Дипломна робота
Дослідження двовимірної квадратичноїстаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Зміст
Введення
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системиіз приватним інтегралом у вигляді параболи
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системиіз приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1)двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданимиформулами (1.28) — (1.31)
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданимиформулами (1.41) — (1.42)
2.3 Дослідження системи (1.1) зкоефіцієнтами, заданими формулами (1.52) — (1.53)
Висновок
Список джерел
Додатки
Реферат
Дипломна робота ____ сторінок, 11 джерел.
Ключові слова й словосполучення: квадратична двовимірнастаціонарна система, приватний інтеграл, парабола, гіпербола, окружність, крапка,характеристичне рівняння, характеристичне число, вузол, сідло, фокус.
Дана робота містить результати досліджень автора,що ставляться до якісного дослідження в цілому двовимірної квадратичної стаціонарноїсистеми.
Основним інструментом досліджень є поняття приватногоінтеграла.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичнихдвовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтеграліввиражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собоютрьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідженняв цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деякихпараметрів.
Введення
Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурахінтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У зв'язку із цим з'явиласянеобхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивостірішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної,і є якісна теорія диференціальних рівнянь.
Уперше задача якісного дослідження для найпростішоговипадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставленаА. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном[3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].
/> (0.1)
Однієї із задач якісної теорії диференціальнихрівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площинів цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) — аналітичні функції. Інтерес до вивченняцієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичнимзастосуванням у різних областях фізики й техніки.
/> (0.2)
Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалисяв припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшостіз них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 — 670], у якій він дав спосіб побудовисистем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданоговиду.
Знання одного приватного алгебраїчного інтеграласистеми (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводженняінтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1),у яких P (x,y) і Q (x,y) — поліноми другого ступеня.
Н.Н. Баутиним [1, с.181 — 196] і Н.Н. Серебряковою[8, с.160 — 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1),що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 — 735] Л.А. Черкасомтаке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтегралау вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 — 1760] і ФилипцовВ.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтеграломбули алгебраїчні криві четвертого порядку.
У даній роботі розглядається система
/> (0.3)
і проводиться якісне дослідження в цілому системи(0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадаєтьсяна дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичнихдвовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтеграліввиражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собоютрьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідженняв цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деякихпараметрів.
/>/>/>/>/>/>1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем/>/>/>/>/>/>1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралому вигляді параболи
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
/> (1.1)
Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
/>, (1.2)
де Fk (x,y) — однорідні поліноми від x і y ступеняk.
Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:
F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола непроходить через початок координат.
Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи(1.1) має місце співвідношення:
/>/>/>, (1.4)
де L (x,y) = px+my+n, p, m, n — постійні.
Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:
(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)= (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xmyn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:
(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2(1c1= 0 (1.53)
(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)
2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)
(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)
(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)
Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52),(1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)
Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемовираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступномувиді:
a1/>,(1.9)
a2/>,(1.10)
a3. /> (1.11)
Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень(1.9) — (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
/> (1.12)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл(1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) — (1.11), за умови, що коефіцієнтисистеми зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.
/>/>/>/>/> 1.2 Побудоваквадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у виглядіокружності або гіперболи
Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3)має інтеграл у вигляді:
y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
/> (1.14)
Відповідно до формули (1.4), де L
(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 — постійні для системи(1.1), маємо:
(2a1-m1) (2= 0 (1.151)
(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)
m1= 4b2 (1.153)
n1=8b1 (1.154)
(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)
2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)
(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)
(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)
b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)
p1 (= 0 (1.173)
Припустимо, що крива не проходить через початоккоординат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і(1.173) одержуємо, що
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемовираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступномувиді:
/> (1.19), /> (1.20)
/> (1.21), /> (1.22)
Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності(1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2,b1, b2:
/> (1.23)
/> (1.24)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл(1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) — (1.22), за умови, що коефіцієнтисистеми зв'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2./>/>/>/>/>/>1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів(1.3), (1.13)
У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1)буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнтисистеми зв'язані співвідношеннями:
/>
/> (1.25)
/>
Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.
Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25),одержимо
/> (1.26)
Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи(1.25).
Одержимо два співвідношення, що зв'язують параметриa, b, d, a2, b1, b2:
/>.
Нехай />і
/> (1.27)
З першого рівняння системи (1.27) одержимо
/>
Підставляючи />в друге рівняння системи (1.27), знайдемо
/>.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо,що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
/> (1.28)
/> (1.29)
/> (1.30)
/>, />, />, />, /> (1.31)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови,що мають місце формули (1.28) — (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтівінтегралів (1.3) і (1.13):
a1/>(1.32)
a2/>(1.33)
a3/>(1.34)
s/>(1.35)
b/>(1.36)
g/>(1.37)
d/>(1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграливиду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) — (1.38), за умови,що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) — (1.31).
