--PAGE_BREAK--
1.5 ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ОБНОВЛЕНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров, магнитол и т. п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t) (t – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P.
Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t0.
Таблица 2
t
1
…
n
r
r(0)
r(1)
…
r(n)
S
S(0)
S(1)
…
S(n)
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на n-шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-й годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. k-го года.
Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то на k-м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k-1)-й должна осуществляться замена и, соответственно, неизвестен возраст оборудования к началу k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:
1 ≤ t ≤ t0+ k – 1
Это выражение свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за (k–1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t0лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена его произошла в начале предыдущего (k–1)-го года).
Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-м шаге. Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:
xk(t) = { С, если оборудование сохраняется
{ З, если оборудование заменяется
Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t+1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го года возраста t = 1 год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых: непосредственного результата управления и его последствий.
Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k+1)-го года возраст оборудования достигнет (t+1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (k+1)-го по n-й) составит Fk+1(t+1). Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S(t), приобретается новое за P единиц, а эксплуатация его в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (k+1)-го по n-й максимально возможный доход будет Fk+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход.
Функция Fk(t) вычисляется на каждом шаге управления для всех 1 ≤ t ≤ t0+ k – 1. Управление при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.
Значения функции Fn(t), определяемые Fn-1(t), Fn-2(t) вплоть до F1(t). F1(t0) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и так далее. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
2 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности
Пример
Пусть на оптовую базу «Ларес» прибыло 10 машин с товаром для разгрузки и 8 машин для загрузки товаров, направляемых в магазины. Материально-ответственное лицо оптовой базы осуществляет оформление документов по операциям разгрузки или загрузки для одной машины, а затем переходит к обслуживанию другой машины. Известны затраты по выполнению каждой операции, которые показаны на ребрах графа (рис. 2).Издержки от операций обусловлены простоем транспорта, типом операции (прием или отправка товара) и не зависят от конкретной машины. Необходимо спланировать последовательность операций обоих видов таким образом, чтобы суммарные издержки по приему и отправке товаров для всех машин были минимальными.
Решение:
Из условия следует, что состояние экономической системы характеризуется двумя параметрами: количеством принятых и оформленных машин по разгрузке товара и количеством машин, отправленных с товаром в магазины. Поэтому решение будем искать на плоскости X0Y, на ограниченном прямыми прямоугольнике, который является областью допустимых состояний системы. Если по оси X отложить число (10) разгруженных машин, а по оси Y – число (8) загруженных товаром машин, то можно построить на плоскости граф состояний процесса, в котором каждая вершина характеризует состояние операции приема и отгрузки товара на оптовой базе. Ребра этого графа означают выполнение работы по приему или отправке товара на очередной машине. Каждому ребру можно сопоставить издержки, связанные с выполнением операции по разгрузке или загрузке машины.
Точка S0определяет начало процесса, a S1 – конечное состояние, соответствующее приему и отправке всех машин. Оптимизацию процесса будем производить с конечного состояния S1. Весь процесс разобьем на шаги, их количество k = n + m = 10 + 8 = 18. Каждый шаг представляет собой сечение графа состояний, проходящее через вершины (на рис. 2 сечения показаны косыми линиями).
К=18 К=17 К=16 К=15 К=14 К=13 К=12 К=11 К=10 К=9
Рисунок 2– Графическая схема связи операций
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг. k= 1. На первом шаге, с задаваемым сечением А1В1, из состояний А1 и B1 возможен только один вариант перехода в конечное состояние S1. Поэтому в вершинах А1 и B1 записываем соответственно издержки 13 и 10. Ребра A1S1 и B1Sl обозначаем стрелкой, направленной в вершину S1, как показано на рис. 3.
Рисунок 3– Сетевая модель операции, шаг 1
2-й шаг. k = 2. Второй шаг оптимизации задается сечением по вершинам А2, В2, C1. Из состояний А2 и C1 возможен единственный переход в вершины А1 и B1 соответственно, поэтому в вершинах А2 и C1 записываем суммарные издержки 29 и 28 на первых двух шагах перехода в конечное состояние S1.
Из вершины В2 возможны два варианта перехода: в вершину А1 или вершину B1. При переходе В2 → А1 сумма издержек составляет 11 + 13 = 24, на переходе В2 → В1 сумма составляет 15 + 10 = 25. Из двух вариантов суммарных издержек выбираем наименьшую (24) и обозначаем стрелкой условно оптимальный переход В2 → А1, как показано на рис. 4.
Рисунок 4– Сетевая модель операции, шаг 2
3-й шаг. k = 3. На третьем шаге сечение проходит через вершины А3, В3, С2, D1. Из вершин А3 и D1 возможен единственный переход в вершины А2 и С1 соответственно. Суммарные издержки для состояния D1 равны 28 + 19 = 47; для состояния А3: 29 + 20 = 49. Из вершины В3 возможны два варианта перехода: в вершину А2 издержки равны 29 + 9 = 38; в вершину В2 – 13 + 24 = 37.
Для вершины С2 возможен переход в вершину В2 (21 + 24 = 45) и в вершину С1 (18 + 28 = 46). Выбираем для вершин В3 и С2 наименьшие суммарные издержки и обозначаем стрелкой условно оптимальный переход, как показано на рис. 5.
