Федеральное агентство по образованию.
Государственное учреждение высшего профессионального образования.
«Бирская государственная социально – педагогическая академия».
Физико – математический факультет.
Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики.
Курсовая работа
на тему:
Геометрия на сфере.
Бирск — 2008
Содержание.
Введение………………………………………………………………………….3
Глава 1. Общие понятия сферической геометрии……………………………..4
Глава 2. Эллиптическая геометрия как геометрия сферы с отождествленными точками.
2.1. Эллиптическое n-пространство……………………………………………8
2.2. Расстояния…………………………………………………………………..10
2.3. Тригонометрия и площадь треугольника…………………………………11
2.4. Координаты…………………………………………………………………12
2.5. Объемы………………………………………………………………………14
Глава 3. Понятие об эллиптической геометрии Римана……………………. 15
Глава 4. Элементы геометрии на небесной сфере…………………………….18
Заключение………………………………………………………………………24
Список литературы……………………………………………………………...25
Приложение……………………………………………………………………...26
Введение.
По аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется только два типа поверхностей, которые могут без деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой ее точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.
Геометрия на сфере имеет сходства с геометрией на плоскости. Поэтому теоремы и аксиомы плоскости аналогичны теоремам и аксиомам сферы.
В 1854 г. Риман в своей диссертации «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» дал глубокое и богатое по содержанию обобщение идей Гаусса и Лобачевского. Эта работа была опубликована лишь в 1868 г. после смерти Римана. В этой работе он впервые дал построение n-мерного аналитического пространства, связал вопрос о движении с вопросом о постоянстве кривизны пространства, дал образец взаимного проникновения и органического слияния геометрии и анализа. Как один из частных результатов, Риманом была получена так называемая эллиптическая геометрия, отличная от геометрий Евклида и Лобачевского, в которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одной параллельной к этой прямой и все прямые замкнуты. Развитие идей Лобачевского Риманом приблизило создание тензорного исчисления и явилось этапом, подготовившим впоследствии почву для создания теории относительности. [3]
В астрономии же одной из важнейших задач является определение положения небесного светила на небесной сфере.
/>Глава 1. Общие понятия сферической геометрии.
Сферическая геометрия – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. [1]
Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается большой круг. рис 1.
Через каждые две точки А иВ на сфере (рис.1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг.
Большие круги сферы являются ее геодезическими линиями [6] и поэтому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях сферическая геометрия также отлична от планиметрии; так, например, в сферической геометрии не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.
/> Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу АmВ (рис.1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом />АОВ. Угол АВС (рис.2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом />A’BC’между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом,
рис 2. образованным плоскостями ОВА иОВС.
При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис.3). Сферический двуугольник – это фигура новая, раннее не встречающаяся. Она определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле />
/>, (1.1)
рис 3. где R– радиус сферы, А – угол двуугольника, выраженный в радианах.
/> Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис.4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называются эйлеровыми треугольниками).
Стороны a, b, c сферического треугольника рис 4.
/>измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис.5), углы А, В, С треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).
Равными треугольниками считаются те, которые
рис 5. могут быть совмещены после передвижения по сфере.
Равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники АС’С иВСС’ на рис.6.
/> Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон рис 6.
всегда меньше 2π. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3π и больше π. Разность
/>, (1.2)
где S– сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле
/>, (1.3)
где R– радиус сферы.
/> Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис.7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР’ сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с
рис 7. поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов РАР’ , выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие изР, называются меридианами, малые ее круги, параллельные экватору, — параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол θ=/>РОМ – полярное расстояние, в качестве второй – угол ϕ=/>AONмежду нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М, — долгота, отсчитывается против часовой стрелки. [1]
/>
Длина Lдуги М₁М₂(рис.8) линии θ=f(t), ϕ=g(t) вычисляется по формуле
рис 8.
/>. (1.4)
Глава 2. Эллиптическая геометрия как геометрия сферы с отождествленными точками.
2.1. Эллиптическое n-пространство.
Геометрия на сферах пространства /> обладает большим сходством с геометрией пространства />: как на n-сфере, так и в n-пространстве имеется транзитивная группа взаимно однозначных изометрических отображений на себя, зависящая от /> вещественных параметров – этими группами являются группа вращений n-сферы и группа движений пространства />. Однако если группа движений пространства /> примитивна, т.е. это пространство нельзя разбить на такие множества, что при любом движении каждое из этих множеств целиком переходит в себя или в другое из этих множеств, то группа вращений сферы импримитивна: ее можно разбить на такие множества, ими являются пары диаметрально противоположных точек; при любом вращении каждая из этих пар точек целиком переходит в себя или в другую из них. Далее, если две прямые пространства /> могут пересекаться только в одной точке, большие окружности сфер пространства />, играющие роль, аналогичную роли прямых, пересекаются не в одной, а опять-таки в двух диаметрально противоположных точках. Для устранения обоих этих нарушений аналогии достаточно отождествить диаметрально противоположные точки, т.е. считать пару диаметрально противоположных точек сферы точкой нового пространства. Будем называть эллиптическим n-пространствоммножество элементов, называемых точками, изометричное множеству пар диаметрально противоположных точек сферы пространства />. Будем обозначать это пространство />. Пространство /> называют неевклидовым пространством Римана. [2]
Так как касательные плоскости к сферам пространства /> являются пространствами />, геометрия пространства /> в малых окрестностях точек близка к геометрии пространства />. Пространство />, так же как n-сфера пространства />, является метрическим пространством и римановым n-пространством постоянной положительной кривизны. Если радиус n-сферы равен ρ, то пространство />, получающееся при отождествлении диаметрально противоположных точек этой n-сферы, является римановым n-пространством кривизны />. Поэтому число ρ называется радиусом кривизны [6]пространства />.
Будем называть множества точек пространства />, соответствующие большим m-сферам n-сферы пространства />, m-плоскостями, при m=1 – прямыми, при m= n-1 – плоскостями пространства />, а преобразования />, происходящие при вращениях n-сферы, — движениями пространства />. В силу определения пространства /> группа его движений примитивна. Так как всякое преобразование n-сферы пространства />, сохраняющее расстояние между ее точками, является ее вращением, движения пространства /> можно определить также как преобразования этого пространства, сохраняющие расстояния между точками.
Очевидно, что всякая m-плоскость пространства /> является пространством />.
Из того, что сфера пространства /> замкнута и компактна, вытекает, что и пространство /> замкнуто и компактно, а из того, что пространство /> получается отождествлением диаметрально противоположных точек сферы, следует, что пространство /> не делится своими плоскостями на две области.
Из того, что большие окружности сфер пространства /> являются геодезическими линиями этих сфер, следует, что прямые линии пространства /> являются геодезическими линиями этого пространства, откуда вытекает, что m-плоскостипространства /> являются вполне геодезическими m-поверхностями этого пространства (т.е. такими m-поверхностями, всякая геодезическая линия которых является геодезической линией пространства). [2]
2.2. Расстояния.
Будем представлять точки пространства /> векторами пространства />, являющимися радиус-векторами одной из тех двух диаметрально противоположных точек n-сферы, при отождествлении которых мы получили эту точку. Если один из векторов, представляющих точку Хпространства />,-вектор/>, то другой из этих векторов – вектор -/>. Эти векторы связаны уравнением сферы
/>/>. (2.2.1)
Будем обозначать точку Х пространства />, определяемую вектором />, через Х(/>).
В силу формулы
/>, (2.2.2)
определяющей угол между векторами пространства />, расстояние δ между точками Х(/>)и Y(/>) пространства /> с радиусом кривизны ρ определяется по формуле
/>./> (2.2.3)