Нехай
/> (1.39)
З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
/>, />.
Підставляючи /> в друге рівняння системи (1.39), одержиморівність:
/> (1.40)
Оскільки />, те розглянемо два випадки: />, тоді />.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40)одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
/>, />, /> (1.41)
/>, />, />, />, /> (1.42)
Рівності (1.9) — (1.11), (1.19) — (1.22) за умови,що мають місце формули (1.41) — (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтівінтегралів (1.3) і (1.13):
a1/>(1.43),a2/>(1.44)
a3/>(1.45), s/>(1.46)
(=0 (1.47)
g/>(1.48),
d/>(1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграливиду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) — (1.49), за умови,що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) — (1.42).
б) /> (1.50),/>(1.51)
З (1.50) знайдемо />:
/>
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50)- (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
/>, /> - будь-яке число, /> (1.52)
/>, />, />, />/>, /> (1.53)
Рівності (1.9) — (1.11) і (1.19) — (1.22) за умови,що мають місце формули (1.52) — (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтівінтегралів (1.3) і (1.13):
(1=0 (1.54), a2/>(1.55)
a/>/>(1.56)
s/>(1.57)
b/>(1.58)
g/>(1.59)
d/>(1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграливиду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) — (1.60), за умови,що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) — (1.53).
/>/>/>/>/>/>2. Якісне дослідження побудованих класів систем/>/>/>/>/>/>2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) — (1.31)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні,що />, />, />.
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якоївизначаються відповідно до формул (1.28) — (1.31), тоді система (1.1) запишетьсяу вигляді:
/> (2.1)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
/> (2.2)
/> (2.3)
Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявшиправі частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння длявизначення абсцис станів рівноваги:
/> (2.4)
З (2.4) одержуємо, що
/>, />, />, />.
Ординати крапок спокою мають вигляд:
/>, />, />, />.
Отже, маємо крапки
/>, />, />, />.
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станіврівноваги />,/>, />, />.
Досліджуємо крапку />.
Складемо характеристичне рівняння в крапці />.
/>
Звідси
/>, /> (2.5)
/>, />
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
/>=/>=0.
/>,
Або
/>.
Характеристичними числами для крапки/>системи (2.1) будуть
/>.
Коріння /> - дійсні, різних знаків не залежновід параметра d. Отже, крапка /> - сідло.
Досліджуємо крапку
/>.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
/>.
Згідно
рівностям (2.5) характеристичне рівняння приймевид:
/>
/>,
Або
/>.
Характеристичними числами для крапки /> системи (2.1) будуть
/>,
тобто
/>, />.
Коріння /> - дійсні й одного знака, що залежатьвід параметра d. Якщо d (0, то крапка /> - нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка/> - стійкийвузол. Досліджуємо крапку />.
Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичнерівняння в крапці
/>:
/>
/>
Характеристичними числами для крапки
/>
системи (2.1) будуть />, тобто />, />. Коріння /> - дійсні й одного знака,що залежать від параметра d. Якщо d - стійкий вузол, якщо d>0, то крапка /> - нестійкий вузол.
Досліджуємо крапку
/>.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
/>.
Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:
/>
/>,
Або
/>
Характеристичними числами для крапки
/>
системи (2.1) будуть
/>,
тобто
/>, />.
Коріння /> - дійсні й різні знаки не залежновід параметра d. Виходить, крапка /> - сідло.
Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площининаприкінці осі oy. Перетворення
/> [7]
переводить систему (2.1) у систему:
/> (2.6)
де />.
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осіy, нам необхідно досліджувати тільки крапку />. Складемо характеристичне рівнянняв крапці/>.
/>Одержимо, що
/> />
Коріння /> - дійсні й одного знака. Отже, крапка/> - стійкийвузол.
Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площинипоза кінцями осі oy перетворенням [7] /> Це перетворення систему (2.1) переводитьу систему:
/> (2.7)
де />.
Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U,тобто при z=0. Маємо:
/>
/>
Одержуємо, що />. Отже, станів рівноваги поза кінцямиосі oy немає.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1)у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1. d
/>
/>
/>
/> ∞ x=0 (-∞; 0) сідло невуст. вузол вуст. вузол сідло вуст. вузол (0; +∞) сідло вуст. вузол невуст. вузол сідло вуст. вузол
Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодоїхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).
Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташуваннящодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів,тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другогоступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташуваннястанів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1),характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів,що оточують кілька станів рівноваги.
/>
а (d (0)
/>
б (d (0)
Мал.1
/>/>/>/>/>/>2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) — (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні,що
/> /> />
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якоївизначаються формулами (1.41) — (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
/> (2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
/> (2.9)
/> (2.10)
Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюєтьсяу дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Дляцього дорівняємо праві частини системи нулю
/>
Розглянемо два випадки:
/>
Одержуємо:
/>
/>
/>
З першого рівняння знайдемо y:
/>
і підставляючи y у друге рівняння одержимо:
/>
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
/>.
