Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла
10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:
/>тощо.
Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Визначений інтеграл />введений для випадку, коли ab.
20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
/>
30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:
/>(33)
Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.
40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність
/>(34)
(адитивність визначеного інтеграла).
Припустимо спочатку, що a
/>.
Переходячи в цій рівності до границі при />, дістанемо формулу (34).
Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.
Якщо, наприклад, a
/>
На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли />/>і a
Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a(рис.7.6)
Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо
/>
де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій.
/>
Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при ab то все формулюється навпаки .
Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом
/>
50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла
/>(35)
Дійсно
/>
60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:
/>(36)
Для довільного τ – розбиття маємо
/>
Звідси, переходячи до границі при />дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.
Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.
70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо />, то
/>(37)
(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).
Оскільки
/>
то будь-яка інтегральна сума і її границя при />, теж невід’ємна.
80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо />, то
/>(38)
(монотонність визначеного інтеграла).
Оскільки />то з нерівності (37) маємо
/>
Використовуючи властивість 40, дістанемо нерівність (38).
Якщо />то властивість 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа криволінійної трапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b.
90. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a
/>(39)
Застосовуючи формулу (38) до нерівності
/>
дістаємо
/>
Звідки й випливає нерівність (39).
/>
100. Якщо />то
/>(40)
Скориставшись формулами (39) та (35), дістанемо
/>
Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки
/>(41)
110. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a
/>(42)
(оцінки інтеграла по області).--PAGE_BREAK--
За умовою />
/>
тому з властивості 70 маємо
/>
Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (35) і (41), дістаємо нерівність (42).
Якщо />, то властивість 110 ілюструється геометрично (рис. 7.8): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b.
120. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що
/>(43)
(теорема про середнє значення функції).
Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (42) дістанемо (якщо a
/>
Покладемо
/>
Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M] (п. 5.3, гл. 4). Отже, існує точка />така, що />, або
/>(44)
звідки й випливає дана властивість.
Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла />, ф потім, переставивши границі. Приходимо до попередньої формули.
Рівність (44) називається формулою середнього значення, а величина f(c) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].
Теорема про середнє значення при />має такий геометричний зміст (рис. 7.9.): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.
Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п.2.2), то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).
130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.
/>
Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл />навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка[a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.