Рисунок 5– Сетевая модель операции, шаг 3
4-й шаг. k = 4. Четвертый шаг оптимизации задается сечением по вершинам А4, В4, C3, D2, Е1. Из состояний А4 и Е1 возможен единственный переход в вершины А3 и D1 соответственно, поэтому в вершинах А4 и Е1 записываем суммарные издержки:
продолжение
--PAGE_BREAK--
А4А3: 18 + 49 = 67
Е1D1: 18 + 47 = 65.
Вершина В4: В4А3: 10 + 49 =59
В4В3: 13 + 37 = 50.
Вершина С3: С3В3: 20 + 37 =57
С3С2: 21 + 45 = 66.
Вершина D2: D2С2: 19 + 45 =64
D2D1: 11 + 47 = 58.
Рисунок 6– Сетевая модель операции, шаг 4
5-й шаг. k = 5. На пятом шаге сечение проходит через вершины А5, В5, С4, D3, Е2, F1. Из вершин А5 и F1 возможен единственный переход в вершины А4 и Е1 соответственно:
А5А4: 15 + 67 = 82
F
1
Е1: 16 + 65 = 81.
Вершина В5: В5А4: 13 + 67 =80
В5В4: 12 + 50 = 62.
Вершина С4: С4В4: 18 + 50 = 68
С4С3: 12 + 57 = 69.
Вершина D3: D3С3: 18 + 57 = 75
D3D2: 11 + 58 = 69.
Вершина Е2: Е2D2: 16 + 58 = 74
Е2Е1: 15 + 65 = 80.
Рисунок 7– Сетевая модель операции, шаг 5
6-й шаг. k = 6. Шестой шаг оптимизации задается сечением по вершинам А6, В6, C5, D4, Е3, F2, G1. Из состояний А6 и G1 возможен единственный переход в вершины А5 и F1соответственно, поэтому в вершинах А6 и G1 записываем суммарные издержки:
А6А5: 13 + 82 = 95
G
1
F
1
: 10 + 81 = 91.
Вершина В6: В6А5: 14+ 82=96
В
6
В
5
: 1
5
+
62
=
77
.
Вершина С5: С5В5: 10 + 62 = 72
С5С4: 12 + 68 = 80.
Вершина D4: D4С4: 16 + 68 = 84
D4D3: 12 + 69 = 81.
Вершина Е3: Е3
D
3
: 1
5
+
69
=
8
4
Е3Е2: 14+ 74= 88.
Вершина F2: F
2
Е
2
: 1
5
+
74
=
89
F2F1: 12+ 81= 93.
Рисунок 8– Сетевая модель операции, шаг 6
7-й шаг. k = 7. Сечение А7, В7, C6, D5, Е4, F3, G2, Н1.
Вершина А7: А7А6: 18 + 95 = 113
Вершина Н1: Н1G
1
: 11 + 91 = 102
Вершина В7: В7А6: 15 + 95 = 110
В7В6: 18 + 77 = 95.
Вершина С6: С6В6: 9 + 77 = 86
С6С5: 13 + 72 = 85.
Вершина D5: D5С5: 15 + 72 = 87
D5D4: 10 + 81 = 91.
Вершина Е4: Е4D4: 15 + 81 = 96
Е4Е3: 14 + 84 = 98.
Вершина F3: F3Е3: 16 + 84 = 100
F
3
F
2
: 10 +
8
9 =
9
9.
Вершина G2: G2F2: 14 + 89 = 103
G
2
G
1
: 11 + 91 = 102.
8-й шаг. k = 8. Сечение А8, В8, C7, D6, Е5, F4, G3, Н2, I1.
Вершина А8: А8А7: 16 + 113 = 129
Вершина I1: I
1
Н1: 12 + 102 = 114
Вершина В8: В8А7: 14 + 113 = 127
В8В7: 20 + 95 = 115.
Вершина С7: С7В7: 15 + 95 = 110
С7С6: 11 + 85 = 96.
Вершина D6: D6С6: 13 + 85 = 98
D6D5: 13 + 87 = 100.
Вершина Е5: Е5D5: 13 + 87 = 100
Е5Е4: 10 + 96 = 106.
Вершина F4: F
4
Е4: 14 + 96 = 110
F4F3: 18 + 99 = 117.
Вершина G3: G
3
F
3
: 12 + 99 = 111
G3G2: 18 + 102 = 120.
Вершина Н2: Н2G2: 17 + 102 = 119
Н2Н1: 12 + 102 = 114.
9-й шаг. k = 9. Сечение А9, В9, C8, D7, Е6, F5, G4, Н3, I2.
Вершина А9: А9А8: 10 + 129 = 139
Вершина В9: В9А8: 13 + 129 = 142
В9В8: 10 + 115 = 125.
Вершина С8: С8В8: 16 + 115 = 131
С8С7: 9 + 96 = 105.
Вершина D7: D7С7: 14 + 96 = 110
D7D6: 14 + 98 = 112.
Вершина Е6: Е6D6: 15 + 98 = 113
Е6Е5: 15 + 100 = 115.
Вершина F5: F
5
Е5: 12 + 100 = 112
F5F4: 16 + 110 = 126.
Вершина G4: G4F4: 19 + 110 = 129
G
4
G
3
: 9 + 111 = 120.
Вершина Н3: Н3G3: 16 + 111 = 127
Н3Н2: 10 + 114 = 124.
Вершина I2: I2Н2: 11 + 114 = 125
продолжение
--PAGE_BREAK--