Отже, одержуємо
/>, />
/>, />
Отже, одержуємо крапки
/>, />, />, />
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицяхстанів рівноваги />
Досліджуємо крапку />.
Складемо характеристичне рівняння в крапці />.
/>
Звідси
/>
/> (2.11)
/>
/>
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
/>
Характеристичними числамидля крапки /> системи(2.8) будуть />, />. Коріння /> - дійсні й різні знаки не залежновід параметра d, значить крапка /> - сідло. Досліджуємо крапку />. Згідно (2.11)складемо характеристичне рівняння в крапці />:
/>
Характеристичними числами для крапки /> системи (2.8) будуть/>, />.
Коріння /> - дійсні й одного знака, що залежатьвід параметра d. Якщо d - нестійкий вузол, а якщо d>0, то крапка /> - стійкий вузол.
3. Досліджуємо поводження траєкторій в околицікрапки />.
Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
/>.
Характеристичними числами для крапки /> системи (2.8) будуть
/>, />
Коріння /> - дійсні й одного знака, що залежатьвід параметра d. Якщо d — стійкий вузол, якщо d>0, то крапка /> - нестійкий вузол.
4. Досліджуємо поводження траєкторій в околицікрапки />.
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
/>
/>
Характеристичними числамидля крапки /> системи(2.8) будуть />, />. Коріння /> - дійсні й різні знаки не залежновід параметра d, отже /> - сідло. Досліджуємо нескінченно- вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] /> переводить систему(2.8) у систему:
/> (2.12)
де />.
Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі U,тобто при z=0. Одержуємо:
/>
/>
Отже />.
Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2(0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в крапці N1(0,-1).
/>
/>
/> (2.13), />. Маємо:
/>
/>, />.
Коріння /> - дійсні й різні за знаком, отже крапкаN1 (0,-1) — сідло.
Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемохарактеристичне рівняння:
/>
/>, />.
Коріння /> - дійсні й одного знака, значить крапкаN2 (0,1) — стійкий вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення[7] />. Це перетворенняпереводить систему (2.8) у систему:
/> (2.14)
де />.
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осіy, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівнянняв крапці N3 (0,0):
/>, />
Коріння /> - дійсні й одного знака, значить крапкаN3 (0,0) — нестійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1)у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2. d
/>
/>
/>
/> ∞ N1 N2 N3 (-∞; 0) сідло невуст. вузол вуст. вузол сідло сідло вуст. вузол невуст. вузол (0; +∞) сідло вуст. вузол невуст. вузол сідло сідло вуст. вузол невуст. вузол
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодоїхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає,тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не можеоточувати вузол.
/>
а (d0)
Мал.2
/>/>/>/>/> 2.3 Дослідженнясистеми (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) — (1.53)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні,що />, /> /> />. Нехай ми маємо систему(1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) — (1.53). Тоді система (1.1)буде мати вигляд:
/> (2.15)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
/> (2.16)
/> (2.17)
Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюютьсяв прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однієї із прямих інтегральнійкривій (2.17).
Знайдемо стани рівноваги системи (2.15). Дорівнявшиправі частини системи нулю, і виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння длявизначення абсцис станів рівноваги:
/> (2.18)
З (2.18) одержуємо, що
/>, />, />.
Ординати крапок спокою мають вигляд:
/>, />, />.
Отже, маємо крапки
/>, />, />.
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станіврівноваги />.
Досліджуємо стан рівноваги в крапці />.
Складемо характеристичне рівняння.
/>
Звідси
/>
/> (2.19)
/>
/>
Отже, характеристичне рівняння прийме вид
/>
Маємо
/>,
Або
/>.
Характеристичними числами для крапки /> для системи (2.15)будуть
/>.
Коріння /> - комплексні й залежать від параметраd. Виходить, якщо d - стійкий фокус, якщо d>0, то крапка /> - нестійкий фокус.Досліджуємо крапку
/>.
Згідно (2.19) складемо характеристичне рівнянняв крапці
/>.
Маємо
/>.
/>
Характеристичними числами для крапки /> системи (2.15)будуть />, />. Коріння /> - дійсні й різнізнаки не залежно від параметра d. Отже, крапка /> - сідло.
3. Досліджуємо крапку />.
По (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці/>.
Одержимо
/>
/>.
Вирішуючи рівняння, одержимо
/>,
тобто
/>, />
Коріння /> - дійсні й одного знака, що залежатьвід параметра d. Якщо d — нестійкий вузол, якщо d>0, то крапка /> - стійкий вузол.Досліджуємо нескінченно — вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням[7] /> Це перетвореннясистему (2.15) переводить у систему:
/> (2.20)
де />.
