Доказательство утверждения частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,
учителя, ветерана педагогического труда
Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Содержание
Общее утверждение
Утверждение 1
Доказательство Части первой «Утверждения 1»
Доказательство Части второй «Утверждения 1»
Пример
Примечание
«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)
Утверждение 2
Доказательство Части первой «Утверждения 2»
Доказательство Части второй «Утверждения 2»
Примечание
Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма
Утверждение 3
Доказательство Части первой «Утверждения 3»
Доказательство Части второй «Утверждения 3»
Примечание
Общий вывод
Литература
Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения />, частными случаями которых являются уравнения Ферма />, где а – чётное число, />и/>— целые числа, />, />,/> — =натуральные числа.
Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения /> и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.
Этот метод позволяет:
Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для />, т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).
Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения />, где/>— натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).
Судить о возможности существования частного решения уравнения />при/>(илиb = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:
а) b = ±1; c = ±3; a = 2.
б) b = />3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).
4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения />, гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).
5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма />. Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).
6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма />, где/> — натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).
**********
Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.
И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения />), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».
≥
ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма
1. Уравнение /> (/>,/> — натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> — было четным, /> и /> — нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел />, /> и /> может быть либо />, либо />.
***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая
для показателя q:
1) /> при /> — натуральном;
2) /> при /> — натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай />.
Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя />
Часть 1
Уравнение />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо />, либо />.
**********
Последнее утверждение (либо />, либо />) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.
*********
Часть первая(Утверждения 1)--PAGE_BREAK--
Уравнение />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Доказательство
Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для />— простого.
Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение /> разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и />. И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа />, />и /> не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.
Из уравнения (1) следует:
/>(2),
где /> — четное целое число, т.к. />и /> — нечетные;
/>≠ 0, т.к. /> и /> — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;
/>— нечетное целое число при />и /> — нечетных,/>— простом.
********
Примечание
То, что /> — нечетное число при />и /> — нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.
Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома
Ньютона />, />, />, … и тогда получим для />:
/>— сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для />:
/>— сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для степени /> — простой можно доказать, что при />и /> нечетных
(3) /> — сумма нечетных />слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23).
*******
Пусть /> (4),
где />— нечетное число (на основании (3)).
Тогда уравнение (2) примет вид:
/>(5),
где /> — четное число, которое можно представить в виде
/>(6),
где /> — целое число (при />= 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),
/>(4) – нечетное число.
Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:
/>, т.е. />(7), где /> — целое число (/>), /> — натуральное число.
Сумму же нечетных чисел /> и /> обозначим через />, т.е.
/>(8),
где /> — целое число (/>, т.к. /> и /> — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).
Из (7) и (8) определим />и />:
/>=> /> => />
Откуда (11) /> — нечетное число при /> — нечетном и /> — четном, т.к. />, причем (12) /> (явно) при />.
********
Вывод:
На основании (8) и (11) имеем: (13) /> — нечетное число;
из соотношений (7) и (12) имеем: (14) /> (явно) при />.
Этодополнительная информацияо свойствах предполагаемых взаимно простых числах />, которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и />. Учитывая соотношения (9) и (10), получим:
/>/>/>    продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, получили следующее уравнение:
/>(15),
где />— целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа/> следующим образом:
(16) /> — нечетное число при /> — нечетном;
(17) /> — нечетное число при /> — нечетном;
(18) /> — нечетное число при />— нечетном;
(19) /> — четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать
t=0 иr=0 (при t=0 /> и /> — четные из (16) и (17), при r=0 />= 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15) следующий:
(20) />,
целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:
(21) />;
(22) />;
(23) />;
(24) />, где /> — целые числа.
То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняется Условие 1.
Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
/>
Случай «+».
(16+) />= С — нечетное число при /> — нечетном;
(17+) />= В — нечетное число при /> — нечетном;
(18+) />=N — нечетное число при />— нечетном;
(19+) /> = К — четное число.
Казалось бы, все в порядке: четность /> в (16+), …, (19+) совпадает при />-нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):
/>,
т.е. /> пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), />!
Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при />-четном.
Однако, если />— четное, то />(в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) />есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения />n, />:
Случаи «+» и «-».
(16±) />;
(17±) />;
(18±) />;
(19±) />.
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) />;    продолжение
--PAGE_BREAK--
(17-) />;
(18-) />;
(19-) />.
Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы»(Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при />-четном.
Однако, если />— четное, то />(в (16-)и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод.Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тосиbмогут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с =B
b =С
n = N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(16´±) c />=±В
(17´±) b />=±С
(18±) />=±N
(19±) />=±К
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при />-четном.
Однако, если />— четное, то />(в ((16´±)и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15) симметрично и для nи для /> (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством nи />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых nи/> меняютсясвоими выражениями (NиК )).
Условие 3
c = C
b = B
n = К
/>N
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с =± С = ± (/>)
(17±) b= ± В =± (/>)
(18´±) n= ± К = ± (/>)
(19´±) />=± N= ± (/>)
Согласно одному из Выводов (формула (14)) /> (явно) при />. Но это возможно, глядя на (19´±) />=±N= ±(/>) только при t — четном, при которых в (16±) и (17±) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.     продолжение
--PAGE_BREAK--
Это значит, что мы опять придем к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
********
Пояснение(почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства />»).
Запишем Условия (1, …, 3).
Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3
с = С с =B c = C c =B
b = B b =С b = B=> b = C
n = N n = N n = К n = К
/>/>/>/>
Если теперь поменять обозначения между собойвУсловии 2+3 снаb, аbнаc
в верхних двух строчках и n на />, а/>на nвнижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1»нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c =Bb = B с = С
b = C=> с = С => b = B
n = К />n = N
/>n = N/>
Вывод.
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения 1»(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения1)
Возможны случаи: либо />, либо />.
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1(продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, nи/>) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, Nи К) в каждом (по n= 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели — это 2 случая: Случаи «-» и«+» соответственно):
/>/>/>/>
********
Случай 1.
/>(16)
/>(17′)
/>(18)
/>(19)
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:
/>/>/>=> />.
Выразим из (25) и (26) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Из (19) с учетом (29) выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
/>, т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (35), получим /> => />.
Теперь, с учетом (38), можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
/>, />,
/>, />,
где />— взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 3
/>(16)
/>(17′)
/>(18)
/>(19′).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность />:
/>/>-/> => /> (26′).
Выразим из (25) и (26′) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>(30′), />(31′), а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19´) с учетом (29) выразим />:
/>, т.е. />(33´).
Т.о., />, />,
где />,
т.е. /> (34´), />(35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
/>, т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (35´), получим /> => />(/>).    продолжение
--PAGE_BREAK--
Теперь, с учетом (/>), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):
/>, т.е. />(39´´).
Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:
/>
/>(39´´),/>(38´´), где />— взаимно простые нечетные
/>, />(33´), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´),т.е.
/>(39´´´),/>(38´´´), />(37´), />(33),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (16) />2.(16´) />(39´)
(17´) /> (37) (17) />(37´)
(18) /> (18´) />(38´)
(19)/>(33) (19´) />(33´)
3. (16) />(39´´) 4. (16´) />(39´´´)
(17´) /> (37) (17) />(37´)
(18) />(38´´) (18´) />(38´´´)
(19´) />(33´) (19)/>(33)
*********
Рассмотрим еще 10 случаев.
5. с = С 6. с = — С 7. c = C 8. c = — C
b = — B b = B b = — Bb = B
n= — N n = N n = — Nn = N
/>/>/>/>
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С
b = B b = -B b = B b = -B
n =- N n = N n = N n =- N
/>/>/>/>
13. с = С 14. с = -С
b = B b =- B
n =- N n = N
/>/>
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
/>(16)
/>(17´)
/>(18´)
/>(19).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:
/>/>/>=> />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Выразим из (25) и (26) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию /> должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19) с учетом (29) выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность />:
/>
т.к. />, т.е. />(36´).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
/>где />.
