М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Любаяграница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке.Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов />, />,/>можно считать однородным на каждой из сторон. Составляющиеуказанных векторов Dn, En, Pn, перпендикулярные к границе, называютсянормальными, а />, />, />, параллельныегранице, — тангенциальными компонентами.
Нанезаряженной границе двух диэлектриков нормальные и тангенциальные компонентыпреобразуются следующим образом:
/> (36)
Левоесоотношение получается из теоремы Гаусса, примененной к области в форме оченьтонкого параллелепипеда, серединной плоскостью которого является границараздела диэлектриков. Для получения второго соотношения привлекается теорема оциркуляции
/> (37)
Контуромслужит узкая прямоугольная рамка, плоскость которой перпендикулярна к границераздела, рассекающей рамку пополам. Левая часть равенства есть />, а правая равна нулю изэлектростатического уравнения Максвелла (/>).Эаметим, что теорема о циркуляции — это математический закон, применимый клюбому векторному полю, как и теорема Гаусса.
/>
Задача.Плоскость xy представляет собой границу раздела диэлектрик с проницаемостьюε1 (z0). Напряженность электрического поля в воздухесоставляет E2, а вектор />составляет уголθ с осью z и не имеет y-компоненты. Найти />, />в обеих средах и поверхностный связанный заряд. Вычислитьтакже циркуляцию вектора />по прямоугольномуконтуру длины L, лежащему в плоскости xz.
Решение:По условию,
/>
откудасразу
/>
Поправилам преобразования нормальных и тангенциальных компонент, Dn1 = Dn2 = ε0E2cosθ
/> =
/>
Сучетом общего соотношения />, получаем: En1 =
/>
/> =
/>
Теперьможно полностью выписать />в диэлектрике:
/>
Поляризованностьв воздухе отсутствует, а в диэлектрике:
/> =
/> =
/>
Привычислении поверхностного связанного заряда нужна только нормальная компонента,а именно:
/>
Вычислениециркуляции вектора />даст
/>
Знаквыбирается в зависимости от напрaвления обхода контура. Заметим, что если бы мысчитали циркуляцию />, то получили быноль. Так как мы знаем />с обеихсторон плоскости xy, (в области z) можнозаписать окончательный ответ для циркуляции:
/>
Проверкавыполнения законов преобразования компонент />и />на границеслужит в некоторых случаях дополнительным «тестом» на корректностьтого или иного решения.
/>
Задача.Часть площади плоского конденсатора заполнена диэлектриком ε1, другаячасть ε2. Найти />, />в обеихчастях конденсатора при приложении напряжения U. Расстояние между обкладками d.
Ответ:/> всюду; />и />в 1-й и 2-й частях, соответственно.Направление полей — всюду перпеидикулярно плоскостям обкладок.
Комментарий:граница раздела диэлектриков перпендикулярна обкладкам. По обе стороны этойграницы поле параллельно границе и одинаково по величине: нормальная к даннойгранице составляющая при этом вообще отсутствует. Таким образом, выполнено условиедля тангенциальных компонент вектора />.
Обобщениеданной задачи: пусть в плоском конденсаторе с обкладками x1 и x2, проницаемостьизменяется как />. Тогда эквипотенциалямиявляются плоскости x = const. Плотность заряда обкладки такого конденсаторазависит от координат; cуммарный же заряд равен
/> (38)
Частныйслучай — ε меняется только в направлении, перпендикулярном полю (например,кусочно). Аналогичную ситуацию можно рассмотреть в сферическом и цилиндрическомконденсаторах (/>или />).
Задача.В вакууме на расстоянии l от плоской границы с диэлектриком проницаемостиε расположен небольшой шарик, заряженный зарядом q. Найти поверхностнуюплотность связанного заряда на границе раздела как функцию расстояния r отпроекции центра шарика на плоскость.
/>
РешениеВводим систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна плоскостираздела сред xy. Тогда заряд q имеет координаты (0, 0, z).
Будемискать решение в виде φ1 =
/> φ2 =
/>
Значок1 отвечает полупространству, в котором находится заряд.
Потенциалуказанного вида подчиняется уравнению Пуассона. Действительно, для полупространствабез заряда Δφ2 = 0, так как особенность функции φ2(z, r)находится вообще вне этого полупространства. Что касается φ1(z, r), то />, поскольку первый член вточности соответствует потенциалу точечного заряда, а второй дает ноль, так какего особенность не попадает в полупространство содержащее заряд. Заметим, что, еслибы полупространство с зарядом было заполнено диэлектриком (ε1), то этоε1 следовало бы поместить в знаменатель первого члена выражения дляφ1.
Найдемz-компоненту поля, соответствущую введенному потенциалу: Ez1 =
/> Ez2 =
/>
Посколькуz-компонента является нормальной компонентой к границе раздела, для нее должнобыть выполнено условие Dz1 = Dz2, то есть
/>
Помимоэтого требования, необходимо обеспечить непрерывность потенциала, а именно φ1(0, r) = φ2(0, r)
Двавышеуказанных условия приводят к соотношениям –l+B1l = –ε A2 l 1+B1 = A2
изкоторых имеем
/>
Поверхностныйсвязанный заряд найдется как
/>
Проинтегрировавσ' по площади, получаем полный связанный заряд
/>
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661 с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe.ru/r