Доказательство Великой теоремы Ферма
с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков
§1.
Решение задач в наукеопределяется верифицированным методом доказательства. Как мы видим изразнообразной литературы по проблеме решения Великой теоремы Ферма неразличениеисторических счастливых случайных, и оттого многообразных, находок и логических т.е. теоретических нормальных закономерных изобретений сделало изчислового уравнения задачу «икс» для многих поколений математиков.
Анализ монографий иучебников по самым различным наукам и, в том числе, т.н. математическимпоказывает, что представление наук «об их предмете» является самым слабымзвеном. Затем идет «представление о методе», о «научном законе» и «языкенауки».
Как соотносится решениеконкретной задачи с представлением наук о предмете, методе, научном законе иязыке конкретной науки? Обычно этим вопросом никто и не задается. Но первое жедействие по решению задачи привело автора к необходимости определиться, узнать, с помощью какой науки или совокупности наук надо подойти к решениюзадачи, какой инструмент необходим? При нынешнем плюрализме в науках уже одноэто занятие ставит исследователя в неловкое положение. Что говорить, если дажеиз предмета т.н. точных, математических наук явно не увидеть явно то, чемзанимается наука (предмет науки).
Условия задачи указываютна необходимость привлечения к исследованию науки о числах и науки о действияхс числами (и в общем виде с величинами). С наукой о числах больших проблем невозникло, это область теории чисел, но вот то, что действие с числами этопредмет алгебры – может догадаться только очень искушенный в т.н.математических трудах исследователь. И то неявно. Недоумение вызвал и тот факт,что понятие границ величины автор так и не нашел. Т.е. как математики отличают величину от не-величны в явном виде автор так и не смог определить (для себяпринял условие, что границы величины должны быть несоизмеримы с величиной ивыражаются нулевым числом т.е. они могут соизмеряться с величиной, но должныбыть меньше самой малой дискретной меры величины).
Сама математика приизучении ее фактического материала представляется автору, скорее, в виденаучной дисциплины по созданию моделей с определенными (описанными) величинами,которая использует закономерности всего круга т.н. математических наук.
Вместе с тем, гипотезаФерма, доказать которую мы беремся в данной работе, сформулирована такимобразом, что указывает нам на необходимость привлечения еще и науки огеометрических формах и представлениях числа.
В настоящей статьепредлагается использовать теоретико-числовой и алгебраический метод доказательства, с наглядной геометрической верификацией,который был изобретен П.Ферма, автором Великой гипотезы (и как мы увидим далее- теоремы), названной в его честь. Изобретенный им метод доказывания, называемый методом бесконечных (неопределенных) спусков основан на интеллектуальнойвозможности производить определенные (имеющие свойства) действия ссуществующими числами и действительными числовыми выражениями.
Этотматематический метод П. Ферма описывал в своем письме к Каркави (август 1659года) следующим образом:
«Если бы существовалнекоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь,равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, которыйобладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого,который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобногорассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и,наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, тоне существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваюцелые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольноготреугольника с квадратной площадью».
Дано утверждение (влексике П.Ферма[1]):
«Нельзя разложить куб надва куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на дваквадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечностинельзя разложить на две степени с тем же показателем». Далее автор утверждения– П.Ферма делает заметку: «Я открыл этому поистине чудесное доказательство, ноэти поля (имеется ввиду книги которую он читал книги – авт.) для него слишкомузки».
«Наоборот, невозможноразложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни вкакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем».
Насовременном математическом языке.
Дано: уравнение an+ bn= cn при натуральномn⊂N, n > 2, не имеет решения в ненулевыхцелых числах а’, b’, c’ , {a’, b’, c’} ⊂Z.
Доказательство:
Рассмотримметод бесконечных (неопределенных) спусков, который мы собираемся применить длядоказательства.
Даноуравнение:a2+ b2= c2;
Решения данного уравнениявыражаются в следующей геометрической форме: прямоугольный треугольник скатетами a, bи гипотенузойc.
