Муниципальноеобщеобразовательное учреждение
Средняяобщеобразовательная школа № 4
Секция: математика
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
по теме
Доказательства неравенствс помощью одномонотонных последовательностей
ПозолотинаНаталья Андреевна, 9б класс,
МОУСОШ №4 Центрального района.
224-49-85
Руководитель:Тропина Наталья Валерьяновна,
кандидатпедагогических наук,
доценткафедры математического анализа НГПУ.
(Работавыполнена в МОУ СОШ №4)
Новосибирск 2008
Содержание
Введение
1. Основные понятия и определения
2. Обоснование метода одномонотонныхпоследовательностей для случая с произвольным числом переменных
2.1 Доказательство неравенств сминимальным числом переменных
2.2 Случай с двумяпоследовательностями из двух переменных
Упражнения
2.3 Случай с двумяпоследовательностями из трех переменных
Упражнения
2.4 Случай с двумяпоследовательностями из n переменных
Упражнения
2.5 Случай с n последовательностямииз n переменных
Упражнения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В школьном курсематематике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:
- сведение кочевидному с помощью равносильных преобразований;
- графически(исследование свойств и построение графиков функции)
Не существуетуниверсального способа доказательства всех неравенств, и более того, несуществует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любойновый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.
В данном работе мырассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощьюодномонотонных последовательностей.
Работа состоит из 2-хпараграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятсядля работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами иупражнениями.
1. Основные понятия иопределения
В данном параграфе мырассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся длядальнейшей работы.
Определение 1. Множество– это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общемудля них признаку.
Определение 2. Натуральныечисла N – это целые положительные числа 1,2, 3, 4, 5,…
Определение 3. Целыечисла Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:
Z = N /> -N /> {0}
Определение 4.Рациональные числа Q – это числа представимые обычнымидробями в виде />, где m є Z, n є N (иликонечными, или бесконечными периодичными дробными).
Определение 5.Иррациональные числа I –это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями инепредставимые в виде />.
Определение 6.Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.
R=Q /> I
Определения 7.Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величинабольше или меньше другой.
Например: />, />
Известно, что всенеравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:
а) aa
b) a/>b, b/>a/>a=b
c) a/>b />a+c/>b+c
d) a/>0/>-a/>0
Определения 8. Доказатьнеравенство – установить истинность неравенства.
Неравенства бывают разными:с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенствасуществует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: черезодномонотонные последовательности.
Определение 9. Следствие– из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинностивторого неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.
Обозначение: f1(x)>f2(x)/>ц1(x)>ц2(x) – второе неравенство – следствиепервого.
Определение 10. Дванеравенства называются равносильными, если каждое из них является следствиемдругого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаютсяравносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны,совпадают.
Обозначаются равносильныенеравенства: f1(x)>f2(x)/>ц1(x)>ц2(x)
Эти определенияаналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений,можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенствов равносильное ему. Такими действиями могут быть:
– прибавление к обеимчастям неравенства одного слагаемого;
– перенос слагаемого спротивоположным знаком из одной части неравенства в другую;
– умножение обеих частейна положительное число или положительную функцию и т.д.
Следует, однако,производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимыхзначений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.
Определение 11. Методаматематической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательствот самого легкого к самому сложному.
Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимоеот nє N
1) Проверяемправдивость Р(1)
2) Предполагаем, чтоP(k) истинно
3) Доказываемистинность Р(k+1)
4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.
Определение 12. Одномонотонныепоследовательности – это последовательности чисел вида (а1 а2… аn)(b1 b2 … bn) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1а2 … аnнаходитсянад наибольшим числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1а2 … аnнад вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе последовательностиодновременно возрастающие или одновременно убывающие.
Определение 13.Произведение одномонотонных последовательностей (а1, а2,…аn), (b1, b2,…bn), …( d1, d2,…, dn) это число вида
/>= а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn
2. Обоснование методаодномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных
Данный параграф разбит напункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, дляслучая k последовательностей с n числом переменных, с помощью методаматематической индукции.
