Сумський держаний педагогічний університет імені А. С. Макаренка
Кафедра математики
КУРСОВА РОБОТА
з алгебри
на тему: «ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ»
Студенки 3 курсу 432 групи
напряму підготовки 0402 фізико-математичних наук
спеціальності6.040203 математика
РудченкоОлени Володимирівни
Керівниквикладач кафедри математики
ДрушлякМарина Григорівна
м. Суми – 2010 р.
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
1.1 Загальні поняття просиметричний многочлен
1.2 Властивості симетричнихмногочленів
РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯСИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ
2.1 Розв’язування системрівнянь
2.2 Доведення тотожностей
2.3 Звільнення відірраціональності
2.4 Вилучення коренів
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
/>ВСТУП
Важливе місце в курсі алгебри посідають симетричні многочлени та,зокрема, застосування симетричних многочленів при розв’язуванні рівнянь, системрівнянь, вилучення коренів, доведення тотожностей, звільнення відірраціональності у дробах тощо. Цими питаннями займалися багато вчених, зокрема,Франсуа Вієт.
Франсуа Вієт розробив ряд важливих питань теорії рівнянь 1 — 4степенів. Він сформулював і довів кілька теорем про взаємозв'язки між коренямиі коефіцієнтами рівнянь, зокрема, й теорему про зведене квадратне рівняння(теорема Вієта). На сьогоднішній день теорема Вієта є необхідною і важливоючастиною шкільної програми.
Данакурсова робота складається з вступу, двох розділів, висновків і спискувикористаних джерел. Перший розділ «Теоретичні положення про симетричнімногочлени та їх властивості» складається з двох параграфів. Вони присвяченізагальним поняттям та основним властивостям симетричних многочленів. Другийрозділ «Застосування симетричних многочленів» містить в собі прикладизастосування симетричних многочленів на практиці. Розділ складається з чотирьохпараграфів. Вони присвячені застосування симетричних многочленів до розв’язуваннісистем рівнянь, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональності у дробахта вилучення коренів.
властивістьрівняння симетричний многочлен
РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
1.1 Загальні поняття про симетричний многочлен
Середнайбільш важких завдань на розв’язання систем рівнянь вищих степенів єнаступні:
/> />
/> />
Усіці системи мають одну загальну властивість — ліві частини рівнянь ємногочленами, у які x і y входять однаковим способом.
Означення. Многочленвід x і y називають симетричним, якщо він не змінюється при заміні x на y, та yна x.
Означення. Симетричниймногочлен — многочлен від n змінних F(x1, x2, …, xn),що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен F є R [x1,x2, …, xn] від n змінних над комутативним кільцем R єсиметричним якщо для довільної перестановки.
/>
Справедливарівність: F(x1, x2, …, xn)
Симетричнімногочлени утворюють підалгебру R-алгебри R [x1, x2,…, xn] многочленів від n змінних над кільцем R.
Многочленx2y + xy2 — симетричний. Навпаки, многочлен x3 — 3y2 не є симетричним: при заміні x на y, а yна x він перетворюється на многочлен y3 — 3x2,який не збігається з первинним.
Приведемо найважливіші приклади симетричних многочленів. Як відомоз арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:
x + y = y + x
длябудь-яких чисел x і y. Ця рівність показує, що многочлен x + yє симетричним. Так само із закону комутативності множення xy = yx
витікає,що добуток xy є симетричним многочленом. Симетричні многочлени x + y іxy є найпростішими. Їх називають елементарними симетричними многочленамивід x і y. Для них використовують спеціальні позначення:
/>
Коженмногочлен від основних симетричних, є симетричним.
Окрім/>і/>, частозустрічаються так звані степеневі суми, тобто многочлени x2 + y2,x3 + y3,… ., xn + yn,… . Прийнятоозначати многочлен xn + yn через sn.Таким чином,
/>
/>
/>
/>
/>. (1)
Ця формула дозволяє послідовно знаходити Sn через />і/>. Так за допомогою цієї формули можна послідовно знайти:
/>
/>;
/>
і т. д. У таблиці 1 зведені вирази степеневих сум s1,s2,… ., s10 через і ці вирази будуть нам корисніпри розв’язанні задач.