Предположим, чтоуравнение a2+ b2= c2 имеет решение в целых числах a', b’, c’
Метод бесконечного(неопределенного) утверждает, что если существует прямоугольный треугольник состоронами a', b’, c’ выраженным в натуральных числахто, будетсуществовать бесконечное число прямоугольных треугольников имеющих стороны:
aпропорционально a’ ,
bпропорционально b’,
cпропорционально c’,
Т.е. если есть решение уравнения (существует треугольник a', b’, c’) то мы можем найти бесконечноепропорциональное количество решений уравнения
a2+ b2= c2
где
ai = ki · а’ ;
bi = ki ·b’ ;
ci = ki ·c’ ;
гдек – любоедействительное число, аi — произвольный нумератор решений множества решений
Iсостоящее из решений совокупностисвязанных решений(ai, bi, ci) определяемых через любое существующее решение(a’,b’,c’) .
Таким образом, i -тое решение уравнения a2+ b2= c2 позволяет нам найти определить I -тое коммутативное множестворешений уравнения.
Принципиальнаяневозможность решения уравнения a2+ b2= c2 позволяет нам утверждатьневозможности получения всего множества решений уравнения.
Верификация методабесконечных (неопределенных) спусков:
Стороны уравнения a2+ b2= c2 в силу закона ассоциативности могутбыть умножены на любое рациональное число К выраженное черездействительное число к в видеК = к 2: мыможем сделать преобразование и в целых числах a', b’, c’ представить уравнение a2+ b2= c2 выражением в виде:
К · (a’ 2 + b’ 2) = К · c’ 2
в силу законадистрибутивности (или распределительности) можно сделать следующеепреобразование и получить выражение в виде:
K·a’2 + K· b’2 = K· c’2
гдеК – любоерациональное число и К = к 2 где к – любоедействительное числоследующее преобразование приводитуравнение
an+ bn= cn к виду:
k2a2+ k2b2 = k2c2
(ka)2+ (kb)2 = (kc)2
где К – любоерациональное число K∈{ Q},где Q– поле рациональных чисел, образованное издействительного числа kпо формуле К = k2 , гдечисло k ∈{ R}, гдеR– поле действительных чисел
Действительное число кмножества действительных чисел – позволяет работать во всем действительномчисловом поле решений, представленных в виде (kia’, kib’, kic’) даже при единственном возможномрешении где a', b’, c’ – целые числа
Множество всехдействительных чисел составляют натуральные, целые, рациональные ииррациональные числа
N ⊂Z ⊂Q ⊂R , J⊂R решения { kia’, kib’, kic’ } ⊂ R .
Это значит, что если несуществует решения a2+ b2= c2 (a', b’, c’) не существует и ни одного решения (kia’, kib’, kic’) во всем множестве целых чисел
(a, b, c) ⊂Z
Верификация методабесконечных (неопределенных) спусков в геометрическом виде представлена[2] на рис. 1: />
/>
рис. 1
Возможность получениябесконечного множества I пропорциональных решений при известном i -том решении прямоугольноготреугольника и поможет нам в разрешении поставленной задачи.
Теперь, собственно, перейдемк доказательству Великой теоремы (утверждения) Ферма:
уравнение an+ bn= cn при натуральномn⊂N, n > 2, не имеет решения в ненулевыхцелых числах а’, b’, c’ , {a’, b’, c’} ⊂Z,
Рассмотримуравнение:
an+ bn= cn
Уравнение an+ bn= cn можно представить в виде
(an-2) · a2+(bn-2) · b2= (cn-2) · c2
Предположим, что уравнение an+ bn= cn имеет решение в целых числах а’, b’, c’
тогда уравнение an+ bn= cn можно представить выражением в виде:
(a’n-2) · a’2 +(b’n-2) · b’2 = (c’n-2) · c’2
А, затем, в виде:
Ka·a’2 + Kb· b’2 = Kc· c’2
Где
Ka= (a’n-2), Kb= (b’n-2), Kc = (c’n-2) , где n > 2 , n⊂N, {a’, b’, c’} ⊂Z .
