Содержание
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
Задание № 4
Задание № 5
Задание № 7
Задание № 8
Задача № 4
Задача № 5
Задача № 6
Список литературы
Задание № 1
3. б) Найти пределы функции:
/>
Решение
Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:
Если существуют
/>и />, то: />
/>
/>
Следовательно:
/>
Ответ: предел функции
/>
Задание № 2
3. б) Найти производную функции:
/>
Решение
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:
Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда
/>
Применим это правило к заданной функции:
/>
Ответ: />
Задание № 3
3. Исследовать функцию и построить ее график:
/>
Решение
Найдем область определения функции:
D(y)=R
Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.
Условие четности: f(x)=f(-x)
Условие нечетности: f(-x)=-f(x)
при x=1: y=0
при x=-1: y=-4
Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.
Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.
Функция
/>
не периодична.
Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.
y=0 при />
/>
/>; />
/>
Следовательно, имеем три промежутка:
/>
Определим знак на каждом промежутке:
при x= -1 y=-4
при x= 0,5 y=0,125 > 0
при x= 2 y=2 > 0
Тогда: для
/>, для />
Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:
/>
/>
/>
Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.
Найдем производную функции:
/>
/>
при
/>, />
— точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:
/>--PAGE_BREAK--
Исследуемая функция в промежутке
/>– возрастает
/>– убывает
/>— возрастает
Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
/>
/>при /> — точка перегиба
/>
Для
/>/>,
следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.
Для
/>/>,
следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.
По полученным данным построим график функции.
/>
Рис. 3 График функции />
Задание № 4
Найти интеграл:
3. />
Решение
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
/>
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:
/>
/>
Ответ: />.
Задание № 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.
/>, />, />, />.
Решение.
Построим график функции: />
при х=-2: y = 12
при х=-1: y = 5
при х=0: y = 0
при х=1: y = -3
при х=2: y = -4
при х=3: y = -3
при х=4: y = 0
при х=5: y = 5
/>
Рис. 1 График
Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:
/>
/>
/>
/>/>
Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:
/>/>кв. ед.
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.
Задание № 7.
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:
/>, />при />
Решение
Общий вид дифференциального уравнения: />
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция />от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде />, называется общим интегралом.
Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: />, где /> — фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях />, называется частным решением, или решением задач Коши.
Найдем общее решение или общий интеграл:
/>
/>
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>—
общее решение дифференциального уравнения
Найдем частное решение для />при />
/>
Получаем: />
Ответ: /> — любое число.
Задание № 8
Найти вероятность случайного события.
Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?
Решение.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
/>
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».
Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:
/>/>.
Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна />;
2. вероятность выпадения «шестерки» равна />.
Методы вычислений и ЭВМ
Задача № 4.
Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:
Схема решения
Алгоритм
Результат
238200 – 100 %
50175 – х %
/>
/>
21,064 %
Задача № 5
Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:
По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на
Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.
Тогда:
Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %
Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:
100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %
Задача № 6
Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.
Табельный номер
Часовая тарифная ставка, руб
Отработано часов
К оплате, руб
03
6,6
165
04
8,8
72
05
7,5
216
Алгоритм решения на МК:
6,6 * 165 М+
8,8 * 72 М+
7,5 * 216 М+
16713 /MR MR* 1089 = М+
C C633,6 = М+
1620 = М+ MR
C
Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:
Ввод названий граф документа:
Адрес клетки
Вводимая строка
А1
Табельный номер
А2
03
А3 продолжение
--PAGE_BREAK--
04
А4
05
В1
Начислено, руб. (всего)
С1
Часовая тарифная ставка, руб.
D1
Отработано часов
Е1
К оплате, руб.
Ввод исходных данных:
Адрес ячейки
Исходные данные
В2
16713
С2
6,6
С3
8,8
С4
7,5
D2
165
D3
72
D4
216
Ввод расчетных формул:
Адрес ячейки
Исходные данные
F2
С2*D2
F5
=СУММ(F2:F4)
E2
$B$2/$F$5*F2
E5
=СУММ(Е2: Е4)
Конечный результат:
Табельный номер
Начислено, руб. (всего)
Часовая тарифная ставка, руб.
Отработано часов, ч.
К оплате, руб.
Ставка, руб.
03
16713
6,6
165
5445,00
1089,00
04
8,8
72
3168,00
633,60
05
7,5
216
8100,00
1620,00
16713,00
3342,60
Список литературы
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.
Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.
Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.
Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.