Таблиця 1 Вираження степеневих сум sn = xn + yn через/>
/> 1.2 Властивості симетричнихмногочленів
Встановимо тепер деякі елементарні властивості довільнихсиметричних многочленів.
1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів над деяким полем Рє симетричними многочленами над цим полем.
Це твердження очевидне.
Наслідок.
Множина всіх симетричних многочленів над полем Р утворює областьцілісності з одиницею відносно дій додавання і множення. Зрозуміло, що це кільце єпідкільцем всіх многочленів над полем Р.
2.Якщо симетричниймногочлен f (x1, x2,…, xn) містить деякий член
/> (2)
то він містить і член, утворений з (2) внаслідок будь-якої перестановки показників />.
Доведення. Оскільки, як відомо,від довільної перестановки показників/>до всякої іншої перестановки цихпоказників можна перейти за допомогою скінченного числа транспозицій, то доситьпоказати, що при транспозиції довільних двох показників степенів у члені (2) мидістаємо знову деякий член симетричного многочлена
f (x1, x2, …, xn)
Виконуючи, наприклад, транспозицію показників, />та />, матимемо член
/> (3)
За означенням симетричного многочлена
f (/>, />, …,/>xn) =f (/>,/>,…,/>xn)
Але другий з цих многочленів повинен містити член (3), бо йогодістаємо з члена (2) заміною /> на /> і навпаки. Томувнаслідок єдиності канонічної форми і даний многочлен повинен містити член (3).
Наслідок. Якщо
/> (4)
є вищийчлен симетричного многочлена, то /> .
Доведення.Справді, припустимосупротивне, тобто що при якомусь />. На підставі властивості 2 даниймногочлен разом з членом (4) містить і член
/> (5)
Але з умови /> випливає, що член (5) вищий зачлен (4), тобто член (4) не може бути вищим у многочлені. Ця суперечністьдоводить наше твердження.
Також можна сформулювати таку важливу властивість симетричнихмногочленів, яку називають основною теоремою.
Теорема1 (Основна теорема теорії симетричних многочленів): Всякий симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn)від пзмінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від основних симетричнихфункцій /> цих змінних,коефіцієнти якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.
Доведення. Зробимо насампередтакі зауваження.
1) Усіх членів певного степеня L, утворених з даних змінних x1,x2, …, xn (не враховуючи подібних), може бути лишескінченне число; це число, очевидно, дорівнює числу способів, якими можнаподати як суму n невід'ємних цілих упорядкованих доданків.
2) Теорему досить довести для однорідних симетричних многочленів, бовсякий симетричний многочлен можна подати як суму однорідних симетричнихмногочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідних многочленів. Якщо жданий многочлен симетричний, то й кожний складовий однорідний многочлен повиненбути симетричний, бо при переставлянні змінних x1, x2,…, xn кожний член може перейти лише в член того самого степеня,тобто в інший член того самого однорідного складового многочлена.
3) Вищий член /> будь-якого симетричногомногочлена можна подати як вищий член деякого добутку основних симетричнихфункцій />
Справді, розглянемо добуток
/>(6)
За наслідком з властивості 2, всі степені /> /> — невід'ємні числа, тому(6) є многочленом від x1, x2, …, xn.За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку вищих членів многочленів/> (причомупіднесення до степеня слід розглядати як множення однакових многочленів).Оскільки вищі члени/>дорівнюють відповідно x1;x1x2;…; x1x2… xn-1; x1x2…xn-1xn, то вищий член добутку (6) дорівнює:
/>
тобто (як це видно після елементарних перетворень) збігається ззаданим членом />
Після цих зауважень легко довести теорему.
1) Доведення Існування. Нехай вищий член симетричного многочлена f (x1,x2, …, xn)(який ми в результаті зауваження 2можемо вважати однорідним многочленом степеня N) дорівнює
/>(7)
Побудуємо симетричний многочлен
/>
Згідно з зауваженням 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7).Крім того, він однорідний, бо такими є всі многочлени />, а тому, очевидно, і їх добуток.Степінь многочлена /> дорівнює степенюмногочлена f (x1, x2, …, xn)бов них однакові вищі члени.
