Федеральное агентствопо образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
ВятскийГосударственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Восьмиэлементные ассоциативные кольца
Выполнил: студент V курса математического факультетаКасьянов А.А.
_________________________
Научный руководитель: д.ф.-м.н.,профессор, зав. кафедры алгебры и геометрии
Вечтомов Е.М.
_________________________
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент
Чермных В.В.
_________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой________________ ВечтомовЕ.М.
« »___________
Декан факультета_____________ ВаранкинаВ.И.
« »___________
/>Киров 2005
Содержание
Введение… 3
§1. Абелевы группы посложению… 5
§2. Кольца, образованныеаддитивной группой />… 8
§3. Кольца, образованныеаддитивной группой />… 10
Библиографический список… 11
Приложение… 12
Введение
Понятие кольца появилосьв математике в конце XIXвека. Первыми примерами ассоциативных колец были числовые кольца, т.е.подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Каксамостоятельная область алгебры, теория ассоциативных колец оформилась к началуXX века. Из этой теории выделились всамостоятельные области алгебры теории коммутативных колец, тел, алгебр.
Дадим основные понятия,которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Аддитивной абелевойгруппой /> называется алгебра сбинарной операцией + (сложение), удовлетворяющей следующим аксиомам:
1) сложение ассоциативно, т.е. />;
2) в G существует нейтральный элемент 0 (ноль) такой, что />;
3) в G для любого элемента существует противоположный элемент, т.е. />;
4) Сложение коммутативно: />;
Мультипликативнойполугруппой /> называется алгебра сбинарной операцией /> (умножение), удовлетворяющаязакону ассоциативности: />; (вдальнейшем мы будем писать ab,и иметь ввиду произведение элементов aи bв G.
Кольцом называетсяалгебра /> с двумя бинарнымиоперациями сложения и умножения, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) относительно сложения кольцо являетсяабелевой группой;
2) относительно умножения – этополугруппа;
3) выполняются законы дистрибутивности: /> и />;
Данная дипломная работапредставляет собой изложение методики изучения определенных конечных алгебр. Внастоящее время изучение конечных алгебр производится с помощью компьютера.Задача данной дипломной работы состоит в отыскании всех восьмиэлементныхассоциативных колец. Для этого мы сначала находим все абелевы группы из восьмиэлементов, а затем для каждой такой группы строим соответствующие полугруппы поумножению, и получаем искомые кольца.
Всего абелевых групп посложению, с точностью до изоморфизма, будет три: />,/>, и />. Для группы />, кольца находятся вручную.Для нахождения колец по остальным двум группам нужно использовать компьютер,так как количество всевозможных полугрупп по умножению будет велико и,соответственно, отбор восьмиэлементных колец без привлечения вычислительноймашины займет очень много времени.
В результате получаем,что всего существует с точностью до изоморфизма 392 восьмиэлиментных кольца.
Для работы с абелевымигруппами и полугруппами по умножению, а также для представления их вкомпьютере, будем пользоваться таблицами Кэли. Таблицей Кэли называетсяквадратная таблица произвольной алгебры, задаваемая для определённой бинарнойоперации. Заглавная строка таблицы заполняется в некотором порядке символами,обозначающими различные элементы, теми же символами и в том же порядкезаполняется главный столбец. Если алгебра обладает нейтральным элементом, тоэтот элемент, как правило, помещается на первом месте. Если на i-м месте в заглавном столбце стоитсимвол ai, и на j-м месте в заглавной строке – символ aj, то на пересечении i-ой строки и j-го столбца записывается символ, обозначающий результатоперации элементов ai и aj. В нашем случае мы не будем писатьзаглавные строки таблицы, подразумевая, что элементы пронумерованы числами от 0до 7. Мы будем использовать таблицы Кэли без заглавных строки и столбца.
§1.Абелевы группы по сложению
Как уже было сказано выше,всего восьмиэлементных аддитивных абелевых групп с точностью до изоморфизма три:/>, />, и />.