Т.к. b + c =2n, то b-2n = b — (b + c) = — c = -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34), получим /> => />(38´).
Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b(из (35)):
/>, т.е./> (41).
Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:
/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями(16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.
/>(40´),/> (38),
/>(41´), />(33´), где />— взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай7
/>(16)
/>(17´)
/>(18´)
/>(19´)
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность />:
/>/>/>=> />(26´).
Выразим из (25) и (26´) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>(30´), />(31´), а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19´), с учетом (29), выразим />:
/>, т.е. />(33´).    продолжение
--PAGE_BREAK--
Т.о., />, />, т.е.
/>(34´),
/>(35´),
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность />:
/>
т.к. />, т.е. />(36´).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
/>где />.
Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34´), получим /> => />(38´´´).
Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b(из (35´)):
/>, т.е. /> (41´´).
Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:
/>(40),/>(38´´´),
/>(41´´), />(33´), где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.
/>(40´),/>(38´´),
/>/>, /> (33), где /> — взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)/>, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:
а) />; />; />; />;
б) />; />; />; />.
А это в свою очередь означает, что и уравнение />при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметьцелые решения либо при />, либо при />.
Случай 9
/>(16)
/>(17)
/>(18´)
/>(19)
Из (16) и (17) имеем:
/>/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:
/>/>/>=> />.
Следовательно,
/>=/>=> 2t= 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*********
Случай 10
/>(16´)
/>(17´)
/>(18)
/>(19´),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Действительно, из (16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:
/>/>— />=> />.
Следовательно, -/>=-/>=> 2t= 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16´) и (17´) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Случай 11
/>(16)
/>(17)
/>(18)
/>(19´)
Из (16) и (17) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:
/>/>— />=> />.
Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
Случай 12
/>(16´)
/>(17´)
/>(18´)
/>(19),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.
Действительно, из (16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:
/>/>/>=> />.
Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
*******
Случай 13
/>(16)
/>(17)
/>(18´)
/>(19´)
Из (16) и (17) имеем:
/>/>
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:
/>/>— />=> />.
Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
Случай 14
/>(16´)
/>(17´)
/>(18)
/>(19),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Действительно, из (16´) и (17´) имеем:
/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:
/>/>/>=> />.
Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
***********
Вывод.
1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2(продолжение).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтомуси bмогут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство нами было названо «новым свойством />».
В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва«Новых» случая «+» и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 1: с= С, b= -В, n= N, />K)
с= — В (16-B),
b= С (17+C),
n= N(18),
/>K(19) — это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.
/>(40´),/>(38´´),
/>/>, /> (33),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Доказательство
Сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:
/>/>/>=> />.
Выразим из (25) и (26) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию /> должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (8) />, то /> => />.
Из (19) с учетом (29) выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с/>:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с:
/>,
т.к. из (29) вытекает />.
Итак, />.
Учитывая (34), получим /> => />.
Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
/>, т.е. />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):
/>/>
/>/>, где />— взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с= — В (16-B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb.
«Общие свойства длясиb»:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К/>
Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В= 2К.
Отсюда получаем квадратное уравнение
/>— 2К/>+ С В =0 => X1,2 = К/>/>,
где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1= -b= К +/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В =>b= В,
где на основании />/> и Х1 = — b= -/>
Х2= с= К-/>= />-/>= />-/>= />— />= -С => с= — С,
где на основании (40´) />и Х2 = />Таким образом, мы получили случай 8:
Случай 8
с= — С (16´),
b= В (17),
n= N(18),
/>K(19),
где
/>/>
/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1=с, а Х2 = -b. Тогда получим:
Х1=с= К+/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В =>с = -В,
где на основании (40´) />и Х1 = с = -1.
Х2 = -b= К-/>= />-/>= />-/>= />— />= -С => — b= -С => b= С,
где на основании />/> и Х2= -/>
Таким образом, мы получили случай 15:
Случай 15    продолжение
--PAGE_BREAK--
с= -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N(18),
/>K(19),
где
/>/>
/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение />— 2К/>+ С В =0, дает одинаковые решения X1,2 = К/>/>(X1(2) =-/>Х2(1)= -1)идля Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
/>/>
/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для сиb» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у сиb и отличающиеся друг от друга у нихвыражениями (Си В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью сиb, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для сиb» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для сиb» (сb= const´/>, с – b= const´´, с – b= const´´´), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 2:с= — С, b= В, n= -N, />-K)
Случай 16. Случай 7.
