--PAGE_BREAK--Опр. 2.Пусть дано множество A¹Æ. Алгебраическая операция “o” на множестве А называется отображение f: А®А, т.е. для "a,bÎA, ($!) cÎA:aob=c Опр. 3.Группой называется алгебра с одной алгебраической операцией “ o ”, удовлетворяющей свойствам (аксиомам):
1°."a,b,cÎG, ao(boc)=(aob)oc,
2°.$eG,"aÎG: eoa=aoe=a.
3°."aÎG, $a°ÎG:aoa°=a°oa=e.
e-нейтральный элемент относительно операции;
а°-симметричный относительно операции для а.
Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:
Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.
Теорема 4(свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.
1. Пусть для еÎG, $e1,e2-нейтральный (единственный), рассмотрим
(1):e1e=ee1=e.
(2):e2e=ee2, откуда получим:
e1=e1e=e1ee2=ee2=e2,т.е. e1=e2.
2.Пусть для aÎG,$a1-1, a2-1-обратный для а.
Рассмотрим (1):a1-1a=aa1-1=e
(2): a2-1a=aa2-1=e, откуда получим:
a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,
a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Þa2-1=a1-1.
3. ax=b; aÎGÞ$a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1:
a-1ax=a-1bÞex=a-1bÞx=a-1b.
Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:
ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:
x1=a-1b, x2=a-1b.
В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.
Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.
Опр. 5.Подмножество К группы называется подгруппой, если оно само является группой .
Теорема 6.(критерий подгруппы). Подмножество К группы Gявляется подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1°."a,bÎK, ab,baÎK.
2°."aÎK, a-1ÎK.
ÞG-группа, K ÌG. Пусть K pG (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°,2°выполнены.
ÜG-группа, K ÌG, 1°, 2°. Покажем, что K pG, т. е. К-группа.
Для доказательства необходимо проверить четыре условия:
1. Замкнутость К относительно групповой операции.
2. Ассоциативность этой операции.
3. Существование нейтрального элемента.
4. Существование для каждого элемента обратного.
Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, чтоКÌG. Проверим 3:
Т. к."aÎK, $a-1ÎK , условие 1°, то аa-1 ÎК. Но аa-1=е, следовательно, еÎК, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).
Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.
Пусть G-группа, K pG-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:
aºb(mod K)Ûab-1 ÎK.Проверим, что отношение “º”-является эквивалентностью.
1).]aÎGÞ$a-1G, aa-1=e, eÎKÞaa-1ÎKÞaºa(mod K)Þ”º”-рефлексивно.
2).]aºb(mod K)Þab-1ÎK, (a-b-1)-1ÎKÞba-1ÎKÞbºa(mod K)Þ”º”-симметрично.
3).]aºb(mod K), bºc(mod K)Þab-1ÎK, bc-1ÎKÞ(ab-1)(bc-1)ÎKÞac-1ÎKÞ
aºc(mod K)Þ”º”-транзитивно.
Таким образом, отношение сравнение по модулю в Gявляется отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.
Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g ÎG, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hÎK, gÎG}
Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.
{Kg| gÎG}=G/”º”-фактор-множество.
Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:
“aºb(mod K)Ûb-1aÎK”.
Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем ÈКg=G и ÈgK=G, a {Kg/gÎG} и {gK/gÎG}-образуют фактор-множества.
Возможен случай, когда для "gÎG, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.
Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если
a, a'ÎHg1, b,b'ÎHg2, то abºa'b'(mod H), т.е. ab, a'b'ÎHg1g2.
ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2ÞabÎHg1g2;
a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Þa'b'ÎHg1g2, следовательно
ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.
Теорема 7.Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.
Т. к. G, H pG-нормальная, {Hg/g G}=G/”º”. Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.
1°.Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þоперация ассоциативная.
2. Hg=He=H "Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg,т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.
3.Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;
Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1выполняет роль обратного дляHg,
т.е. (Hg)-1=Hg-1.
так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.
Вопрос 6 Элементы теории колец.
В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.
Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.
Опр.1
Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств,где А0
множество элементов любой природы, а U-множество операций.
Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.
Опр.2
Кольцом называется алгебра > с двумя бинарными операциями, которые
удовлетворяют следующим свойствам:
1. — аддитивная абелева группа,
2. “,,— ассоциативно,
3. Имеет место два дистрибутивных закона, то есть а, в, с К ,а(в+с)=ва+са.
Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим её схемой:
С единицей,
т.е.
Без единицы
Коммутативны
т.е.
Не коммутативны
С делителями нуля, т.е.
Без делителей
нуля.
Замечание: Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.
Опр.3
Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью
целостности.
Примером области челосности является кольцо Z, колцо многочленов от одной переменной K, где К- область челостности.
Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его
подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца.
Опр.4
Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является
кольцом относительно операции кольца К .
Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца.
Теорема 5.
(критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом
тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения, т.е. если (1)
(2)
g Ü Пусть (где “ ,,- “ быть подкольцом ,,).Покажем что (1) и (2) имеют место.
Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1)выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.
Û Пусть , (1),(2) – выполнены. Покажем, что I– подкольцо, т.е. что I– кольцо.
Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I– замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того, что .
Рассмотрим условие (1). Пусть , но , ,ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I– кольцо. Так как , то это подкольцо.
Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.
Опр. 6
Подкольцо I кольца K называется идеалом если для
В кольце с существует особый идеал: Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным
Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалуI”.
Опр.7
. Легко проверить, что “ “ – отношение эквивалентности:
10.т.к.а-а=0Î
I
,то отношение рефлексивно
20. Если а
º
в
(
mod I
)
Þ
а-в
Î
I
Þ
в-а
Î
I
Þ
в
º
а
(
mod I)Þотношение симметрично
30.Если а º
в
(
mod I
)
,
в
º
c
(
mod I)
Þ
а-в
Î
I,
в-с
Î
I
Þ
(а-в)+(в-с)= а-с
Î
I Þ
а
º
c
(
mod I)
Þ
отношение транзитивно.
Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.
Ка — класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.
1) классы эквивалентности не пустые,
2) классы не пересекаются,
3) классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением
4) каждый элемент из Kвходит в один из классов
5) объединение классов вычетов совпадает с кольцом.
Множество классов вычетов {Ка /аК}называется фактор-множество.
Имеет место теорема о фактор-множестве.
Теорема 8
Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов
является кольцом.
Для доказательства выполним следующие процедуры:
1) зададим операции и проверим их корректность;
2) операции подчиняются аксиоматике кольца.
n1).Ка+Кв=Ка+в, КаКв=Кав
Ка, Кв покажем, что а+в
Ка , а+вКа+в , Квав
Покажем, что Ка+в,
Кав
Если и
продолжение
--PAGE_BREAK--а+в
ав
что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.
2).Ка+(Кв+Кс)=Ка+Кв+с=Ка+(в+с)=К(а+в)+с=К(а+в)+Кс=(Ка+Кв)+Кссложение ссоциативно
Ка+Кв=Ка+в=Кв+а=Кв+Ка сложение коммутативно;
Ка+К0=Ка+0=Ка К0=
Iидеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;
Ка+К(-а) = Ка+(-а)= К0= I К(-а)= -Ка–противоположные классы
Ка.(Кв.Кс) = Ка.Квс=Ка(вс)=К(ав)с=Кав.Кс= (Ка.Кв).Кс
Ка .(Кв+Кс) = КаКв+с= Ка(в+с)= Кав+ас = Кав+Кас
Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому — кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I.
Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-
“отношение делимости “.Рассмотрим его.
Опр. 7
Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует
такое , что а=вс. а –называется делимое, в –делитель, с–частное. И обозначается “ M,,
Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов — “ ~ ,, а
~в аM
в /
в
M
а.
Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что
ав=1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.
Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.
10 “ M,, — рефлексивно: а0, аM
а.
20 “ M,, — антисимметрично : аM
в, в
M
а
Þ
а = в.
30 “ M,, — транзитивно: аM
в, в
M
с,тоаM
с.
40 а, вM
с
Þ
а+в
M
с, ав
M
с.
50 а1, а2,…, аn
,
aI
M
c
Þ
а1, а2,…, а
n
M
с. и ряд других свойств.
Отношение “ ~ “является отношением эквивалентности.
10Mа Þ
а ~
а.
20 а ~
в
Þ
а
M
в, в
M
а
Þ
в
~
а
.
30 а
~в, в~с
Þ
а
M
в, в
M
с
Þ
а
M
с
Þ
c~a
Þ
a ~c
вM
a, с
M
в
Þ
с
M
в, в
M
а
Þ
с
M
а
Вопрос 7 Гомоморфизм колец
В вопросе ставиться проблема взаимосвязи алгебр на примере колец, которые описываются гомоморфизмом. Предлогаеться решить проблему взаимосвязи кольца, фактор-кольца с другим кольцом, которая задаётся теоремой об эпиморфизме колец. Предварительно введём ряд понятий. Прежде всего, сформулируем определение алгебры и гомоморфизма алгебры.
Опр.1
Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств,где А0
множество элементов любой природы, а U-множество операций.
Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.
Опр.2
Гомоморфизмом алгебр называется отображение одной из них в другое, сохра -
няющее операции, т.е. если А, В – алгебры, с U, W – множествами опреаций, f – гомоморфизм Ав В, то ▲U, существует ■ W.
Гомоморфизм алгебр допускает классификацию:
Свойства f
Гомоморфизм
Мономорфизм
Эпиморфизм
Изоморфизм
1.Сохранение операций
2.x1y1Þ f(x1)f(y1)
Все св-ва
1 — 3
Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю.
Рассмотрим гомоморфизм колец.
Опр.3
Гомоморфизмом кольца > в> называют отображение f:
Сохраняющее операции, т.е. f(а+в)=
f(а)
Å
f(в); f(ав)=
f(а)
Ä
f(в).
Опр.4
Ядром гомоморфизма f: называется множество элементов из К, образы
которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f =
Теорема 5
Ker f кольца К в является идеалом К
g а, вÎKerf Þ
f(a)=0
¢
Î
K
¢
, f(
в
)=0
¢
Î
K
¢
; к
Î
K
f(a-
в)=
f
(а+(-в))=
f(а)+f(-в)=f(а)-f(в)=0
¢
— 0
¢
=0
¢ÎK Þа-в ÎKer f
f(
ак)=
f(а) f(к)=0
¢
f(
к
)=0
¢
Î
К
¢
Þ
ак
Î
Ker
f
f(ка)=
f(к) f(а)= f(
к)
¢
=0
¢
Î
К
¢
Þ
ка
Î
Ker
f ,что и доказывает, что Ker f кольцо К в К¢является идеалом К
Имея К и идеал его I, можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор — кольца. Рассмотрим отображение Е: К®
К
/I,где Е(x)=Kx
Покажем что Е – гомоморфизм ( эпиморфизм ).