Вивчимо нескінченно — вилучені крапки на осі u,тобто при z=0. Одержуємо
/>
/>
/>
Отже />
Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).
Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).
/>
/>
/> (2.21)
/>.
Отже
/>, />, />
Скористаємося паралельним переносом
/> />
і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо новусистему:
/> (2.22)
Складемо характеристичне рівняння в крапці N2(0,-2)
/>
Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2),будуть />, /> - складний станрівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с.196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) — ізольований стан рівноваги системи:
/> (2.23)
де />,/>є поліноми від x,y починаючи із другогоступеня, /> -рішення рівняння />, а розкладання функції /> має вигляд:
/>
Тоді
1) при m — непарному й />m>0 крапка (0,0) — є топологічнийвузол;
при m — непарному й />m
при m — парному крапка (0,0) є сідло — вузол, тобтотакий стан рівноваги, канонічна околиця якого складається з двох гіперболічних секторів.При цьому:
якщо />m
якщо />m>0, то відрізок негативної півосіOX.
Щоб скористатися теоремою, необхідно систему (2.22)привести до виду:
/>
Це можна зробити, скориставшись одним з наступнихперетворень [2, с. 199-201]:
якщо />, />
якщо />, />, />
якщо />, />, />
де a, b, c, d — коефіцієнти системи (2.23).
Тоді для системи (2.22) візьмемо наступне перетворення:
/>
Одержимо
/> />
Тоді
/> (2.24)
Знайдемо рішення рівняння:
/>
у вигляді ряду по ступенях Z1:
/>
/>/>
/> />, /> />
Отже
/>
Тоді
/>
Підставляючи U1 у систему (2.24) одержимо:
/>
Звідси
/>, />>0.
Отже, по теоремі 2.1 одержуємо, що крапка N2 (0,-2)- сідло — вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення[7] />. Це перетворенняпереводить систему (2.15) у систему:
/> (2.25)
де />.
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осіy, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівнянняв крапці N3 (0,0)
/>
Відповідно характеристичними числами будуть />
Коріння /> - дійсні й одного знака. Отже, крапкаN3 (0,0) — стійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1)у вигляді таблиці 3.
Таблиця 3. d
/>
/>
/> ∞ N1 N2 N3 (-∞; 0) вуст. фокус сідло невуст. вузол сідло сідло-вузол вуст. вузол (0; +∞) невуст. фокус сідло вуст. вузол сідло сідло-вузол вуст. вузол
Положення кривих (2.16), (2.17) і розташуваннящодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.3 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0і d (0 дається мал.6 (а, б) додатка В: Поводження траєкторій системи (2.15).
Питання існування граничних циклів залишаєтьсявідкритим.
/>
а (d (0)
/>
б (d (0)
Мал.3
/>/>/>/>Висновок
У даній дипломній роботі побудована квадратичнадвовимірна стаціонарна система за умови, що приватним інтегралом є крива четвертогопорядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, другаокружність або гіпербола. При цьому коефіцієнти кривих виражаються через довільнийпараметр системи.
Список джерел
1. Баутин Н.Н. Про число граничних циклів, що з'являютьсяпри зміні коефіцієнтів зі стану рівноваги типу фокуса або центра. — К., 1998
2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методи й прийоми якісногодослідження динамічних систем на площині. — К., 2004
3. Бендиксон І. Про криві, обумовлених диференціальнимирівняннями. — К., 2006
4. Биркгоф Дж.Д. Динамічні системи. — К., 2003
5. Воробйов А.П. До питання про цикли навколо особою крапкитипу “вузол". — К., 2002
6. Еругин Н.П. Побудова всього множини систем диференціальнихрівнянь, що мають задану інтегральну криву. — К., 2003
7. Пуанкаре А. Про криві, обумовлених диференціальнимирівняннями. — К., 2004
8. Серебрякова Н.Н. Якісне дослідження однієї системидиференціальних рівнянь теорії коливань. — К., 2005
9. Филипцов В.Ф. До питання алгебраїчних інтегралів однієїсистеми диференціальних рівнянь. — К., 2003
10. Черкас Л.А. Про алгебраїчні рішення рівняння />, де P і Q — багаточленидругого ступеня. — К., 2000
11. Яблонський А.І. Алгебраїчні інтеграли однієї системидиференціальних рівнянь. — К., 2000/>
Додатки
Додаток А
Поводження траєкторій системи (2.1)
/>
а) (d
/>
б) (d>0)
Мал.4
Додаток Б
Поводження траєкторій системи (2.8)
/>
а) (d
/>
б) (d>0)
Мал.5
Додаток В
Поводження траєкторій системи (2.15)
/>
а) (d
/>
б) (d>0)
Мал.6