с= В с= С
b= -Сb= -В
n= -Nn= -N
/>-K/>-K
Окончательные решения в случае 7:
/>(40),/>(38´´´),
/>(41´), />(33´),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С+В = const´´,с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>(40),/>(38´´´),
/>(41´), />(33´),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством />» от случая 3:с= С, b= -В, n= N, />-K)
Случай 17. Случай 6.
с= — В (16-B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае 6:
/>(40´),/> (38),
/>(41´), />(33´),     продолжение
--PAGE_BREAK--
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>(40´),/> (38),
/>(41´), />(33´),
где />— взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 4:с= — С, b= В, n=- N, />K)
Случай 18. Случай 5.
с= В (16+B), с= С (16),
b=- С (17-C), b= -В (17´),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>K(19), />K(19).
Окончательные решения в случае 5:
/>(40),/>(38´),
/>(41), />,
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>(41), />,
где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 5:с= С, b=- В, n=- N, />K)
Случай 19. Случай 4.
с= — В (16-B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>K(19), />K(19)
Окончательные решения в случае 4:
/>(39´´´),/>(38´´´),
/>(37´), />(33),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>(39´´´),/>(38´´´),
/>(37´), />(33),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 6:с= — С, b= В, n= N, />-K)
Случай 20. Случай 3.
с= В (16+B), с= С (16),
b= -С (17-C), b= -В (17´),    продолжение
--PAGE_BREAK--
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае 3:
/>(39´´),/>(38´´),
/>, />(33´),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>(39´´),/>(38´´), где />— взаимно простые нечетные
/>, />(33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 7:с= С, b= -В, n= -N, />-K)
Случай 21. Случай 2.
с= -В (16-B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= В (17),
n=- N(18´),n= -N(18´),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательные решения в случае 2:
/>, />
/>, />
где /> — взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= — С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>, />,
/>, />,
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
*********
«Новый» случай 22
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 8:с= -С, b= В, n= N, />K)
Случай 22. Случай 1.
с= В (16+B), с= С (16),
b= -С (17-C), b=- В (17´),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19)
Окончательные решения в случае 1:
/>, />,
/>, />
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
/>, />,
/>, />,
где />— взаимно простые нечетные целые числа.    продолжение
--PAGE_BREAK--
**********
Вывод
Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 9:с= С, b= В, n= -N, />K)
Случай 23. Случай 12.
с= В (16+B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= — В (17´),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>K(19), />K(19)
Окончательный вывод в случае 12: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 10:с= -С, b= -В, n= N, />-K)
Случай 24. Случай 11.
с= -В (16-B), с= С (16),
b=-С (17-C), b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае 11: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством />» от случая 11:с= С, b= В, n= N, />-K)
Случай 25. Случай 10.
с= В (16+B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= — В (17´),
n= N(18),n= N(18),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае 10: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 12:с= — С, b=- В, n= -N,/>K)
Случай 26. Случай 9.
с= — В (16-B), с= С (16),    продолжение
--PAGE_BREAK--
b= — С (17-C), b= В (17),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>K(19), />K(19).
Окончательный вывод в случае 9:cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 13:с= С, b= В, n= -N,/>-K)
Случай 27. Случай «-».
с= В (16+B), с= — С (16´),
b= С (17+C), b= — В (17´),
n= — N(18´),n= — N(18´),
/>-K(19´), />-K(19´).
Окончательный вывод в случае «-»: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb» ( сb= СВ = const´, с – b= — С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством />» от случая 14:с= -С, b= -В, n= N,/>K)
Случай 28. Случай «+».
с= — В (16-B), с= С (16),
b= — С (17-C), b= В (17),
n= N(18),n= N(18),
/>K(19), />K(19).
Окончательный вывод в случае «+»: cиb– четные,чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
Вывод
1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.
*********
Итак, уравнение (15) />, если cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение(после анализа всехполученных решений) только в следующих целых числах:
а) />; />; />; />;
б) />; />; />; />.
А это в свою очередь означает, что и рассматриваемоеуравнение />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) может иметь целые решения либо при />, либо при />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
************
Вывод:2-я часть «Утверждения 1» доказана.
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод1. Уравнение (1) />(/>,/>— натуральные числа, />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо />, либо />.
*******
В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.
Пример
Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение /> (42), где /> — натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c.(Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. />=/>= с + b— число четное при q= 2 и bи cнечетных целых числах).
При />«Исключением» являются />, или />.
(При />«Исключением» являются, например, />или />,при которых а = 2 ивыполняется тождество/>(этот случай рассматривать не будем).
Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 — b2 (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:
a = α2 – δ2 — четное число при α и δ – нечетных или четных.
c = α3 + 3αδ2 — четное число при α и δ – нечетных или четных.
b = 3α2δ + δ3 — четное число при α и δ – нечетных или четных.
(Такой же результат получается(a, c, b– четные числа) для любого уравнения
/>(42), где/>— натуральное.)
Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 — b2.
«Исключением» являются следующие его решения:
1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и />= ±3);
2. b = />3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и />= />3),
при которых получаем соответственно тождества:
1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2
2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2
**********
Примечание.
Великая теорема Ферма для /> доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».
Для степени p = 2 в уравнении />такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.
Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя/> простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при /> простом. Имея дело с уравнением (44) />, где/> простое, a, b, c — целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.
«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. — С. 13).
Вывод: Великая теорема Ферма для степени/>простом доказана.
********
Утверждение 2,
частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q= 4
Часть 1
Уравнение />(/>— четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Часть 2
Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая(Утверждения 2)
Уравнение />(/>— четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2)не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.     продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство
Итак, имеем уравнение />(1), где />— четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует: />=> />(2).
Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β– нечетное число при cи b— нечетных.
*********
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетные числа b иc в виде:
b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1,
где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда
b2+ c2 = (2n1+ 1)2+ (2n2+ 1)2= 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):
/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.
/>(5),
где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа (при />– целое числоk— четное число, т.к. />пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k– четное число при/>).
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
/>=> /> => />
Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из (4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном.
*********
Вывод:
Из соотношения (4) имеем:
(9) />— нечетное число.
Из соотношения (5) имеем:
(10) />пропорционально 2 (явно), т.е. />— четное число.
Этодополнительная информацияо свойствах предполагаемых взаимно простых числах />, которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
/>,
/>/>т.е. /> (11),
где /> — целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для />), могут быть выражены через другие целые числа /> следующим образом:
(12) /> — нечетное число при />— нечетном;
(13) /> — нечетное число при /> — нечетном;
(14) /> — нечетное число при />— нечетном;
(15) />— четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t=0 иr=0 (при t=0 /> и /> — четные из (12) и (13), при r=0 />= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .
*******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.
********
Условие1 (начало)
с2 = С
b2 = B
/>= N
/>
Случай «+».    продолжение
--PAGE_BREAK--
(12+) /> — нечетное число при />— нечетном;
(13+) /> — нечетное число при /> — нечетном;
(14+) /> — нечетное число при />— нечетном;
(15+) />— четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел />в (12+),…, (15+) совпадают при />— нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
/>,
т.е. />=> (/>) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
/>!
Т.е., вопреки «Выводу», />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при />— четном.
Однако, если /> — четное, то /> (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) /> и (1) /> числа /> — четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) />в данном Условии 1 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах, где />— четное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В
b2 = С
/>= N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2/>=±В
(13´±) b2/>=±С
(14±) />=±N
(15±) />=±К.
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.
Однако, если />— четное, то />(в ((12´±)и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Уравнение (11/>) симметрично и для />и для /> (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством />и />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых />и /> меняютсясвоими выражениями (NиК)).