E(x+y)=Kx+y=Kx+Ky=E(x)+E(y); E(xy)=Kxy=KxKy=E(x)E(y).
"
Kx
Î
K / I ;
$
x
Î
K, E(x)=Kx
. Это позволяет утверждать что Е — эпиморфизм.
Теорема 6
Если f: K
®
K
¢
эпиморфизм, то существует изоморфизмK / Ker f наK¢такой,
что эпиморфизм f равен композиции Е и изоморфизма.
g Для доказательства теоремы предварительно рассмотрим и зафиксируем условие теоремы.
К, К
¢— кольца, f: K
®
K
¢
, f(x)=x
¢-эпиморфизм, тогда fобладает ядром Kerf, которое является идеалом K. Становиться возможным К фиксировать по Ker f = I, получаем фактор –кольцо К/ Ker f.Рассмотрим Е: К®
Ker f, где E(x)=Kx–эпиморфизм. Теперь можно приступать к доказательству теоремы, которое предполагает выполнение процедур по плану:
1) покажем что для x,yÎKx, f(x)=f(y),
2) зададим отображение Y: K/Ker f ®K¢ так :Y(Kx)=f(x),
3) проверим, что Y— гомоморфизм,
Y- эпиморфизм,
Y- мономорфизм.
4) f=Y°E.
Итак, покажем, что для x,yÎKx, f(x)=f(y).Пустьf(x)¹f(y) Þf(x)-f(y)¹
¢Þf(x-y)¹
¢
®x-y ÏKer f Þ x y(mod Ker f)ÞxÏKxÚyÏKy, что противоречит
условию.Поэтому утверждение верно.Изобразим условие теоремы и результат доказанного схемой
K
·x f f(x) K¢
·y
Y
Ker f 0¢
E Kx
0¢¢ K¤Ker f
Зададим отображение Y:К/ker f®K’, Y(Kx)=f(x).
Y(Kx+Ky)=Y(Kx+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=Y(Kx)+Y(Ky);
Y(KxKy)=Y(Kxy)=f(xy)=f(x)f(y)=Y(Kx)Y(Ky), т.е.Y-гомоморфизм.
Кх¹КуÞY(Кх)¹Y(Ку).Пусть это не так,пусть Y(Кх)=Y(Ку)Þf(х)=f(у)Þх и у из одного класса, что противоречит условию; т.е.Y— мономорфизм. х¢ÎК¢; т.к. f- эпиморфизм, то$хÎК,f(х)=х¢, тогда $Кх ÎК(ker f : E(х)=Кх, аY(Кх)=х¢, что позволяет утвердждать: Y— эпиморфизм
Итак ,Y-изоморфизм К/ker f и К¢.
Пусть YоЕ(х) ;YоЕ(х)=Y(Е(х))=Y(Кх)=f(х)ÞYоЕ=f
продолжение
--PAGE_BREAK--Вопрос 8. Делимость в кольце целых чисел (Z)
В вопросе ставится проблема отношения делимости в кольце целых чисел и возможное его приложение для нахождения НОД и НОК целых чисел.
Опр.1.
Число а ÎZназывается делящимся на число в¹оÎZ, если существует такое число с, что а=вс,
а называют в этом случае делимым, в – делителем, с – частным. Обозначают отношение ²”.
Отношение делимости на Zобладает рядом свойств:
1°"а¹0, аMа, | Доказательство:
2°"а¹0, в¹0, а:Mв, вMаÞа=в, | а¹0 Þа=а×1ÞаMа;
3°"а, в, с, а: в и вMсÞаMс | аMвÞа=вс
Истинность названных трех | вMаÞв=аd }Þа=а(dс)Þа×1=а(dс)Þ
Свойств позволяют утверждать, | а(1-dс)=0Þ1-dс=0Þdс=1 (нет делителей редко)Þ
Что отношение делимости |dи с делением 1, т.е.равны 1 или (-1)
является нестрогим частичным | аMвÞа=вк } Þа=с(mк)ÞаMс
порядком. | вMсÞв=сm}
4°а: в, сMвÞа+вMс, авMс
5°асMвс, с¹ÞаMв и ряд других
Убедимся в том, что отношение делимости не обладает свойством связности, т.е. является частичным. Это легко проверить примером: 4:/5. Потому естественным образом возникает проблема деления целого числа на другое не равное нулю. Такая ситуация описывается теоремой о делении с остатком.
Т 2.
"а, в¹0, Z(!)gч такие, что а=вg+ч, где 0£ч
Теорема содержит в себе две: о существовании и о единств.
Рассмотрим ихдоказательства.
Случай 1. а³0.Проведем доказательство методом матиндукции.
а=0 Þ0=в0+0, где видно, что g=0, r=0ÎZ
а=п Þи пусть теорема для п верна, т.е.
