Дедукция(в сравнении с индукцией) обладает меньшей эвристической силой. Однакоотождествлять дедуктивные доказательства с догматической формой изложения всеже не следует. Дедуктивное доказательство объясняет изучаемый факт; впедагогических целях оно может быть дополнено элементами разъяснений,мотивировок, указаний на общее направление рассуждения, краткой аргументациейвыбора математического метода и т.д.
Дедукция(от лат. deductio-выведение) в широком смысле представляет собой формумышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в неммысль) выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правиламлогического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Впервыетеория дедукции (логического вывода) была разработана Аристотелем. Эта теорияразвивалась, совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие сучетом потребностей математики она получила в виде теории доказательства вматематической логике.
Дедуктивноерассуждение (умозаключение) отличается от индуктивного или рассуждения поаналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключениеистинно, по крайней мере когда истинны все посылки. В отличие от индукции (неполной)и аналогии в дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное заключение изистинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются вматематических доказательствах (доказательствах математических предложений).
Широкоеприменение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построенияматематических теорий.
Аксиоматическийметод по существу представляет собой своеобразный метод установления истинностипредложений математической теории, состоящий в следующем: некоторые предложения,выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними,принимаются за истинные. Это исходные предложения, или аксиомы теории.Истинность же остальных предложений, теорем этой теории, устанавливается спомощью дедуктивных доказательств, т. е. все остальные предложения теориилогически выводятся (дедуцируются) из предшествующих им предложений, т. е. изаксиом, определений и ранее доказанных теорем. Вот почему математику и называют«дедуктивной» наукой (в ней все выводится, «дедуцируется»из некоторых исходных фактов, выраженных в аксиомах).
Дедукциякак метод обучения математике включает:
1)обучение дедуктивным доказательствам и
2)обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или спомощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в системупредложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученныйфрагмент теории.
Рассмотримэти два аспекта дедукции как метода обучения.
1)Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поискаи построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовыхдоказательств. В таком понимании это педагогическая задача первостепенногообщеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамкиматематического образования. Учить доказывать означает прежде всего учитьрассуждать, а это одна из основных задач обучения вообще. Что же касаетсязначимости этой задачи для усвоения математических знаний, то она соразмерназначимости доказательства в самой математике.
Поискдоказательств осуществляется средствами, отличными от дедуктивных, и вопрос обобучении поиску доказательства будет предметом следующего параграфа.
Обучениепоиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами:«Что?», «Откуда?», «Как?»
а)Что? — что доказывается? Каково «доказываемое» предложение, длякоторого мы ищем доказательство? Как оно формулируется? Все ли понятно в этойформулировке? Нельзя ли иначе формулировать доказываемое предложение? Что«дано»? Что «требуется доказать»? Это далеко не полныйперечень вопросов, которые мы объединяем в одном вопросе «Что?». Онисвязаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его кболее удобному для выяснения условий и заключения виду. Например, представлениедоказываемых предложений в виде импликаций с использованием связки«если..., то...» облегчает учащимся выявление того, что«дано» (предложение, записанное между словами «если» и«то») и что «требуется доказать» (предложение, записанноепосле слова «то»). Например, расчленение теоремы «Вертикальныеуглы равны» на условие и заключение обычно -вызывает затруднения уучащихся, но эти затруднения сразу устраняются, если сформулировать теорему ввиде импликации: «Если углы вертикальные, то они равны». Аналогичнотеорема «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» представляется вформе «Если параллелограмм — ромб, то его диагонали взаимноперпендикулярны», в которой легко определить условие и заключение.
Необходимовыяснять все условия теоремы. Так, мы не сможем доказать, что среднееарифметическое двух чисел больше их среднего геометрического, если не учтем,что это верно лишь для двух положительных и неравных между собой чисел. Этоподчеркивается в следующей записи этой теоремы в виде импликации: />
б)Откуда? — откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемоепредложение? Из каких уже известных истинных предложений данной области(аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы«вывести» это предложение?
Ответна этот вопрос требует концентрации внимания на содержании условий и заключениядоказываемого предложения с целью выделения тех уже известных предложений,которые как-то связаны с этими условиями. Совокупность этих предложенийсоставляет базу для поиска доказательства. Эти совокупности могут бытьразличными, указывая на различные направления поиска, приводящие к различнымдоказательствам одной и той же теоремы. Например, готовясь к доказательствутеоремы о трех.перпендикулярах, мы можем выделить (вспомнить) совокупностьизвестных предложений, связанных с перпендикулярностью прямой и плоскости(определение, признак), но можем также думать о предложениях, связанных сперпендикулярностью векторов. В результате мы получаем два направления поиска идва различных доказательства теоремы о трех перпендикулярах.