Візьмемо
f1(/>, />, …/>xn) />f (/>, />,/>xn)- /> .
Зрозуміло, що f (/>, />,/>xn) — такожоднорідний симетричний многочлен степеня N. Але />(/>, />,/>xn) вже немістить усіх членів цього степеня. Справді, він не містить вищого члена (7),який у цій різниці знищується. Крім того, в цій різниці знищуються всі n!членів, які дістаємо з вищого члена перестановкою показників /> бо ці члени, завластивістю 2, входять в обидва симетричні многочлени.
Тепер зрозуміло, що />(/>, />,/>xn) можемістити лише члени, нижчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена той самийметод. Нехай вищий член многочлена має вигляд:
/>(8)
Вважаючи
/> B/>
і утворюючи різницю:
f2(/>, />, …/>xn) />f1(/>, />,/>xn)- />,
бачимо, що />(/>, />,/>xn) є симетричнийі однорідний многочлен степеня N, який не може містити ні члена (7), нічлена (8), а тільки члени, нижчі за них. Оскільки, взагалі, різних членівстепеня N може бути лише скінченне число (зауваження 1), то, продовжуючи цейпроцес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, що різниця
fk+1(x1, x2, …xп) = fk (x1,x2, …xп) — gk(x1, x2, …xn)
не може містити жодного члена степеня N, тобто дорівнюєнулю. Тоді з рівностей
/>,
/>,
.
/>
випливає, що
/>.
А оскільки всі /> виражені через /> добутки то многочлен f(/>, />,/>xn)подано як многочлен відосновних симетричних функцій f(/>, />,/>xn) =/>(9)
коефіцієнти якого знайдено з коефіцієнтів даного многочлена задопомогою операцій додавання і віднімання і тому належать полю Р. Теоремудоведено. Справедлива також теорема про є д.и н і с т ь многочлена />
2) Доведення єдиності.
Нехай маємо
f(/>, />,/>xn) =/>
f(/>, />,/>xn) =/>
Тоді різниця
/> = />
повинна дорівнювати нулю при будь-яких значеннях x1,x2, …, xn.
Зауважимо, що многочлен /> можна розглядати двояко: якмногочлен від x1, x2, …, xn (бо від цихзмінних залежать /> ) і як многочлен від />нам требарозглянути останнє. Єдиність зображення (9) полягає саме в тому, що многочлени,/> маютьоднакові відповідні коефіцієнти, тобто що многочлен /> має коефіцієнти /> які дорівнюють нулю, вусіх членах />. Але /> залежні між собою, бо виражаютьсячерез ті самі змінні />, />,/>xn. У зв'язку зцим поряд з многочленом /> від залежних змінних розглянемотакий самий многочлен /> від незалежних змінних />. Тепернам треба довести, що коли /> той />. Те саме можна сформулювати йінакше: нам треба довести, що коли />, то тоді й /> .
Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і/>. Через те, що /> в цьому разі дорівнює x1,то />, бо />, що те саме,що й
Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне длябудь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливимдля якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існуємногочлен />такий,що />, але />. Подамо />за степенями yп
/>
/>
де /> — многочлени від />, за нашим припущенням
/>
/>(11)
Оскільки /> , то хоч би один з йогокоефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що />. Якщо /> , то надалі міркування проводятьвідносно многочлена />, який дістаємо з /> після скорочення на. Виходить,що при уп = 0
/> (12)
З другого боку, візьмемо в (11) хп = 0. Тоді />, а інші />,перетворюються в основні симетричні функції від (п-1) змінних. Позначимоїх через />.Отже,при хп = 0 з (11) дістаємо:
/>, 0) = /> (13)
Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності зприпущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.
Єдиність зображення (9) доведено.
З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробитиважливий висновок.
Теорема 2: Якщо f(x) — многочлен від однієї змінної над полем Р зкоренями />(які можуть не належати Р),то будь-який симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn)над полем Р при /> набуває значення, яке єелементом поля Р.