(1) п=вg+r, 0£r, 0
а=п+1Þприбавим к обеим частям равенства (1) по 1, получим:
п+1=вg+(r+1). Исследуем (r+1).Если r+1
п+1=в(g+1)+0 и теорема вновь верна. На основании принципа матиндукции можно утверждать, что теорема верна для любого целого числа а³0.
Случай 2. а0 и теорема для этого числа верна, т.е.-а=вg+r 0Þr
Поступим так:
А=в(-g)+(-r), прибавим к левой части и вычтем в, получим а=в(-g)-в+в+(-r)Þa=b(-1-g)+
(b-r), где –1-gÎZ, в-r 0, т.е. теорема верна.
(!) Пусть для а, в>ÎZсуществует два варианта:
а=вg1+r1, а=вg2+r2, где 0£r1,r2
Заметим, что g1=g2Ûr1=r2.
Действительно, если r1=r2Þr1-r2=в(g2-g1)=0, в¹Þg2-g1=0Þ
G1=g2, g1=g2Þg2-g1=0Þr1-r2=0Þr1=r2.
Поэтому рассмотрим случай, когда r1¹r2, тогда вg1+r1=вg2+r2Þr1-r2=в(g2-g1).
Так как 0 £r£b, 0£r2g1¹g2>b,
Т.е. R1-r2>b, что привело к противоречнию. Теорема доказана.
Рассмотрим возможное применение отношения делимости и отношения с остатком для введения
и способа вычисления НОД и НОК двух целых (натуральных) чисел. Введем определение
НОД и НОК.
Опр.3 Наибольшим общим делителем двух целых чисел а и в называется такой
Их общий делитель, который делится на всякий другой их общий делитель.
Опр.4. Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется такое их
общее кратное, на которое делится всякое другое их общее кратное.
НОД и НОК двух чисел и большего числа можно находить способом разложения на
простые множители. Здесь рассмотрим другие способы в частности, алгоритм
Евклида.
Алгоритм Евклида представляет собой конечный процесс деления одного числа
на другое, затем второго числа на первый остаток, затем первый остаток
деления на второй и так до тех пор, пока деление завершится без остатков.
Это считается возможным, потому что остатки будут неотрицательным числом,
убывают, что бесконечным быть не может.
Оформим этот процесс математически:
а=bg1+r1, 0
b=r1g2+r2, 0
…………..
rk-2=rk-1gk+rk, 0
rk-1=rkgk+1 rk+1=0
и докажем теорему о нахождении НОД чисел. Заметим, что НОД чисел обозначаем так:
НОД (а; в), или просто (а, в)
Теорема 5
Последний, отличный от нуля, остаток в алгебре Евклида является НОД (а; в).
Для доказательства требуется предварительно рассмотреть две леммы:
Лемма 1: а=вg+r, то (а, в)=(в,r)
(a,b)=d®aMd1bMdÞa-bgMdÞrMdÞd – общий делитель в и r,
т.е., если (в,r)=d1, то d1Md (1)
(в,r)=d1®bMd1, rMd1ÞaMd1Þd1общий делитель a и b,ÞdMd1 (2)
Из (1) и (2) следует, что d=d1
Лемма 2: аMвÞ(а, в)=в
Теперь допишем теорему. Из последнего равенства в алгоритме Евклида следует, что
(rk-1,rk)=rk. А из предпоследнего, по лемме, следует, что (rk-2,rk-1)=(rk-1,rk)=rk
Поднимаясь от равенства к равенству в алгоритме Евклида получим (а, в)=,rk
Что и требовалось доказать.
Решим вопрос о нахождении НОК (а, в).Обозначим НОК (а, в)=m
И докажем теорему
Теорема 6 m=ab/(a,d). Для доказетельства воспользуемся определением НОК.
Напишем, что ав/(а, в) делится на а и на в.
(а, в)=Þa=a1d, тогда ab/(ab)=a1db1d/d(a1b1)=ab1=a1b, что и доказывает утверждение.
………..b=b1d
………..(a1,b1)=1
Покажем, что любое кратное чисел а и в делится на m.Пусть М общее кратное а и вÞ
М=ак, М=вmÞM=abs=absd/d=ab/(a,b)sdÞ
M:ab/(a,b), что и требовалось доказать. Используя определение НОК (а, в) можно
Сделать вывод, что m=ab/(a1b)
Вопрос 9 Элементы теории сравнения с кольце Z
В вопросе решается проблемы возможности задания бинарного отношения
”cравнение по модулю m”в кольце целых чисел, его свойств, среди которых построение
новых алгебр из Z.
Пусть Z-кольцо целых чисел,mÎZ,m>1
Опр.1 Числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если а-в:m.
Записывается: а=в(modm).
Легко показать, что введенное бинарное отношение на Zявляется отношением эквивалентности, т.е.
обладает свойствами рефлексивности, симметричности ,транзитивности.
Действительно:
1°a-a=0ÎZ, 0:mÞaºa (modm);
2°aºb (modm)Þa-b:mÞb-a:mÞbºa (modm);
3°aºb (modm), bºc (modm)Þa-b:m,Þ(a-b)+(b-c):mÞa-c:mÞ
…………………………………aºc (modm)
Это очень важное свойство отношения сравнения, т.к. в таком случае оно задает разбиение
На Z, что рождает фактор – множество К/m=Zm, как множество классов эквивалентности.