в)Как? — как доказываемое предложение получается (выводится) из ранее известныхпредложений (аксиом, определений, теорем)?
Этотвопрос находит в массовой практике обучения простой ответ: «С помощьюрассуждения». Так разъясняется понятие доказательства в ныне действующих ипробных учебных пособиях по геометрии для VI-Х классов школы. Этим разъяснениеминтуитивное понятие доказательства сводится к другому интуитивному же понятиюрассуждения, которое, по-видимому, считается более ясным. Однако вряд ли слово«рассуждение» говорит учащимся намного больше, чем слово«доказательство», не говоря уже о том, что не всякое рассуждениеможет служить доказательством (имеет доказательную силу).
Можнопредполагать (и некоторые эксперименты подтверждают), что по вопросу о том, какмы рассуждаем, можно подняться в школьном обучении (по крайней мере в школах суглубленным изучением математики или на факультативных занятиях) на болеевысокий уровень, можно достичь некоторого прогресса в понимании того, что такоедоказательство, в уточнении этого понятия.
Выделимв обучении доказательству два основных уровня. На первом уровне (IV-VII классы)используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода невыявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того,«что доказывается» и «из чего это следует», но не «какэто следует». На этом уровне доказательство рассматривается вообще какрассуждение, с помощью которого истинность одного (доказываемого) предложенияустанавливается на основе истинности других предложений.
Навтором уровне (в старших классах, на факультативных занятиях или в школах суглубленным изучением математики) учащимся могут быть разъяснены простейшиеправила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства. Это уточнениедостигается с помощью представления доказательства в определенной, стандартнойформе, поддающейся точному описанию. На этом уровне учащимся становитсядоступным анализ доказательства, выявление его логической структуры,используемых в нем правил вывода, запись содержательного доказательства в полнойлогической форме, т. е. его формализация.
Разумеется,в практике обучения всегда применялись и будут применяться содержательныедоказательства, представленные в виде обычных рассуждений и уровень строгостикоторых адекватен возможностям учащихся. Этот уровень должен естественнымобразом повышаться от класса к следующему в соответствии с развитием этихвозможностей (а не наоборот, как это наблюдается в некоторых учебных пособиях,в которых уровень строгости доказательств в VI классе выше, чем в IX).
Впрактике обучения учитель, как правило, сам доказывает в классе каждуюподлежащую изучению теорему (а то и дважды или даже трижды повторяет ее). Такойметод ориентирован главным образом на запоминание учащимися доказательствопределенных теорем, и вряд ли можно таким методом научить учащихся доказывать.Сочетая же этот метод с методом обучения поиску доказательства, мы научим ихдоказывать. Сам же поиск доказательства, как и всякий поиск, требуеттворческого мышления и развивает его. Поэтому метод обучения поискудоказательства усиливает влияние обучения на умственное развитие учащихся, наразвитие их творческого мышления.
2)В процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов)открываем, что при условии А имеет место некоторое свойство В. В таком случаепредстоит доказать теорему, имеющую вид импликации А/>В, где А — условие, а В — заключение теоремы.
Последоказательства теоремы А/>В изученный фрагмент теории,например геометрии, расширяется, включая и это предложение, которое вдальнейшем уже может использоваться в качестве одной из посылок придоказательстве других, новых теорем.
Однакорасширено фрагмента теории только одним предложением, характерное дляустановившейся методики обучения, не является наиболее рациональным способомпродвижения в теорию, расширения знаний применением дедукции в качестве методаобучения. Во-первых, этот способ не отражает специфики метода дедукции в самойматематике. При описании реальных ситуаций, как правило, получают не однопредложение, а совокупность предложений, которая впоследствии исследуется сцелью логического упорядочения, превращения в «маленькую» теорию,присоединяемую к уже изученному (построенному) фрагменту «большой»теории. Во-вторых, обычное использование дедукции в обучении нерационально,малоэффективно и с дидактической точки зрения. Выдвигаемый в методическойлитературе тезис обучения «укрупненными блоками» применительно кдедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означаетпродвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями,описывающими определенные ситуации, фигуры и т. п.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта pedagogika.by.ru/