1. Векторы. Действиянад векторами.
Вектором наз.упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерномпространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3.Геометрический вектор — направленный отрезок. |AB|=|a|- длинна.2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ныхпрямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ныхплоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеютодинак-ую длинну.
1.умножение на число:произведение вектора А на число l наз. такой вектор В,который обладает след. св-ми: а) А||В.б) l>0, то АВ, lто А¯В. в)l>1, то АВ, )lто А>В. 2. Разделитьвектор на число n значит умножить его на число, обратноеn:а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-ихвекторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнеговектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектора.
2.3. Декартовапрямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскостиназывается совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов,проведенных к ней.
Базисом в пространственаз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарныхвекторов.
Любой вектор наплоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор впространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj.Числа х, уназ-ся координатами вектора ОС в данном базисе
4. Действия надвекторами.
а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k
l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k
a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1; ij=0; и т.д.
скалярное произведение2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z},aa=|a|*|a|, то a2=|a|2
ab=|a|*|b|*cosj
а)ав=0,а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в — коллинеарны, если,x1/x2=y1/y2=z1/z2
5. Скалярноепроизведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала)2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этихвекторов на cos угла между ними. (а, в)- скалярноепроизведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство“0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие ихперпендикулярности (ортогональности).
6. Векторноепроизведение 2х векторов.
левая — правая
Тройка векторов а, в, сназ. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора скратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки.Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки — левая. Векторнымпроизведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с,который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a иc^b.3. тройкаа, в, с-правая.
7. Смешанноепроизведение векторов и его свойства.
Смешаннымпроизведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом:a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где
a={ax,ay,az}
b={bx,by,bz}
c={cx,cy,cz}
Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:
a*b*c=-b*c*a
2. неменяется при перестановке циклических сомножителей:
a*b*c=c*a*b=b*c*a
3.а)(Геометрич. смысл)необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0
б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах
если a*b*c>0,то тройка a,b,c — правая
если a*b*c
8. Уравнение линии иповерхности.
1. Уравнение сферы.Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемойцентром.
O(a,b,c)
|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 — уравнение сферы. x2+y2+z2=r2 — ур-е сферы с центромточке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-еповерхности — ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащейна поверхности.
2. Уравнениеокружности
|OM|=r, OM={x-a,y-b)
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 — ур-е окружности
а=b=0,то x2+y2=r2
F(x,y)=0- ур-елинии на плоскости.
9. Плоскость впространстве.
Ур-е в плоскости,проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-векторнормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для того, чтобы точка MÎP,необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 — ур-е плоскости,проходящей через данную точку ^вектору.
10. Общее уравнениеплоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0,то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0,то By+Сz+D=0
Если B=0,то Ax +Сz+D=0
Если C=0,то Ax+By+D=0
Если A=B=0,то Сz+D=0
Если A=C=0,то By+D=0
Если A=D=0,то By+Сz=0
Если B=D=0,то Ay+Сz=0
11.Взаимное расположение плоскостей.
N1,N2-нормальные векторыплоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
P^Q{A1,B1,C1}
Q^N2{A2,B2,C2}
1)Пусть P^QN1^N2
A1A2+B1B2+C1C2=0условиеперпендикулярности P^Q.
2)Пусть P^Q N1^N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2 — Условиепараллельности 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 — Условиесовпадения 2х плоскостей.
12. Каноническоеуравнение прямой в пространстве.
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Чтобы точка МÎпрямой(илилежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S
13.Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.
l m n
S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}
14.прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющеговектора прямой.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
Общееур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобыперейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку инаправляющий вектор:
1. Найдем начальнуюточку:
Z=0
M0(x0,y0,0), т.к. Z=0
2. Найдем направляющийвектор S-?
P^N1{A1,B1,C1}
Q^N1{A2,B2,C2}
S=N1*N2
16. Взаимноерасположение прямой на плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1,B1}
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2,B2}
а)
то
б)
q N1||N2, то A1/A2=B1/B2
в)
N1^N2, то A1A2+B1B2=0
17. Общееур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-епрямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.
M0(x0,y0)
M0M{x-x0,y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общееуравнение прямой на плоскости.
18.19. Каноническоеур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е сугловым коэффициентом.
y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е прямой с угловымкоэффициентом k.
Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),M2(x2,y2) и x1¹x2, y1¹y2. Для составленияуравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых,проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1).Т.к. М2лежитна данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1)и найдемk:
Теперь вид искомойпрямой имеет вид:
- Ур-е прямой,проходящей ч/з 2
20,21.Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия ||и^.
а)
S1{l1,m1}S2{l2,m2},
или
p:y=k1x+b1, k1=tgj1
q:y=k2x+b2, k2=tgj2 =>tgj=tg(j2-j1)=
=(tgj2-tgj1)/(1+tgj1tgj2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tgj=0, k1=k2
в)p^q,то
22.Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)
2.Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0
23.Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядкаописываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-еэллипса
— Каноническое ур-еэллипса
Если a=b, тоx2+b2=a2 — ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1
в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
24. Парабола и еесвойства.
Множество точекплоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координатудовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у — текущиекоординаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. вО(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметричноотн. оси ОХ
х2=2pу-симметричноотн. оси ОУ
Точка F(p/2,0)наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 — ее директриса.
Любой точке М(х, у),принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст.собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса иот директрисы y=ax2.
25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядканаз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=d
ур.-е
наз. канонич. ур.-емэллипса, где При а=в представляетсобой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c,0) и F2(c,0) — наз. фокусамиэллипса а.
Отношение e=с/аназ. его эксцентриситетом (0
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величинапостоянной, =2а.
26. Гипербола и еесв-ва.
Кривая 2го порядканаз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и Симеют противоположные знаки, т.е. А*С0
б) Если d>0, то каноническое ур-египерболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1,F1(c,o) иF2(-c,0) — фокусы ее, e>0, e=c/a- эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусовесть величина постоянная = 2а.
б) если d=0,ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0,получаем 2перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d
27. Понятие оповерхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0,где A,B,C,D,e,F — действительные числа
Линии, которые всистеме декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз.линиями 2го порядка.
28. Функции.Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарныефункции.
Функция — этозависимость одной величины от другой.
Если существуетвзаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменнойу другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).
Определение способазадания:
-аналитически (y=kx+b)
-графический(график)
-таблично
x
1
2
3
y
4
5
8
-алгоритмически(с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: — функции, которыеполучаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий(+,-,*,/, введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn -степенная
2. y=ax — показательная
3. y=logax — логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx — тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]
Если ф-ция у зависитот промежуточного аргумента U, который зависит отнезависимой переменной х, то y=f[j(x)]называется сложным заданием х.
29. Определениепределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Пределпоследовательности:
y=f(Un), гдеU1,U2,...Un, а Un=n/(n2+1)
Предел: число аназывается пределом переменной