2.1 Доказательствонеравенств с минимальным числом переменных
а1*b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда
/>= a1b1.
Так как это неравенствоминимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством егопросто невозможно.
2.2Случай с двумя последовательностямииз двух переменных
Если />= a1b1. то />=а1b1+а2b2
Теорема 1. Пусть (а1а2)/>(b1b2) – одномонотонныепоследовательности. Тогда
/>/>/>
Доказательство
Действительно,
/> – />=a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) />(b1-b2)
Таккак последовательности (а1а2)(b1b2)одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2имеют одинаковый знак. Поэтому
(a1-a2)/>(b1-b2) /> 0.
Теорема доказана.
Упражнения
Данные ниже упражнениямы решим с помощью Теоремы 1
Упражнение №1.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство
a3 +b3/> a2b+b2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,что
a3 +b3 =/>, a2b+b2a = />
А так какпоследовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то
/>/>/>
А это значит, что a3 +b3/> a2b+b2a.
Что и требовалосьдоказать.
Докажем это женеравенство, но другим способом.
/>
Значит a3 +b3/> a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Мы не можем сказать какойиз методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба методарешения неравенства примерно одинаковые по сложности.
Упражнение №2.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство.
/>а2+b2.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,что
а2+b2 =/>, />/>,
А так какпоследовательности (/>), (/>) одномонотонны, то
/>/>/>.
Что и требовалосьдоказать.
2.3 Случай с двумяпоследовательностями из трех переменных
Рассмотримпоследовательность (а1, а2, а3) и (b1,b2,b3), и запишем в виде таблицы
/>
Если последовательность(а1, а2, а3)/>(b1, b2 ,b3) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1, а2, а3находиться над наибольшим из чисел b1,b2,b3, а второе по величине а1, а2, а3находиться над вторым по величине из чисел b1,b2,b3, и где наименьшее из чисел а1, а2, а3находиться над наименьшим из чисел b1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.
Если />=a1b1, и />=а1b1+а2b2, то />=а1b1+а2b2+a3b3
Для доказательстваследующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей,которое оформим в виде леммы.
Лемма. Если (а1,а2, …аn) и (b1, b2,…bn) одномонотонные последовательности,то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.
Доказательство.
Рассмотримпоследовательность с двумя переменными из двух переменных.
/>=а1b1+а2b2.
Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по переместительному свойству сложения. Значит, всамой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняетсяодномонотонность последовательности. То есть
/>=/>
Теперь рассмотримпоследовательность с двумя последовательностями из трех переменных.
/>=а1b1+а2b2+a3b3.
Кроме того, что мы можем поменятьпеременные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можемобъединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности.То есть
а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =/>
Лемма доказана
Теорема 2. Пусть (а1а2 а3), (b1 b2 b3) – одномонотонные последовательностии (/>)(здесь и в дальнейшем) любая перестановкачисел b1 b2 b3. Тогда
/> />/> .
Доказательство.
Действительно, еслипоследовательность /> отличается от (b1 b2b3) то найдется пара чисел k, l (1/>k3) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменявместами числа /> и />, мы увеличим всю сумму, а значити всю сумму />.То есть
/>, так как />.
Очевидно, что за конечноечисло попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотоннуюпоследовательность.
Теорема доказана
Упражнения
Данные ниже упражнениямы решим с помощью Теоремы 2
Упражнение №1.
Пусть a и b и c –положительные вещественныечисла.
Докажите неравенство.
a3+b3+c3/>a2b+b2c+c2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,что
a3+b3+c3=/>, a2b+b2c+c2a = />
А так какпоследовательности (a2, b2, c2), (a, b, c) одномонотонны, то
/>/>/>.
А это значит, что a3+b3+c3/>a2b+b2c+c2a.
Что и требовалосьдоказать.
Упражнение №2.
Пусть a и b и c –положительные вещественныечисла.
Докажите неравенство.
/>.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,что
/>
и (a, b, c) и (/>) одномонотонные последовательности, то
/>,
/>.
