Задача №1.
Двумерная случайнаявеличина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольнойобласти ABC:
/>
/>
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотностислучайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции />.Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
/> или />
следует, что />
Тогда плотность двумернойслучайной величины (X,Y):
/>
Вычислим плотностьсоставляющей X:
при />, />
откуда плотностьсоставляющей X –
/>
Вычислим плотностьсоставляющей Y:
при />, />
при />, />
Поэтому плотностьсоставляющей Y –
/>
Найдем условную плотностьсоставляющей X:
при />, /> случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическоеожидание случайной величины X:
/>
Найдем дисперсиюслучайной величины X:
/>
Найдемсреднеквадратическое отклонение случайной величины X:
/>
Найдем математическоеожидание случайной величины Y:
/>
Найдем дисперсиюслучайной величины Y:
/>
Найдемсреднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
/>
Найдем математическоеожидание двумерной случайной величины (X,Y):
/>
Тогда ковариация: />,
а значит и коэффициенткорреляции />
Следовательно, случайныевеличины X и Y — зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайнаявеличина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:Y X 3 6 8 9 -0,2 0,035 0,029 0,048 0,049 0,1 0,083 0,107 0,093 0,106 0,3 0,095 0,118 0,129 0,108
Найти коэффициенткорреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределениявероятностей одномерной случайной величины X:X 3 6 8 9
/> 0,213 0,254 0,270 0,263
/>
/>
/>/>
Проверка: />+ />+ />+ />= 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263= 1.
Таблица распределениявероятностей одномерной случайной величины Y:Y -0,2 0,1 0,3
/> 0,161 0,389 0,450
/>
/>
/>
Проверка: />+ />+ />= 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовыехарактеристики случайных величин X и Y.
1. Математическоеожидание случайной величины X:
/>2.
Математическое ожиданиеслучайной величины Y:
/>
3. Дисперсия случайнойвеличины X:
/>
4. Дисперсия случайнойвеличины Y:
/>
5. Среднеквадратическоеотклонение случайной величины X:
/>
6. Среднеквадратическоеотклонение случайной величины Y:
/>
Таблицараспределения вероятностей случайной величины X-M(X):X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X)
/> 0,213 0,254 0,270 0,263
Таблица распределениявероятностей случайной величины Y-M(Y):Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y)
/> 0,161 0,389 0,450
Таблица распределениявероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:[X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873 P 0,035 0,083 -0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627 0,095 0,029 0,107 0,118 0,048 -0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673 0,093 0,129 0,049 0,106 0,108
1. />
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. />
8. />
9. />
10. />
11. />
12. />
Найдем ковариацию:
/>
Найдем коэффициенткорреляции:
/>
Ответ: -0,028.
Задача №3
Рост, см
(X) Вес, кг (Y) 22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5 117,5-122,5 1 3 - - - 122,5-127,5 - 2 6 1 - 127,5-132,5 - 1 5 5 - 132,5-137,5 - 1 6 7 2 137,5-142,5 - - 1 4 2 142,5-147,5 - - - 1 1 147,5-152,5 - - - - 1 /> /> /> /> /> /> />
Результаты обследования50 учеников:
По данным таблицытребуется:
— написатьвыборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
— вычертить ихграфики и определить угол между ними;
— по величине угламежду прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всехучеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес –равным середине соответствующего интервала, получим так называемуюкорреляционную таблицу:
Для роста Xполучим:
1. Выборочная средняя–
/>
2. Дисперсиявыборочная исправленная –
/>
/>
Для веса Yполучим:
1. Выборочная средняя -
/>
2. Дисперсия выборочная исправленная –
/>
/>
Найдем выборочныйкоэффициент корреляции:
/>
Найдем значениякоэффициентов регрессии:
/>/>
/>
Уравнение прямойрегрессии Y на X имеет вид:
/>
Уравнение прямойрегрессии X на Y имеет вид:
/>
/> - угол между прямыми регрессии.
/>
/>
/>
/>
Следовательно, связьмежду X и Y не тесная.
/>