Общая теория колец рассматривает эту ситуацию и утверждает, что— кольцо.
Здесь же мы рассмотрим порождение другой алгебры – мультипликативной группы.
Для этого введем понятие взаимной простоты класса и модулем m.
Класс Ка=а называется взаимнопростым с m, если (а,m)=1, где а –образующей класса Ка
Однако в теории классов известно, что таким обьразующим может быть любой элемент из этого
класса).
Рассмотрим множество классов вычетов, каждый из которых взаимно прост с m.
Известно, что количество чисел, взаимно простых с модулем определяет функцию
Эйлера g(m), и что остатком от деления целых чисел на m составляют полную систему вычетов
Взаимно простые с m следует искать среди классов Ко, К1, К2,…, Кm-1. Пусть такими
классами будут ír1,r2,…rg(m) ý. Такую систему классов называют приведенной
Системой классов вычетов и их представителем приведенной системы вычестов
ír1,r2,…rg(m)ý.
В этой системе ровно g(m) элементов, ( ri,m)=1, (ri,m)=1
Теперь докажем теорему о приведенной системе классов вычетов.
Теорема 2. Приведенная система классов вычетов по модулю не образует
мультипликативную группу.
Для доказательства теоремы необходимо проверить существенные признаки мультипликативной группы,
т.е. проверить:
1) замкнутость относительного умножения,
2) ассоциативность умножения,
3) существование единичного элемента,
4) существование для каждого элемента обратного.
Рассмотрим {r1,ri,…rg(m)}, где (ri,m)=1, напомним, что ri×rj=ri×rj.
(rim)=1Þ
(rj,m)=1
(1) (ri,m)=1
……(rj,m)=1 Если предположить, что (ri×rj,m)¹1, то это будет означать, что
най р-простое число такое, что ri×rj:p1Þm:p
Если ri или rj делятся на р, то нарушаем условие (1).Если ri p, то по известному утверждению,
²a×b:p,(a,p)=1Þb:p², следует, ri:p, что также приводит к противоречию (1). И так,
(ri:rj,p)=1Þ
(ri×rj,p)=1, т.е.rirgÎ{r1,r2,…rj(m)}, что утверждает с необходимостью замкнутость
очередного умножения. Так как классы вычетов riÎZm, то умножение
Так как (1,m)=1, то ri=1, т.е. единый класс в рассматриваемом множестве есть.
Пусть аÎZ, (а,m)=1, рассмотрим{ar1,ar2,…arg(m)}.Легко показать, что
Это тоже приведенная система вычетов.Тогда ari=1Þa×ri=1, т.е. для ri
Существует класс ему обратный: а=ri-1. Можно существование обратного класса доказать и таким
Способом: a,r2…rg(m)=rj, сократим на ri, получим r1,r2…rj-1,rj+1 rg(m)=1, тогда
(r2…rg(m)=(r1)-1,(r1r3…rg(m)=(r2)-2 и т.д., что подвтерждает факт существования для
каждого класса ri ему обращенного ri-1. Теорема доказана.
Теория сравнения имеет всевозможное применение. В частности, теория сравнения
Используется при выводе признаков делимости. Сформулируем общий признак
Делимости на mÎZ, m>1, который назван признаком Паскаля. В основе этого признака лежит систематическая запись натурального числа в системе с основанием g, т.е.
(anan-1…a1a0)g=an×gn+an-1gn-1+…a1g1+a0g°.
Теорема 3.(Паскаля) Число а=(аn,an-1…a1,a0)g делится на mÎZ,m>1 тогда и только
Тогда, когда на m деления в число: anrm+an-1rn-1+…a1r1+a0r0, где ri остаток
От деления gi на m.
g°=mg0+r0, g1=mg2+r1,…gn=mgn=rnÞ
g0ºr0(m0dm),g1ºr1(m0d0),…,gnºrn(m0d0). Используя свойства сравнения легко получаем,
что angn+…+a0g0ºanrn+…+a0r0(m0d0). Воспользуемся определение сравнения, мы получаем истинность теоремы.
Общий признак позволяет вывести частный признак.
Выведем признак делимости на 3 и на 5, если число записано в десятичной
Системе исчисления.
1. m=3, g=10, тогда 10°=1º1(mod3),
10º1 (mod3), используем лемму, можно утверждать, что остатки ri =1, по
по признаку Паскаля
(anan-1…a0)10ºan+…a0(mod3), откуда можно сфоормулировать признак
делимости на 3:
“Число делится на 3 тогда и только тогда, когла сумма его цифр в
десятичной делится на 3”.
Пусть bÎР(a), т.к. Р(a) = Р[a], то b= аSas+···+a1a+ a0, где f(х) = аSхs +···+a1х + a0ÎР[х], f(a) = b. Пусть g(х) – линейный элемент для a, т.е. g(х) = bnхn + ···+ b1х + b0. Разделим f(х) на g(х) :
(1) f(х) = g(х) g1(х) + r(х), 0£deg r(х)
положим х = a в (1), получим f(a) = g(a) g1(a) + r(a), т.к. g(a) = 0, то f(a) = r(a), т.е. b= с0+ с1a+···+ сn-1an-1. Получили, что такое представление однозначное.