Складывая этинеравенства, мы получаем
/>.
Отделим дроби содинаковым знаменателем в правой части
/>.
Вычислив, получаем
/>/>/>.
А это значит, что />
Что и требовалосьдоказать
2.4 Случай с двумяпоследовательностями из nпеременных
Рассмотрим одномонотонныепоследовательность (а1, а2, …аn) и (b1, b2,…bn)
Если />=a1b1, и />=а1b1+а2b2, то />=а1b1+а2b2…anbn
Теорема 3. Пусть (а1 а2 … аn), (b1 b2 … bn) – одномонотонные последовательностии (/>)перестановкачисел b1 b2 … bn. Тогда
/>/>/> .
Доказательство.
Действительно, еслипоследовательность (/>) отличается от (b1 b2… bn) то найдется пара чисел k, l (1/>kn) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменявместами числа и /> и />, мы увеличим всю сумму, а значити всю сумму />. То есть
/>,
так как />.
Очевидно, что за конечноечисло попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотоннуюпоследовательность.
Теорема доказана.
Следствие.
Для любого n/>N верно
/>.
Доказательство.
/>
Но последовательности (а1а2 … аn)и (/>) неявляются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.
Однако этипоследовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены вобратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, асамому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонныхпоследовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числавторой линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являютсяпоследовательности
(а1 а2… аn) и (/>)
Поэтому
/>
Отсюда и следуетискомое неравенство
Следствие
Для любого n/>N верно
/>
(Неравенство Чебышева).
Доказательство.
В силу теоремы 3справедливы следующие n неравенства
/>
Значит
/>
/>
В этих неравенствах леваячасть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняютсяциклически.
Складываем все и получаем
/>
Что и требовалосьдоказать
Упражнение №1.
Пусть a и b и c –положительные вещественныечисла.
Докажите неравенство.
a3+b3+c3+d3/>a2b+b2c+c2d+d2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,что
a3+b3+c3+d3=/>, a2b+b2c+c2d+d2a =/>.
А так какпоследовательности
(a2, b2, c 2, d3), (a, b, c, d)
одномонотонны, то
/>/>/>.
А это значит, что a3+b3+c3+d3/>a2b+b2c+c2d+d2a.
Что и требовалосьдоказать.
Доказательство этогонеравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить сдругим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я несмогла.
2.5 Случай с nпоследовательностями из nпеременных
Рассмотрим одномонотонныепоследовательность (а1, а2, …аn), (b1, b2,…bn), …(d1, d2,…, dn).
Если />=a1b1, и />=а1b1+а2b2, и />=а1b1+а2b2…anbn,
то />= а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn
Теорема 4. Рассмотримодномонотонные последовательности (а1, а2, …аn), (b1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn). Тогда
/>/>.
Доказательство.
Действительно, если последовательность(a1, а2, …аn), (b'1, b'2,…b'n), …, (d'1,d'2,…,d'n) отличается от (а1, а2, …аn), (b1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn), то найдутся переменные k, l (1/>kn) такие, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) …(dk, dl) не одномонотонны. Значит, поменявместами числа />,/>, ak, al … dk, dl мы увеличим всю сумму, а значит ивсю сумму />.То
есть
/>,
так как />.
Очевидно, что за конечноечисло попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана.
Пример
/>
Упражнение 1
Пусть а1, а2,…аn — положительные вещественные числа.
Докажите, что />
Это неравенствоназывается неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом.Докажем его двумя способами
Доказательство.
Перепишем его в виде:
/>, введя новые переменные
/>
Имеем
/>
/>
Если сравнить эти двадоказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощьюодномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательствомКоши.
неравенство одномонотонный последовательностькоши
Заключение
Работая по данной теме, яузнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способыдоказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.
Список использованнойлитературы
1. Большойсправочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.
2. В.В. Зайцев, В.В.Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.
3. Р.Б. Алексеев, Л.Д.Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств./Математика в школе. 1991 г. №4
4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш.Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.