Значит, {Ka, Kb,Kc} ⊂Z принадлежит множеству натуральных чисел
Данное выражение Ka·a’2 + Kb· b’2 = Kc· c’2, имеющее решение в целых числахгеометрически является также прямоугольным треугольником со сторонами:
a1 = ka·a’ и Ka = ka2
b1 = kb· b’ и Ka = kb2
c1 = kc· c’ и Ka = kc2
где {ka, kb,kc }⊂R
но {Ka, Kb,Kc} ⊂Z т.к. образуются из произведений целых чисел Ka= (a’n-2), Kb= (b’n-2), Kc = (c’n-2) при натуральном n> 2
Уравнение an+ bn= cn целых числах а’, b’, c’ можно представить в действительных числах:
a12+ b12= c12 где {a1, b1, c1} ⊂R
Применяем методбесконечных (неопределенных) спусков
Если существует решениеуравнения an+ bn= cnв целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z (а, значит и решение(an-2) · a2+(bn-2) · b2= (cn-2) · c2 в целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z)и если существует решение уравнения a2+ b2= c2 в целых числах подмножествадействительных чисел {a1, b1, c1} ⊂Z⊂R
То это решения этихуравнений пропорциональны:
K· a’2 = а12
К· b’2 = b12
К· c’2 = c12
{K} ⊂R принадлежит множеству действительных целых чисел.
Вместе с тем, решениеуравнения an+ bn= cnв целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z имеет вид
a1 = Ka·a’
b1 = Kb· b’
c1 = Kc· c’
отсюда следует, что
Ka= Kb= Kc= K где {Ka, Kb,Kc} ⊂Z
и
К = an-2= bn-2= cn-2 где также {K} ⊂Z принадлежит множеству целых чисел
Получаем систему взаимноувязанных решений:
/>a’n+ b’n= c’n
К · a’2 + К · b’2 = К · c’2
К = an-2= bn-2= cn-2 где {a’, b’, c’} ⊂Z и {K} ⊂Z
Невозможностьполучения решения системы уравнений (1):
/>an+ bn= cn
К · a2+ К · b2= К · c2 (1)
К = an-2= bn-2= cn-2 где {a’, b’, c’} ⊂Z и {K} ⊂Z
является доказательствомневозможности получения решения уравнения an+ bn= cn в целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z ,
если существует хотя быодно решение a2+ b2= c2 в целых числах {p, q, r} ⊂Z .
И, наоборот, решениесистемы уравнений (1) при существующем хотя бы одном решении a2+ b2= c2 в целых числах {p, q, r} ⊂Z даст возможность найти решение уравнения an+ bn= cn в целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z .
Система уравнений (1) может быть преобразована в сумму систем уравнений (2) и (3)
при n≠ 2 и К ≠ 0 где {a’, b’, c’} ⊂Z и {K} ⊂Z
/>an + bn = cn где
/>
a2+ b2 = c2
K= a = b =c (2)
при n= 2 и К ≠ 0 где {a’, b’, c’} ⊂Z и {K} ⊂Z
/>an + bn = cn
/>
a2+ b2 = c2
K =a0= b0= c0 (3)
Рассмотрим системууравнений (2) получаем:
/>
2c2= c2 ,
2b2= b2 ,
2a2= a2 ,
Отсюда следуют выводы:
1) Система уравнений (2) не имеет решение в целых числах {a’, b’, c’} ⊂Z, значит система уравнений (2) неразрешима в целыхчислах {a’, b’, c’} ⊂Z.
2) Система уравнений (2) имеет решение только в при а = 0, в = 0, с = 0 т.е. {a, b, c} ⊂N , эторешение что не входит в условие рассмотрение задачи.
Других решений системауравнений (2) не имеет (геометрически – треугольник не может быть одновременноравносторонним и прямоугольным).
Рассмотрим системууравнений (3)
При n= 2 равенствозначений a= b= c сохраняется при любых соотношениях a, b, c. Поиск хотя бы одного решения уравнения a2+ b2= c2 входит в условие доказательства теоремыФерма.
Известно, что все решенияв целых числах уравнения a2 + b2 = c2найдены и имеют следующий вид:
a = p2 – q2
b = 2pq
c = p2 + q2
где p и q –целые числа.
