Найбільшета найменше значення функції
диференціалфункція дотична нормаль екстремум
Відомо, щофункція/>,задана і неперервна в замкненій та обмеженій області/>, досягає в цій областінайбільшого і найменшого значень. У внутрішніх точках області диференційовнафункція може набувати цих значень лише в точках локального екстремуму. Томупотрібно знайти всі стаціонарні точки функції, які належать області/>, розв'язавшисистему рівнянь/>, /> і обчислити значення функції вцих точках. Потім потрібно дослідити функцію на екстремум на межі області/>.Використовуючирівняння межі, цю задачу зводять до знаходження абсолютного екстремуму функціїоднієї змінної [8]. Серед здобутих таким чином значень функції всередині і намежі області вибирають найбільше і найменше значення.
Зазначимо, щозагального методу знаходження найбільшого та найменшого значень для довільноїнеперервної функції в замкненій та обмеженій області /> немає.