Пусть b= с0+ с1a+···+ сn-1an-1и b= d0+ d1a+···+ dn-1an-1.
Рассмотрим многочлен φ(х) = (с0 — d0) + (с1 — d1)х + ∙∙∙ + (сn-1 — dn-1)хn-1, причем φ(a) = 0, т.е. получился многочлен, степени меньше чем n, для которого aявляется корнем, что противеречит линейности многочлена для a. Если φ(х) существует, то он нулевой, поэтому сi = di, что и доказывает теорему.
Посмотрим как возможно изменить эту теорему для освобождения от алгебраической иррациональности в знаменатели дроби.
Пусть a– алгебраический элемент степени n > 1 не из Р
Пусть f(х), h(х) два многочлена из Р[х], h(a) ¹0. Тогда в р(a) может быть дробь . Возникает проблема представить дробь в виде линейной комбинации
степеней a. Это возможно, так как любой элемент из р(a) есть линейная комбинация 1, a,…,an-1Задача состоит в нахождении алгоритма преобразования.
Пусть g(х) – минимальный многочлен для aстепени n. Т.к. h(a) ¹0, то h(х)g(х) ® (h(х), g(х)) = 1 =>uh + vg = 1. Т.к. g(a) = 0, u (a) h (a) = 1 u(a) = . Следовательно, = f (a)u(a), где f(х), u(х) ÎР[х], а f (a), u(a)ÎР[a]. Таким образом удалось освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, а сделать это можно так:
1) рассмотрим h(х) и g(х) – минимальные a, если a
2) с помощью алгоритма евклида подобратьu(х)такой, что h(х) g(х) + v(х) g(х) = 1;
3) найти u(a);
= f (a)u(a)
Вопрос 10. Кольцо многочленов от одной переменной.
Вопрос предполагает решение проблемы построения кольца многочленов как алгебры и решение проблемы о корнях многочлена.
Для построения кольца многочленов как алгебры напомним определение алгебры.
Определение 1.Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где множество элементов любой природы, а V – множество операций.
Одной из алгебр является кольцо.
Определение 2.Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями – сложение и умножение -, удовлетворяющих следующим свойствам:
1. — аддитивная абелева группа;
2. “ ´”- ассоциативная операция;
3. Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом.
Для построения кольца многочленов зададим кольцо К и введем понятие многочлена.
Определение 3.Многочленом f(x) называется сумма anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, где aiÎ
K, x –неизвестное, xÏ
K, x0=1, 1·x= x. ai называют коэффициентами многочлена, an — старшим, a0 – свободным членом.
Определение 4. Суммой двух многочленов и называется многочлен h(x)=f(x)+g(x), h(x)=ckxk+...+c0, где ci=ai+bi. Определение 5. Произведением двух многочленов и называется многочлен , где .
Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру ´
>. Докажем теорему о том, что эта алгебра является кольцом.
Теорема 6. Алгебра многочленов ´
>, с коэффициентами из кольца K образует кольцо.
g1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)
f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)
f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами.
2. — называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е. — выполняет роль нулевого элемента в алгебреK[x].
3. f(x)=(-an)xn+...+(-a1)x+(-a0)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то
´> — кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K.
Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности.
Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена.
Степенью многочлена f(x) называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение: deg f(x)=n, где an
¹0.
Степень многочлена обладает свойствами:
deg (f + g)
£ max (deg f, deg g); deg (fg) = deg f + deg g, если K – область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов: во-первых, на основании выполнения операций; во-вторых, на основании целостности K.
Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость: (1) коммутативности умножения и (2) отсутствие делителей нуля.
(1) коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно.
(2)
f(x)
¹, deg f(x)=n
³0, g(x)
¹ , deg g(x)=m
³0,
deg (f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)= n+m
³0
Þ deg (fg) = n+m
³ 0
Þ
$ cn+m
¹ 0
Þ (fg)
¹ , это и доказывает отсутствие делителей нуля в K[x], где K – область целостности.
Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен f(x) = anxn+...+a1x+a0 разделить на двучлен (x-a). Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм.
f(x) = (x-a)g(x)+r(x), гдеf(x) = anxn+...+a1x+a0, g(x)= bnxn+...+b1x+b0 .
Воспользуемся свойством степени, получим:
deg f(x)
£ deg [(x-a)g(x)+r(x)]
£ max[deg (x-a)g(x), deg r(x)]
deg (x-a)g(x)=deg (x-a)+deg g(x). Из этих равенств можно сделать вывод, что m=n-1, deg r(x)=0, т.е. r(x) – число, т.е. anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=(x- -a)bnxn+...+b1x+b0+r. Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой.
anxn=bn-1xn
Þ bn-1=an
an-1xn-1=bn-1xn(-a)+bn-2xn-1
Þ an-1=bn-1(-a)+bn-2
Þ bn-2=an-1+abn-1
b1=ab2+a2, b0=ab1+a, r=ab0+a0.
Введем понятие корня многочлена.
Определение 8. Число x=a называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена f(a) равно нулю.
Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен (x-a).