Для нашего доказательствадостаточно одного решения. Например - (3,4,5).
Отсюда делаем вывод, еслисуществует решение уравнения a2+ b2= c2 где {a’, b’, c’} ⊂Z то уравнениеan+ bn= cn при n≠ 2 (где n – любое натуральное число) не будет иметь решениепри любых {a, b, c} ⊂Z в силу неразрешимости системы уравнений (2).
Так как уравнениеan+ bn= cn не имеет решений в ненулевых целыхчислах а’, b’, c’ ({a’, b’, c’} ⊂Z ) при n≠ 2, гдеn– любое натуральное число (n⊂N) , значит, оно не имеет решения и в случае, когда n>2. />
Доказательство Великойтеоремы Ферма логически построено на доказательстве отсутствия необходимогоусловия решения в целых ненулевых числах уравнения an+ bn= cn при натуральном n > 2 и геометрическиможет быть сформулировано таким образом: невозможно разложить ни куб на двакуба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большуюквадрата, на две степени с тем же показателем в силу того, что необходимымусловием такого разложения является возможность прямоугольного треугольникабыть равносторонним (в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).
Вышеуказанные рассужденияпросты, наглядны, они не основаны на поиске конкретных решений уравнения an+ bn= cn, а основаны на поискедоказательства, исключающего решение уравнения an+ bn= cn в целых числах.
Метод бесконечных(неопределенных) спусков был изобретен самим П.Ферма и, очевидно, что он импользовался для умозаключения о невозможности разложения куба на два куба, биквадрата на два биквадрата Становится совершенно очевидным факт того, что самП. Ферма имел «чудесное» доказательство своего великого открытия.
§2. Небольшоепояснение ко второй сноске (стр. 3).
В силу законадистрибутивности уравнение a2+ b2= c2 можно преобразовать к виду к виду:
К · a2+ К · b2= К · c2
гдеК – любоерациональное число
Возьмем уравнение
12 + 12= c2
преобразуем его в вид
К12 + К12= Кc2
2 · К = К · c2 или К · 2 = К · c2
Мы получили частноерешение уравнения
еслиК = 2 то c2 = К,
Уравнение c2 = К имеет решение тогда,когда есть такое рациональное число к которое образует число К поформуле:
к2 = К
отсюда следует, что еслиесть такое рациональное число, которое может быть образовано от числа кс помощью умножение на само себя и будет равно двум
(К = 2),то будет и решение уравнения равное этому числу (c= k) в рациональных числах.
Мы получили частное решениеуравнения 12 + 12 = k2 которое, благодаря методубесконечных (неопределенных) спусков будет источником для образованиябесконечного количества решений уравнения:
12 + 12= c2
И наоборот, уравнение 12+ 12 = c2 небудет иметь решения в рациональных числах, если отсутствует такое рациональноечисло, которое может быть образовано от рационального числа к с помощьюумножения на само себя и будет равно двум (К = 2)
К = к 2 , а не наоборот, когда к = √К
Если число к неопределено на числовой прямой рациональных чисел, то его умножение врациональном выражении возможно только с определенными условностями (например –округлением).
Это рассуждение,основанное на методе П.Ферма — бесконечных (неопределенных) спусков являетсяисточником объяснения того, что
12 + 12= c2
не будет иметь решений врациональных числах, если нет такого рационального числа, которое умноженное насамо себя будет равно двум.
И будет иметь решение вдействительных числах, т.к. величинак которое образует число к2 = 2 имеет существующую зависимость от существующей величины,а значит существует.
Величина 12+ 12 — существует, существует действие умножения 1 · 1, значит существует и величина k· k./>
/>
Т.е. про числок, которое образует число к 2 = 2 мы можем говорить лишьо том, что эта величина к существует, это действительное число, но мыда данном этапе не имеем особой меры гипотенуз (числовой оси гипотенуз), ипоэтому не можем представить ее в поле мерных величин - особых рациональныхчислахмерного числового пространства.
____________________________
© А.В. Тарасов
07. 01. 2008 г.