Условие 3.
с2 = С    продолжение
--PAGE_BREAK--
b2 = B
/>= К
/>
« Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c2= ± (/>) = ± С
(13±) b2 = ± (/>) = ± В
(14´±) />= /> = ±К
(15´±) />/>= ±N
Согласно одному из Выводов (формула (10) />пропорционально 2 (явно), при />. Но это возможно, глядя на четное (15´±) />=±N= ±(/>) только при t — четном, при которых в (12±) и (13±) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение (стр.10), подобное для />при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) />(1), где />— четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения 2»(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения 2)
Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c— четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
/>(12)
/>(13′)
/>(14)
/>(15) ,
которые также являются решениями уравнения (11)
/>.
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:
/>/>/>=> />.
Выразим из (17) и (16) />:
/>=> />
/>=> />.
По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> => />.
Из (15) с учетом (20) выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
/>    продолжение
--PAGE_BREAK--
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:
/>т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>(20′).
Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
/>=> />.
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
/>, />,
/>(28), />,
где />— взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
/>(30´),=> c=/>(30´),/>(29´)
/>(28´),=> b= />1 (28´),/>(24´), где
/>— взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
/>(12)
/>(13′)
/>(14)
/>(15′) ,
которые также являются решениями уравнения
/>(11).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:
/>/>-/>=> />.
Выразим из (31) и (16) />:
/>=> /> (32)
/>=> />(33).
По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>(34), />(35), а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и />.
Из (15´) с учетом (20) выразим />:
/>, т.е. />(24´).
Т.о., />, />,
где/>, т.е.
/>,
/>,
выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:     продолжение
--PAGE_BREAK--
/>, т.к. из (20) получается
/>.
Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим /> => />(29´´).
Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
/>, т.е. />(30´´).
Таким образом, уравнение />(11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
/>(30´´),/>,
/>(28), />(24´),
где />— взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
/>(30´´´),=>/>(30´´´), />(29´´´),/>(28´), =>b= />(28´), />(24),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К.
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) />2. (12´) />(30´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14) /> (29) (14´) />(29´)
(15)/>(24) (15´)/>(24´)
3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)
(15´)/>(24´) (15) />(24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C
b2 = — Bb2 = Bb2 = — Bb2 = B
/>= — N/>= N/>= — N />= N
/>/>/>/>
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
/>(12),
/>(13´),
/>(14´),
/>(15), которые также являются решениями уравнения
/>(11)
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):     продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
/>(32) => b/>(32), />(24)
/>(31) => с= />(31),/>(29´),
где />взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.
/>(31´),/> (29),
/>(32´), />(24´), где />— взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
/>(12),
/>(13´),
/>(14´),
/>(15´), которые также являются решениями уравнения
/>(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/>(40),/>(38´´´),
/>(41´´), />(33´),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
/>(31) => с= />(31),/>(29´´´),
/>(32´)=> b/>(32´´), />(24´),
где />— взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´),т.е.
/>(31´),/>(29´´),
/>/>, /> (24), где />— взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) />; b/>; />; />;
б) />; />; />; />.
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):
1. (16) />2. (16´) />(39´)
(17´) /> (37) (17) />(37´)
(18) /> (18´) />(38´)
(19)/>(33) (19´) />(33´)
3. (16) />(39´´) 4. (16´) />(39´´´)    продолжение
--PAGE_BREAK--
(17´) /> (37) (17) />(37´)
(18) />(38´´) (18´) />(38´´´)
(19´) />(33´) (19)/>(33).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) />2. (12´) />(30´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14) /> (29) (14´) />(29´)
(15)/>(24) (15´)/>(24´)
3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)
(15´)/>(24´) (15) />(24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) cи bв верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) />(1), где />— четное натуральное число, т.е. либо />, либо />.