Теорема 9. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равенf(a).
g f(x), (x-a). Поделим, f(x)=(x-a)g(x)+r, мы установили, что r – число. Подставим x=a в равенство, получим f(a)=0g(a)+r, откуда вытекает утверждение теоремы f(a) = r.
Из теоремы вытекает следствие: f(x)M(x-a) Û x=a корень уравнения.
Þ f(x)
M (x-a) Þ f(x)=(x-a)g(x)+f(a) (по теореме Безу), f(a)=0 Þ x=a корень f(x)
Ü Пусть x=a корень многочлена, т.е. f(a)=0
Þ f(x)=(x-a)g(x) (по теореме Безу), т.е. f(x)
M (x-a).
Вопрос 11. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел.
В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии. Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители.
В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т.е. для кольца C[x], где C – поле комплексных чисел.
Итак, пусть P – поле.
Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени имеет в этом поле корень. Алгебраической замкнутостью обладает поле C, это решается основной теоремой алгебры.
Теорема 2. Любой многочлен положительной степени из кольца C[x] обладает по крайней мере одним корнем. Примем эту теорему без доказательства в силу того, что она требует предварительного доказательства ряда теорем из математического анализа.
Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их и рассмотрим.
Следствие 3. Неприводимым над полем C многочленом является многочлен только первой степени.
Для доказательства этого утверждения введем определения приводимого и неприводимого многочлена. Многочлен f(x)
ÎP[x] называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени. В противном случае многочлен называется неприводимым.
Приступим к доказательству следствия 3.
Пусть дан f(x)
ÎC[x]. Пусть он приводим. Покажем, что
1. рассмотрим f(x)=a1x+a0, degf(x)=1. Предположим, что f(x) – приводим. Тогда по определению приводимого многочлена f(x)=f1(x)f2(x), где degf1(x)>0, degf2(x)>0. Однако по условию degf(x)=1=1+0=0+1, то есть degf1(x)=0È
degf2(x)=0, что противоречит свойству степеней. Полученное противоречие и доказывает неприводимость многочлена (а1х+а0).
Пусть deg f(x)>1, тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть таким корнем будет х=а. По следствию из теоремы Безу: f(x)=(x-a)f1(x). Так как deg(x-a)=1, degf(x)>1, deg(x-a)f1(x)=deg(x-a)+degf1(x), то degf(x)>0; то есть f(x) – приводим, что противоречит условию. Таким образом, неприводимым над полем С является только многочлен первой степени.
Следствие 4. Если f(x)Î
C[x], degf(x)=n
³
1, то его можно представить в виде:
с(x-a1)(x-a2)...(x-an), (*)
где ai – корни его, а сÎ
С.
gПусть f(x)=c1x+c0=c1=c1(x-a1), где,то есть для многочлена f(x) утверждение верно: он представляется в виде (*) и а1– корень его, а с1– старший коэффициент.
Далее, проведем доказательство методом математической индукции. Пусть теорема верна для многочлена степени меньшей или равной (n-1), то есть
f(x)=c(x-a1)...(x-an-1), где a1, a2, ..., an-1– его корни, а с – старший коэффициент.
Пусть f(x) – неприводим, а это возможно только для n=1, для этого случая теорема верна. Либо f(x) – приводим, тогда f(x)=g(x)h(x), где степени g(x) и h(x) меньше n, для них теорема верна. В силу свойства степени f(x)=c(x-a1)...(x-an), то есть множителей будет ровно n. По следствию из теоремы Безу аi – корни f(x), если расткрыть скобки в правой части и воспользоваться равенством многочленов, то с – старший коэффициент f(x). Теорема доказана.
Из этого в следствии с необходимостью вытекает еще два.
Следствие 5.Количество комплексных коней многочлена f(x)Î
C[x]совпадает с его степенью.
Следствие 6.Любой многочлен f(x)Î
C[x]положительной степени n можно представить в виде:
f(x)=c(x-a1)
a
1
(x-a2)
a
2
...(x-ak)
a
k, где a
1
+...+
a
k
=n, ai– его корни. Такое представление носит название канонического. Возможность такого представления вытекает из следствия (4) и допустимости повторяющихся корней, то есть кратных корней многочлена.
В теории многочленов над С имеет место теорема, устанавливающая связь между корнями многочлена и его коэффициентами.
Теорема 7. Пусть f(x)Î
C[x], degf(x)=n, an=1 (то есть f(x) – нормирован), тогда как известно, f(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an), где имеет место соотношение:
а0 = (-1)n a1 a2 … an;
a1= (-1)n-1 (a1a2 … an-1+… + a2a3… an);
… .
an-2= a1a2+ a1a3+… + an-1an ;
an-1= -(a1+ a2+… +an);
эти соотношения называются формулами Виета. Однако, справедливости ради, надо отметить, что Виет нашел эту зависимость только для случая положительных корней, в общем виде эта теорема установлена А. Жирарое.
Вопрос 12
Кольцо многочленов над полем действительных чисел (R).
В алгебре имеет место теория многочленов. Многочлен введен по определению как выражение f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, где ai
ÎK – кольцо, x0=1, 1·x= x. Введение операций “+” и “´” многочленов позволило построить алгебру многочленов, которой является кольцо многочленов над кольцом К и обозначается К[x]. Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца К взято поле. Такими числовыми полями являются C, R, Q.