Доведення. Нехай даноякийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) надполем Р:
/>(14)
Позначимокорені цього многочлена через />; вони можуть і не належати полю Р.Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен /> над Р від п змінних.За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен />можна подати у виглядімногочлена від основних симетричних функцій /> з коефіцієнтами з поля Р, тобто/>
Візьмемотепер тут /> .Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповіднимкоефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:
/>
/>
……………………………………………………………
/>
У зв'язку зцим
/>
Але тоді /> елемент поля Р якрезультат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Такимчином, />.Отже, ми довели таке твердження.
У ряді питань доводитьсязустрічатися з задачею побудови за даним многочленом f(х)є Р[х]з коренями /> такого многочлена g(у),корені якого /> виражаютьсячерез відповідні корені /> за допомогою деякогомногочлена у = f(х)над полем Р; />. Найпростіші задачітакого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскількикоефіцієнти /> многочлена g(у)відповіднодо формул Вієта визначаються рівностями
/>
/>
……………………………………………………………
/>,
то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументияких є коренями даного многочлена f(х). З oсновної теореми теоріїсиметричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів />черезкоефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочленналежатиме тому самому кільцю Р [х], що й даний многочлен.
Зауважимо, що сказане залишається справедливим і для більшзагального випадку, коли />,де /> - довільнісиметричні многочлени над полем Р.
Розглянутий вище метод доведення основної теореми можнавикористати для практичного зображення симетричних многочленів через основнісиметричні функції.
Приклад. Подати симетричний многочлен над полем
/> +
+ />
через основні симетричні функції. Як і при доведенні теореми, запишемо цей многочлен як сумуоднорідних многочленів. Дістанемо:
/>
де />
/>
Спочатку /> подамо через основні симетричнімногочлени. Вищий його член є /> . Згідно з методикоюдоведення теореми, від />слід відняти многочлен
/>
бо система показників у вищому члені є 2, 1, 0. Але немає потребифактично виконувати це віднімання. Спираючись на можливість і єдиністьзображення даного многочлена у вигляді многочлена />досить визначити можливий виглядчленів /> іскористатися методом невизначених коефіцієнтів.
У різниці /> знищаться всі члени виду /> здовільноюперестановкою показників 2, 1, 0. Проте одночасно можуть з'явитися члени тогосамого степеня 3, але з іншою, нижчою системою показників, а саме: 1, 1, 1.Отже, потім треба буде відняти симетричний многочлен
/>
Тому можна записати: />,
де а — невизначений поки що коефіцієнт, тобто:
/>
/>
Щоб знайти а, досить надати деяких числових значень змінним/>наприклад /> = 1.Тодідістанемо 6 = 9 + а. Отже, а = />3. Таким чином,
/>
Аналогічно міркуватимемо відносно многочлена
/>
Можливі системи показників тут будуть 2, 0, 0 і 1, 1, 0. Отже,відніматимемо такі многочлени:
/>
/>
І далі, аналогічно до попереднього, />. При /> = 1 маємо 3 = 32 + b /> 3, тобто b = />2 і тому
/>(15)
Отже, дістаємо остаточно />
РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯСИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ 2.1 Розв’язування систем рівнянь
Дужечасто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать відневідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих />. За основноютеоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такоїзаміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються(оскільки /> ємногочленом другої степені від x, y). Іншими словами, як правило, розв’язуваннясистеми відносно нових невідомих/>простіше, ніж розв’язуванняпервинної системи.
Післятого, як знайдені значення величин /> , треба знайти значення первиннихневідомих x, y. Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми
Теорема. Нехай /> - два довільні числа.Квадратне рівняння
/> (*)
і система рівнянь
/> (**)
пов'язані один з одним таким чином: якщо z1, z2– корні квадратного рівняння (*), тосистема (**)має два розв’язки:
і інших розв’язків не має; якщо x = a, y = b — розв’язки системи (**), то числа a і b є коренями квадратногорівняння (*).
Доведення. Якщо z1і z2 – корні квадратного рівняння (*), то по формулах Вієта
/>
/>
тобточисла
є розв’язкамисистеми (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останньоготвердження теореми, яке ми зараз доведемо.
Отже,нехай x = a, y = b — розв’язок системи (**), тобто
/>
ab =/>.
Тодіми маємо
/>
Алеце означає, що числа a і b являються коренями квадратного рівняння (*). Теоремадоведена.
Наведемоприклади.
