1.4. Дії з векторами.
Означення 5. Сумою двох векторів />та />називають вектор />, який сполучає початок вектора />з кінцем вектора />при умові, що початок вектора />вміщено в кінець вектора />.
Наприклад, задані вектори />та/>(мал. 6а). Для побудування суми цих векторів />перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора />та сполучили початок вектора />з кінцем вектора />(Мал. 6b).
/>а) b)
Мал.6
Суму кількох векторів />, />, … />, визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів />та />будують як суму вектора />та вектора (-/>).
Н/>априклад,
Мал.7
Означення 6. Добутком вектора />на число kназивають вектор />, колінеарний з вектором />, що має довжину в k раз більшу, ніж />та напрям такий самий, як />, якщо k > 0і протилежний до />, якщо k
Означення 7. Скалярним добутком векторів />та />називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута між ними. Скалярний добуток векторів />та />позначають />/>, або (/>,/>).
Отже, згідно з означенням:
/> />= />
(1)
Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.
Правило множення вектора на число.
Щоб помноживши вектор />на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k/>= />
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:
/>, />, />
їх алгебраїчна сума />знаходиться за формулою
/>= />
Знаходження скалярного добутку векторів />та />
Згідно з правилом множення матриць одержимо:
/> />= />
(2)
тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.
Якщо />=/>, тоді кут між ними />дорівнює нулю, />і з формули (1) випливає, що />.
Звідси одержуємо />, або враховуючи формулу (2)
/>
(3)
Із формули (1) маємо:
/>
(4)
Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами />та/>у вигляді:
/>
(5)
Якщо />/>,тоді />і одержимо />/>= 0 (6)
Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах />= (2,1,0) та />= (0,-2,1).
Р/>озв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах />та />(дивись Мал.8.)
Мал.8
Позначимо цей паралелограм АВСD( />та /> — довільні);
/>/>/>/>/>
Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах />та />(довільні) будуть вектори />та />Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів />та />;
/>= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)
/>= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)
Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо />:
/>
З рівності />випливає, що />, тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.