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. — С. 13), что для четных степеней уравнения />(где/>, q=2 q/>) — показатели четные при /> ≠ 0 и q/> ≠ 0 — натуральных, в уравнении/>целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
|/>| > 2, | />| > 2, | c/>| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4b/> и c/> => в уравнении />(1) при/>— четном числе b/> и c/>,
т.е. случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1)ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод:2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) />, где />≥2 — четноене имеет решений в попарно простых целых числах a, b, иcтаких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, гдеm= 2, распространяется и на показатель степени q=2mприm>2 – натуральном.
Если уравнение al+ b4 = c4, где/>≥2 — четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, иc, то и уравнениеa4+ b4 = c4не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
Вывод :Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.
3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, cв уравнении al+ b4 = c4(/>≥2 — четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.    продолжение
--PAGE_BREAK--
На основанииВыводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение />(/>≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b= ± 1, либо c= ± 1.
*********
Часть первая(Утверждения 3)
Уравнение />(/>≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение />(1), где />≥ 3– нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
/>=> />(2).
Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β– нечетное число при си b– нечетных.
******
Примечание
То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).
Представим нечетные числа b иc в виде:
b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1, где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда
b2+ c2 = (2n1+ 1)2+ (2n2+ 1)2= 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):
/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.
/>(5),
где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
/>=> /> => />
Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из (4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном, т.к./>≥ 3 – нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) />— нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) />пропорционально 2 (явно), т.е. />— четное число.
Этодополнительная информацияо свойствах предполагаемых взаимно простых числах />, которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
/>/>/>,
т.е. /> (11),
где /> — целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для />), могут быть выражены через другие целые числа /> следующим образом:
(12) /> — нечетное число при />— нечетном;
(13) /> — нечетное число при /> — нечетном;    продолжение
--PAGE_BREAK--
(14) /> — нечетное число при />— нечетном;
(15) />— четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t=0 иr=0 (при t=0 /> и /> — четные из (12) и (13), при r=0 />= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).
Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К ,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
/>= N
/>
Случай «+».
(12+) /> — нечетное число при />— нечетном;
(13+) /> — нечетное число при /> — нечетном;
(14+) /> — нечетное число при />— нечетном;
(15+) />— четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел />в (12+), …, (15+) совпадают при />-нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа />.
Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
/>,
т.е. />=> (/>) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
/>!
Т.е., вопреки «Выводу», />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при />-четном.
Однако, если /> — четное, то /> (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) /> и (1) /> числа /> — четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) />в данном Условии 1(начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах, где />— нечетное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало).
с2 = В
b2 = С
/>= N
/>
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2/>=±В
(13´±) b2/>=±С
(14±) />=±N
(15±) />=±К.
И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и«-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.
Однако, если />— четное, то />(в ((12´±)и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.     продолжение
--PAGE_BREAK--
Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Уравнение (11) симметрично и для />и для /> (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством />и />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых />и /> меняютсясвоими выражениями (NиК)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
/>= К
/>
«Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c2= ± (/>) = ± С
(13±) b2 = ± (/>) = ± В
(14´±) />= /> = ±К
(15´±) />/>= ±N.
Согласно одному из Выводов (формула (10) />пропорционально 2 (явно), при />. Но это возможно, глядя на четное(15´±) />=±N= ±(/>) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) cиb– четные,чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение (стр.10),подобное для />проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.
********
Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3уравнение (1) />(1), где />≥ 3– нечетноенатуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения3»(для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения3)
Возможны случаи: либо />, либо />.
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c– четные, чего не должно быть, либоb и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно толькочасть Условия 1.
Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.
Случай 1.
/>(12)
/>(13′)
/>(14)
/>(15), которые также являются решениями уравнения
(11) />.
Тогда сумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:
/>/>/>=> />.
Выразим из (17) и (16) />:
/>=> />    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>=> />.
По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., /> имеют вид:
/>, />, а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> => />.
Из (15) с учетом (20) выразим />:
/>, т.е. />.
Т.о., />, />, т.е.
/>
/>,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:
/>т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>(20′).
Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим /> => />.
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
/>, т.е. />.
Таким образом, уравнение /> (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
/>, />,
/>(28), />,
где />— взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
/>(30´),=> c=/>(30´),/>(29´)
/>(28´),=> b= />1 (28´),/>(24´), где
/>— взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Случай 3.
/>(12)
/>(13′)
/>(14)
/>(15′), которые также являются решениями уравнения
/>(11).
Тогдасумма />имеет вид:
/>
Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:
/>/>-/>=> />.
Выразим из (31) и (16) />:
/>=> /> (32)
/>=> />(33)
По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.
Т.о., />имеют вид:
/>(34), />(35), а их сумма />.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и />.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Из (15´) с учетом (20) выразим />:
/>, т.е. />(24´).
Т.о. />, />, где/>, т.е.
/>,
/>,
выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
/>
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:
/>
т.к. />, т.е. />.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
/>, т.к. из (20) получается
/>.
Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим /> => />(29´´).
Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
/>, т.е. />(30´´).
Таким образом, уравнение />(11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
/>(30´´),/>,
/>(28), />(24´),
где />— взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
/>(30´´´),=>/>(30´´´), />(29´´´),/>(28´), =>b= />(28´), />(24), где
/>— взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
/>= С
/>= В
/>= N
/>= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) />2. (12´) />(30´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14) /> (29) (14´) />(29´)
(15)/>(24) (15´)/>(24´)
3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)
(15´)/>(24´) (15) />(24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C
b2 = — Bb2 = Bb2 = — Bb2 = B     продолжение
--PAGE_BREAK--
/>= — N/>= N/>= — N />= N
/>/>/>/>
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
/>(12),
/>(13´),
/>(14´),
/>(15), которые также являются решениями уравнения
/>(11).
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
/>(32) => b/>(32), />(24)
/>(31) => с= />(31),/>(29´),
где />— взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.
/>(31´),/> (29),
/>(32´), />(24´),
где />— взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
/>(12),
/>(13´),
/>(14´),
/>(15´), которые также являются решениями уравнения
/>(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):
/>(40),/>(38´´´),
/>(41´´), />(33´),
где /> — взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
/>(31) => с= />(31),/>(29´´´),
/>(32´´)=> b/>(32´´), />(24´), где />—
взаимно простые целые нечетные числа.
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´),т.е.
/>(31´),/>(29´´),
/>/>, /> (24),
где />— взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:
а) />; b/>; />; />;    продолжение
--PAGE_BREAK--
б) />; />; />; />.
**********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) />; b/>; />; />;
б) />; />; />; />.
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) />2. (12´) />(30´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14) /> (29) (14´) />(29´)
(15)/>(24) (15´)/>(24´)
3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)
(15´)/>(24´) (15) />(24).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):
1. (12) />2. (12´) />(30´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14) /> (29) (14´) />(29´)
(15)/>(24) (15´)/>(24´)
3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)
(13´) /> (28) (13) />(28´)
(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)
(15´)/>(24´) (15) />(24).
Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) />(1), где />— нечетное натуральное число, т.е. либо />, либо />, которые таковыми и являются.
*******
Вывод:2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследования уравнения (1), мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) />(/>≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо />, либо />.
2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.     продолжение
--PAGE_BREAK--
*******
Примечание
Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4при />≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m= 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m, где m> 2 – натуральном.
**********
На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».
ОБЩИЙ ВЫВОД
1. Уравнение />(/>,/>— натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел />, />и />можетбыть либо />, либо />.
Таким образом, «Общее утверждение»доказано.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23.
2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 — С. 13.
Май 2009 г., Скворцов А.П.
Уважаемые любители математики и специалисты!
Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.
Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.
Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.
Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.
Работы по математике:
Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.
Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.
Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
4. Решение уравнения />в целых числах при />— натуральном.
5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1+ р2= р3, где произведение р1р2р3 = R3,R – рациональное число (или рациональная функция), р1, р2и р3могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы
/>р1+р2+р3=р4
р1р2р3р4= />,
где k может принимать значения k= 1; 2; 3; 4, и р1, р2, р3и р4могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru
Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,
м/р-н Геолог, д.18, кв.11
тел.: 8 (38 254) 5 79 59.
С уважением, А.П. Скворцов.