В силу существования операции деления в поле, стало возможным рассматривать два взаимосвязанных вопроса в теории многочленов: корни многочлена и разложение многочлена на неприводимые многочлены.
Рассмотрим решение этой проблемы для кольца многочленов над R.
Теорема 1. Комплексные корни f(x)
ÎК[x], то есть с действительными коэффициентами попарно сопряженными.
n Пусть f(x)
ÎК[x], и пусть z=a+bi; a,b
ÎR комплексное число, являющееся корнем f(x), причем degf(x)³2 в противном случае f(x) комплексных корней иметь не может. Покажем, что =a–bi, b
¹0 тоже является корнем f(x).
f()=ann+an-1n-1+...+a1+a0= (воспользуемся свойством сопряжения) = =, то есть является корнем f(x), что и требовалось доказать.
Рассмотренная выше теорема позволяет доказать теорему о неприводимом многочлене из R[x]. Напомним определение приводимого и неприводимого многочленов.
f(x) называется неприводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени и неприводимым, если этого сделать нельзя.
Рассмотрим f(x)= a1x+a0, ai
ÎR. его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени в силу того, что 1=1+0=0+1.
Решать будем вопрос о приводимости и неприводимости многочлена f(x)
ÎR[x] степени большей или равной 2.
Теорема 2. Неприводимый многочлен f(x)
ÎR[x], degf(x)=n
³2 ассоциирован с многочленами (x-a)2+b2, где x=a+bi комплексный его корень.
n Пусть f(x)
ÎR[x], degf(x)=n
³2, пусть x=a+bi, b
¹0 – корень f(x), он неприводим.
Прежде всего отметим, что у такого многочлена нет действительных корней, иначе бы f(x)=(x-a) f1(x) (следствие из теоремы Безу), что противоречило бы его неприводимости.
По теореме о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами f(x) обладает еще одним корнем x2=a–bi, где x2=.
Рассмотрим (x-x1)(x-x2)=(x-a)2+b2. (*)
Разделим f(x) на многочлен (*), получим:
(1) f(x)=[(x-a)2+b2]g(x)+r(x).
Так как степень делителя равна 2, то degr(x), то есть r(x)=cx+d. Подставим в (1) x1=a=bi и x2=a-bi, мы получим:
Так как b
¹0, то c=0, тогда d=0, то есть r(x)=.
Это означает, что f(x)M
(*). Но f(x) – неприводим, потом deg g(x)=0, то есть g(x)Î
R. Что и подтверждает ассоциированность f(x) и (*).
Теорема 3.Рассмотренная выше теорема позволит сделать ряд выводов:
1. Неприводимыми многочленами над R могут быть многочлены не выше второй степени.
2. Многочлен f(x)Î
R[x], degf(x)
³
1может быть представлен в виде:
, где если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде (*):
, где Si – кратности корней, а tj – кратности сопряженных мнимых его корней. Представление (*) называется каноническим представлением f(x).
Теорема 4.Теоремы (1), (3) позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени.
Вопрос 13.Кольцо многочленов над полем рациональных чисел (Q).
Теория многочленов утверждает, что множество многочленов f(x) = an xn + …+ a1 x + a0,
где ai ∈K – кольцо, x0=1, x∈
K, 1∙x=xс операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают K[x].
Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P. В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов. Рассмотрим, как решается эта проблема в Q[x].
Напомним, что корнем f(x) называется такое число x=a, что f(a)=.
f(x) называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым.
Итак, пусть Q[x], f(x)∈
Q[x], где f(x) = an xn + …+ a1 x + a0…(1), сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней f(x)∈
Q[x] рассматривают именно для такого варианта, т.е. f(x)∈
Q[x], а ai ∈Z.
Теорема 1:Если ∈
Q, где (p,q)=1, является корнем многочлена (1)… f(x) = an xn + …+ + a1 x + a0, ai ∈Z, то p является делителем свободного члена, а q-делителем старшего коэффициента an.
■ Если ∈
Qкореньf(x), то f =0. Подставим в (1) вместо x, получим
0= an + …+ a1+ a0, приведём к общему знаменателю, получим
0= an pn + an-1 pn-1 q+…+ a1 p qn-1 + a0 qn …(2).
Преобразуем (2):
2.1:0 = an pn + q(an-1 pn-1 +…+ a1 p qn-2 + a0qn-1) ⇒an pn + q Q∶q, qQ∶q
⇒an pn ∶q, (p,q)′→ an∶q, т.е. q-делитель старшего коэффициента;
2.2: = p(an pn-1 +…+ a1 qn-1 ) + a0qn) ⇒ pQ+ a0 qn∶p, pQ∶p, ⇒
a0qn∶p, (q,p)=1 ⇒
a0∶p, т.е. p-делитель свободного члена, что и доказывает теорему.
Следствие 2:Если f(x)∈
Q[x], а ai ∈
Z, an=1, то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена.
Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что an=1, а делители 1 являются только ±1, следовательно, q=±1 и ∈Z. Т.к. = ± p
∈Z находятся среди делителей, то утверждение верно.
продолжение
--PAGE_BREAK--