Приклад 1. Розв’язатисистему рівнянь
/>
Введемонові невідомі /> знаходимо:
/>
а тому для новихневідомих отримуємо наступну систему рівнянь:
/>
Зцієї системи рівнянь отримуємо />.
Отже,/> тобтодля первинних невідомих x, y ми отримуємо наступну систему рівнянь :
/>
Цясистема рівнянь легко розв’язується, і ми отримуємо наступний розв’язокпервинної системи:
Приклад 2. Розв’язатисистему рівнянь
/>
Розв’язанняпроводиться аналогічно. Вважаючи, що /> приводимо початкову систему до вигляду
/>
Звідсидля /> отримуємо квадратне рівняння
/>
Чи
/>
Зцього рівняння знаходимо два значення для: />
Такимчином, для первинних невідомих x, y отримуємо дві системи рівнянь:
/> та />Розв’язавши ці системи, знаходимочотири розв’язки первинної системи:
/> /> 2.2 Доведення тотожностей
Уцілому ряді завдань на доведення тотожності також з успіхом можуть бутизастосовані елементарні симетричні многочлени. За основною теоремоюсиметричних многочленів, кожну степеневу суму /> можна представити у виглядімногочлена від, />
Таблиця2. 1 Виразистепенних сум /> через, />
/>
Кожну степеневу суму/>можнапредставити у вигляді многочлена від />, />, за умови, що />.
Таблиця2.2 Виразистепенних сум /> через /> при виконанні умови />
/>
Існують одночлени, які не змінюються при перестановці змінних –симетричні одночлени. Легко побачити, що усі змінні в такий одночлен повиннівходити в одному і тому ж степені, тобто цей одночлен повинен збігатися здобутком (взятий з деяким числовим коефіцієнтом).
Якщо показники степеня одночлена є різними то цей одночлен не єсиметричним. Щоб отримати симетричний одночлен, одним із доданків, якого є,необхідно додати до нього інші одночлени.
Позначимо через O – многочленз найменшим числомчленів, одним із доданків, якого є одночлен, цей многочлен має назву орбіта.
Для отримання орбіти одночлена необхідно додати до нього одночлениотримані за допомогою перестановок змінних x, y, z. Якщо три показникистепеня (k, l, m) не рівні між собою, то орбіта O(/>буде складатисяз шести членів. Наприклад:
О(/>
Частинним випадком таких орбіт є степеневі суми:
O(/>
Якщо k = l = m, то орбіта є одночленом:
О(/>.
Зцих формул за допомогою співвідношень
/>(*)
Якщоk = l, то отримаємо
/>(**)
Зцього легко отримати вирази орбіт O(xkyl) через />за умови, що />
Утаблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(xkyl)через />, />
Таблиця2.3 Виразиорбіт O(xkyl) через />
/>
Наприклад,
/>
Приклад 1.Довести, що якщо x + y+ z = 0, то
/>
Затаблицею 2.1 маємо:
/>.
За умовою s1= x + y + z = 0, і тому />.
Приклад 2. Довести,що якщо
x + y + z =/>, то xyz = 0.
Умовазавдання записується у вигляді
/>
Зцієї системи рівності знаходимо, що s2=0 і s3 = 0.Рівність s3=0 і означає, що xyz=0.
Приклад 3. Довести,що якщо x + y + z = 0 і xy + xz + yz = 0, то справедлива рівність
/>
Знаведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов /> ) :
/>
крімтого, згідно таблиці 2.2:
/>
Зцих співвідношень безпосередньо витікає доводжувана рівність.
Приклад 4. Довести,тотожність
/>
Длядоведення позначимо число (– a – b) через c: с = – a – b.
Тодіa + b + c = 0 і можна застосувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Лівачастина доводжуваної тотожності перетвориться таким чином:
/>
/>
аправа — таким чином:
/>
/>
Такимчином, доводжувана рівність справедлива.
Вказаніспособи доведення тотожності нерідко застосовуються у поєднанні з наступним прийомом:якщо обидві частини, тієї тотожності, що доводимо, виражається через різниці a/>b, b/>c, c/>a, тозручно зробити заміну x = a/>b, y = b/>c, z = c/>a, тоді x+ +y + z = (a/>b)(b/>c)(c/>a) = 0 ітому можна застосовувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Той же прийомможна застосовувати при розкладанні на множники многочленів, що виражаютьсячерез різниці a/>b, b/>c, c/>a.Розглянемо приклад.
Приклад 5. Розкласти на множники многочлен
/>
Вважаючи,що x = a/>b, y = b/>c, z = c/>a, знаходимо:
/>
/>
Мискористались формулою /> , запропонована у таблиці 2. 2. 2.3 Звільнення відірраціональності
Симетричнімногочлени дозволяють розв’язати багато важких завдань про звільнення відірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд /> або /> цю задачу можнавирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього доситьвикористовувати формули
/>
/>
/>
Складнішейде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональнихдоданків. Тут і можуть допомогти симетричні многочлени. Розглянемо наступніприклади.
Приклад 1. Звільнитисявід ірраціональності в знаменнику виразу
/>
Покладемо/> Тодізнаменник є не чим іншим, як елементаpним симетричним многочленом />Спробуємопідшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити черезстатечні суми s2 і s4. Оскільки ці степеневі суми маютьвигляд
/>
/>
знаменникстане раціональним виразом. Для знаходження цього множника використовуємоформули
/> />
(Затабл. 2.1.). Ми бачимо, що в обох степеневих сумах лише останній доданок (управій частині) не ділиться на />. Але дуже легко скомбінувати цістепеневі суми так, щоб останні доданки, що заважають нам, взаємно знищилися.Для цього суму /> піднесемо до квадрату
/>
і віднімемо з цьогоквадрата подвоєну суму />. Ми отримаємо:
/>,
Звідки:
/>)
Згадуючи,що />мизнаходимо (використовуючи вказані вище співвідношення
/>
/>
Залишаєтьсяпомножити обидві частини отриманої рівності на q .
Зауваження. Щоб уникнути дещо неприємного (при розкритті дужок в чисельнику)вираження, можна було б спочатку перетворити чисельник в правій частині формули(*). Використовуючи співвідношення
/>
миможемо переписати формулу (*) у вигляді
/>
Звідси( вважаючи, як і раніше, /> ) отримуємо рішення задачі взручнішому вигляді:
/>
Приклад 2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу
/>
Напишемовираз степеневої суми s3 :
/>
Вправій частині тільки останній доданок /> не ділиться на /> . Переносячи його вліву частину, отримуємо:
/>,
Звідки:
/>
Поклавши/> знаходимо:
/>
Мибачимо, таким чином, що якщо знаменник дробу має вигляд /> , то після множеннячисельника і знаменника на вираз
/>,
узнаменнику отримаємо вираз
/>
Тепердля звільнення від ірраціональності досить використати формулу:
/>.
Потрібнопомножити чисельник і знаменник на вираз
/>
Врезультаті отримаємо:
/>
/>
Розглянутіприклади є окремими випадками наступного завдання. Нехай треба позбавитися відірраціональності в знаменнику виразу
/>
Іншимисловами, ми повинні представити цей вираз у вигляді:
/>
де Aможе бути скільки завгодно складним ірраціональним виразом, але знаменник Bмає бути раціональним. Ясно, що знаменник буде раціональним, якщо в нього самікорені /> невходять, а входять лише їх n-і степені. Іншими словами, позначивши /> ми повиннівідшукати тотожність виду:
/>
де fі g – деякі многочлени. Ця рівність переписується у вигляді
/>. І так, нампотрібно знайти такий многочлен від трьох змінних, що /> ділиться на />
Якже знайти такий многочлен g? Спробуємо використовувати симетричні многочлени.Простими прикладами симетричних многочленів, залежних тільки від (n – x)степеней змінних x, y, z, можуть служити степеневі суми
/>
/>,
/>
Якщонам вдасться скомбінувати ці степеневі суми так, щоб побудований з нихмногочлен g, якій би ділився на s1, то наше завданнявирішене.
Інодібуває важко скомбінувати степеневі суми sn, s2n,s3n,… ., щоб отриманий з них многочлен, який би ділився б на /> В цьомувипадку може допомогти наступний прийом. Спробуємо використовувати (дляотримання многочлен, що ділиться на) не тільки степеневі суми sn, s2n, s3n,. . ., але також і величину Адже при /> ми маємо /> тобто до раціональнихвиразів sn, s2n, s3n,.., ми додаємо лишеодну ірраціональність />. Для звільнення від цієїірраціональності, що залишилася, можна скористатися способами, вказаними напочатку цього пункту. 2.4 Вилучення коренів
Вилученнякоренів можна нескладно виконати за допомогою так званого методу послідовнихнаближень. Додатково з цим методом можна ознайомитись в роботі [3]. Ми опишемоодин спосіб побудови послідовних наближень, пов'язаний з симетричнимимногочленами.
Нехайтреба обчислити/>, де N — деяке додатнє число.У якості «нульових наближень» виберемо довільні додатні числа />і додамо до них число
/>
Взятічисла володіють тією властивістю, що їхній добуток
/>
Обчислимо теперелементарні симметричні многочлени />від чисел a />, які складають нульовенаближення, і в якості першого наближення візьмемо числа
/>
Добутокусіх чисел першого наближення дорівнює
/>
тобтотак як і раніше дорівнюєN.
Теперскладемо елементарні симетричні многочлени />від чисел /> , які складають першенаближення, і по ним так само знайдемо наступне, друге, наближення:
/>
Добутоквсіх чисел другого наближення знову рівний N. Потім по числах другогонаближення складемо третє наближення Можна довести, що при кожна з величин щоскладає n-те наближення, прямує до />.
Приклад 1. При k = 2,тобто при вилученні квадратного кореня ми маємо такі формули:
/>
і взагалі
/>, />
Нехай,наприклад, потрібно обчислити />Приймемо за />число 2. Тоді отримуємопослідовно:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Переводячипрості дроби в десяткові, маємо:
/>
тобтотретє наближення дає вже сім вірних знаків після коми! (Легко побачити, що однез чисел />,/>дає наближеннячисла />знадлишком, а інше — з недостачею, бо їх добуток дорівнює N.)
Приклад 2. При k = 3,тобто при вилученні кубічного кореня, формули будуть наступними:
/>
/>
/>
/>
івзагалі
/>
/>
/>
Нехай,наприклад, потрібно обчислити />. Покладемо/>. Тоді отримуємо послідовно:
/>, /> />
/> , /> />
/>
/>
/>
Переводячизвичайні дроби в десяткові, маємо:
/> /> />
Наступненаближення починається з числа
/>
Якщообчислити /> і/>, то мипереконаємося, що п'ять знаків тут правильні.
ВИСНОВКИ
Данакурсова робота присвячена симетрії в алгебрі, зокрема, застосуванню симетричнихмногочленів. В даній роботі було розглянуто: загальні поняття про симетричнімногочлени, їх основні властивості, основна теорема теорії симетричнихмногочленів та застосування симетричних многочленів до розв’язуванні рівнянь,систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональностіу дробах тощо.
Укурсовій роботі було розглянуто способи розв’язувань систем рівнянь і прикладиїх розв’язання; було виражено степеневі суми /> через /> при умові /> (результати наведені втаблиці 2.2), введено означення орбіт O(xkyl),виражено орбіти O(xkyl) через (результати наведенів таблиці 2.2); були розглянуті випадки, коли для звільнення відірраціональностей необхідно застосовувати симетричні многочлени; булорозглянуто спосіб побудови послідовних наближень, пов'язаний з симетричнимимногочленами. Кожен параграфпроілюстровано прикладами.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. БолтянскийВ. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. – М.: МЦНМО, 2002.-240 с.
2. Вейл Г., Симметрия.-М.:Наука, 1968.-192 с.
3. ВіленкінН. Я., Метод послідовних наближень. — М.: Физматгіз. — 1961.-203с.
4. ВинбергЭ. Б. Симметрия многочленов. – М.: МЦНМО, 2001.-24 с.
5. ЗавалоС.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел: Практикум. Частина 2. — К.: Вища шк., 1986.- 264с.
6. КудряшовН. А. Симетрия алгебраических и дифференциальных уравнений. Соросовскийобразовательный журнал, №9, 1998, с. 104-110.