Представим каждую изтаких групп в виде таблиц Кэли. Для группы /> элементыпредставим числами от 0 до 7. Элементы для групп /> и/> обозначим следующимобразом:
/>
/>
0º (0,0)
1º (1,0)
2º (2,0)
3º (3,0)
4º (0,1)
5º (1,1)
6º (2,1)
7º (3,1)
0º (0,0,0)
1º (1,0,0)
2º (0,1,0)
3º (0,0,1)
4º (1,1,0)
5º (1,0,1)
6º (0,1,1)
7º (1,1,1)
Таким образом, группыбудут иметь следующий вид:
/>
/>
/>
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 0
2 3 4 5 6 7 0 1
3 4 5 6 7 0 1 2
4 5 6 7 0 1 2 3
5 6 7 0 1 2 3 4
6 7 0 1 2 3 4 5
7 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 5 6 7 4
2 3 0 1 6 7 4 5
3 0 1 2 7 4 5 6
4 5 6 7 0 1 2 3
5 6 7 4 1 2 3 0
6 7 4 5 2 3 0 1
7 4 5 6 3 0 1 2
0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 4 5 2 3 7 6
2 4 0 6 1 7 3 5
3 5 6 0 7 1 2 4
4 2 1 7 0 6 5 3
5 3 7 1 6 0 4 2
6 7 3 2 5 4 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0
Затем, для каждой такойгруппы, мы будем строить полугруппы по умножению, пользуясь также таблицамиКэли. Для группы /> таких полугруппбудет всего 8, так как нам достаточно определить чему равно произведение 1·1. На место этого произведения мыможем поставить один из 8 элементов (от 0 до 7), а все остальные элементы будутопределяться однозначно, согласно дистрибутивному закону. Ассоциативностьумножения будет выполнятся, так как умножение сводится к сложению. Кроме того,умножение будет коммутативно. Таким образом, после вычеркивания изоморфных, мыполучим 4 кольца с абелевой группой по сложению />:
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7
0 2 4 6 0 2 4 6
0 3 6 1 4 7 2 5
0 4 0 4 0 4 0 4
0 5 2 7 4 1 6 3
0 6 4 2 0 6 4 2
0 7 6 5 4 3 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 4 6 0 2 4 6
0 4 0 4 0 4 0 4
0 6 4 2 0 6 4 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 4 6 0 2 4 6
0 4 0 4 0 4 0 4
0 6 4 2 0 6 4 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 4 0 4 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 4 0 4 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 4 0 4 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 4 0 4 0 4 0 4
В случае с группой /> в полугруппе по умножениюуже будет 4 независимых произведения, т.е. это такие элементы в таблице Кэлидля полугруппы по умножению, на которые мы можем поставить любой из элементов от0 до 7. Соответственно всего различных колец без учета ассоциативности и вычеркиванияизоморфных будет 84. Проверка ассоциативности умножения и выделениеизоморфных колец осуществляется программным способом. Чтобы найти кольцо,изоморфное данному, нужно сначала найти все автоморфизмы абелевой группы посложению, а потом этими преобразованиями подействовать на полугруппы поумножению, и соответственно получившиеся одинаковые кольца вычеркнуть.Автоморфизмы группы /> будем искатьвручную. Выделим в данной группе элементы 1, 3, 5, 7 – элементы четвертогопорядка. Остальные элементы будут выражаться через них: 4=1+7, 6=1+5, 2=4+6 –это элементы второго порядка. Пары элементов 1º(1,0), 3º(3,0) и 5º(1,1), 7º(3,1) – противоположные друг другуэлементы. Нам достаточно посмотреть, как будут вести себя элементы четвертогопорядка при автоморфизмах. Это будут 6 взаимнооднозначных отображений, в томчисле и тождественное, которые переводят данную группу в себя:
1®3
3®1
5®7
7®5
4®4
6®6
2®2
1®1
3®3
5®7
7®5
4®6
6®4
2®2
1®3
3®1
5®5
7®7
4®6
6®4
2®2
1®5
5®1
3®7
7®3
4®4
6®6
2®2
1®7
7®1
3®5
5®3
4®4
6®6
2®2
Колец с абелевой группойпо сложению /> будет 89, таккак независимых элементов в полугруппе по умножению будет 9. Нужные нам кольца,мы будем искать аналогично предыдущему случаю. Только автоморфизмы даннойгруппы мы будем искать другим способом. Заметим, что группа /> является трехмерным векторнымпространством над полем Z2и базисом группы мы назовем любой еебазис, как векторное пространство над Z2. Данная группа задается некоторыми тремя элементами –базисом группы, а остальные элементы выражаются через данный базис. К примеруначальный базис: (1,2,3). Соответственно: 4=1+2, 5=1+3, 6=2+3, 7=1+2+3. Такимобразом, количество всех базисов – это количество всевозможных упорядоченныхтроек из данных семи элементов, за исключением таких троек, которые базис необразуют, на пример: (1,2,4), так как 4=1+2. Количество всех базисов – это ибудет количество всех автоморфизмов данной группы. Сначала найдем всевозможныенеупорядоченные тройки из 7 элементов, которые образуют базис. Получим 28 такихтроек. Чтобы найти все базисы, нужно каждую найденную тройку, упорядочить, т.е.28·6. Таким образом получаем 168различных базисов.
§2.Кольца, образованные аддитивной группой />
Для нахождения колец, сабелевой группой по сложению /> мыбудем использовать программу на языке Pascal (Приложение 1). Принцип работы программы следующий:
1) Находим все полугруппыпо умножению, так, чтобы выполнялась дистрибутивность;
2) Проверяем каждуюполугруппу на ассоциативность, и, соответственно, ненужные вычеркиваем;
3) Находим изоморфныекольца следующим образом: а) берем первую полугруппу по умножению и действуемна нее автоморфизмами для аддитивной абелевой группы; б) находим получившиесяполугруппы среди остальных, и вычеркиваем их из общего списка; в) затем беремследующую не вычеркнутую полугруппу и проделываем операции а)-б).
Поясним пункт а). Пусть f – автоморфизм группы />. Берем мультипликативнуюполугруппу соответствующего кольца,представленную таблицей Кэли. Тогда через fA,*> обозначим мультипликативную полугруппу на />, полученную следующимобразом. Для любых a,bÎ/> полагаем a*b=f(f–1(a)·f–1(b)). При этом кольца и fA,*,+> изоморфны.
Таким образом, мы получим33 кольца с абелевой группой по сложению /> имультипликативными полугруппами: