Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственный технический университет
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
2007
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных, или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
положительное направление, указываемое стрелкой;
масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно–однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное действительное число ׀x׀, определяемое следующим образом: ׀x׀= x, если x ≥ 0, и ׀x׀= –x, если x
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
Переменная величина называется упорядоченной, если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
– M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x׀≤ M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y.
Переменная x называется в этом случае аргументом, или независимой переменной, а множество X – областью определения функции.
Запись y= f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x= a обозначают через f(a).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал(открытый промежуток) (a, b), т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию axb; сегмент(отрезок илизамкнутыйпромежуток) , т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a≤ x≤ b; полуинтервал(т.е. ax≤ b) или (т.е. a≤ xb); бесконечный интервал(a,+ ∞) (т.е. axb) (т.е. – ∞ xb) или (– ∞, + ∞) (т.е. – ∞ x
Графикомфункции y= f(x)называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y= f(x).
Функция f(x)называется чётной, если />для любого значения x. График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной, если />для любого значения x. График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция f(x)называется периодической, если существует такое положительное число T, называемое периодомфункции, что для любого значения xвыполняется равенство .
Наименьшимже периодомфункции называется наименьшее положительное число τ, для которого f(x+ τ) = f(x)при любом x. Следует иметь в виду, что f(x+ kτ) = f(x), где k– любое целое число.
Функции задаются:
аналитически (в виде формулы), например, />;
графически (в виде графика);
таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:
Степенная функция: />, где α – действительное число.--PAGE_BREAK--
Показательная функция: , где a> 0, a≠ 1.
Логарифмическая функция: , где a> 0, a≠ 1.
Тригонометрические функции: y= sinx, y= cosx, y= tgx, y= ctgx,
y = sec x, y = cosec x.
Обратные тригонометрические функции:
y = arcsin x, y= arccos x, y= arctg x, y= arcctg x, y= arcsec x,
y= arccosec x.
Если y является функцией от u, а u есть функция от x, то y также зависит от x. Пусть y = F(u), u = φ(x). Тогда y = F(φ(x)). Последняя функция называется функцией от функции, или сложной функцией. Например, y = sin u, u =. Функция y = sin () есть сложная функция от x.
Элементарной функциейназывается функция, которая может быть задана одной формулой вида y= f(x), где выражение f(x)составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y= ׀x׀= />; ; .
Пример 1. Найти />, если .
Решение. Найдём значения данной функции при x= aи x= b:
/>,.
Тогда получим
/>
Пример 2. Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
а) б) />; в) ;
г) />.
Решение. а) Так как , то />
т.е. f(– x) = – f(x).Следовательно, функция нечётная.
б) Имеем , т.е.
f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь , т.е.
f(– x) = f(x).Следовательно, функция чётная.
г) Здесь . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Пример 3. Найти область определения функции .
Решение. Функция />определена, если 2x– 1 ≠ 0, т.е. если . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов: />
Пример 4. Найти область определения функции .
Решение. Функция определена, если x– 1 ≠ 0 и 1+ x> 0, т.е. если x≠ 1 и x> – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞).
Пример 5.Найти область определения функции
/>
Решение. Первое слагаемое />принимает вещественные значения при 1 –2x≥ 0, а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем
/>Следовательно, областью определения будет сегмент
/>.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
При построении графиков функций применяются следующие приёмы:
а) построение «по точкам»;
б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);
в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение).
Исходя из графика функции y= f(x), можно построить графики функций:
1) y= f(x– a) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a;
2) y= f(x)+ b– тот же график, сдвинутый вдоль оси Oyна величину b;
3) y= A· f(x) – исходный график, растянутый в Aраз вдоль оси Oy;
4) y= f(kx) – тот же график, сжатый в kраз вдоль оси Ox.
Таким образом, можно по графику функции y= f(x) построить график функции вида . продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рис. 1
Пример 6. Построить график функции y= 2x+ 1 + cosx.
Решение. График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y= 2x+ 1, y= cosx. График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1).
Пример 7. Построить график функции />
Решение. При xx≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2.
/>
Рис. 2
Пример 8. Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или />
Решение. Здесь />Исходный график y= sinx. Затем строим график функции y= sin2xпутём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции />путём сдвига />вправо и, наконец, искомый график функции y= 2 sin(2x– 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3).
/>
Рис.3
ПРЕДЕЛЫ
Число аназывается пределом последовательностиесли для всякого сколь угодно малого положительного числа εнайдётся такое положительное число N, что />при n> N.
/>
Число A называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f(x) – A׀
.
/>
/>
где M– произвольное положительное число .
В этом случае функция f(x)называется бесконечно большойвеличиной при x→ a.
/>
/>величиной при x→ a.
Если xaи x→ a, то условно пишут x→ a– 0; если x> aи x→ a, то пишут x→ a+ 0.
/>
/>
деломфункции f(x) в точке a.
/>
/>
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
/>
/>
/>
/>
4)/>
5) />при (/>)
Используются также первый и второй замечательные пределы:
1)/>
2)/>
Логарифм числа xпо основанию eназывается натуральнымлогарифмоми обозначается lnx.
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
/>
/>
Пример 9. Показать, что при n→∞ последовательность имеет пределом число 2.
Решение. Здесь n–й член последовательности />. Следовательно, />. Зададим заранее положительное число ε.Выберем nнастолько большим, что будет выполняться неравенство 1/nn> 1/ε. При таком выборе nбудем иметь . Следовательно, />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 10. Показать, что при n→ ∞ последовательность 7/3, 10/5,
13/7,..., (3n+ 4) /(2n+ 1),… имеет пределом число 3/2.
Решение. Здесь />3/2 = (3n+ 4) /(2n+ 1) – 3/2 = 5/ . Определим, при каком значении nвыполняется неравенство
5/ ; так как 2(2n+ 1) > 5/ε, то n> 5/4ε –1/2.
Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство />выполняется при n> 12 (например, при n= 13).
Неравенство выполняется при n> 124,5 (например, при n= 125).
Неравенство />выполняется при n> 1249,5 (например, при n= 1250).
Пример 11.
/>
Решение. Так как x→ 4, то числитель дроби стремится к числу
5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.
/>
Пример 12.
/>
Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при
x→ ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида />.
Разделив на xчислитель и знаменатель дроби, получаем
/>
/>
Пример 13.
/>
Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при
x→ 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида />.
/>
/>
/>
/>
Пример 14.
/>
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
/>
/>
Пример 15.
/>
Решение. Имеем
/>
/>
Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и
/>
Пример 16.
/>
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
:
/>
/>
Пример 17.
/>
Решение. Положим , тогда
/>
Пример 18.
/>
Решение. Имеем
/>
Пример 19.
/>
Решение. Имеем
/>
Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв
/>
Пример 20.
/>
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т.е. на :
/>
Пример 21.
/>
Решение. Разделим числитель и знаменатель на />:
/>
Пример 22.
/>
Решение. Умножим и разделим рассматриваемое выражение на
/>:
/>
/>
/>
/>
/>
Пример 23.
/>
Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
/>
Таким образом,
/>
/>
/>
так как
/>
то
/>
Приняв во внимание, что
/>
Пример 24. Найти левый и правый пределы функции
/>
при x→ 3.
Решение. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
Пример 25. Найти левый и правый пределы функции при
x→ a.
Решение.
/>
/>
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует; 3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.
/>
Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), можно условие непрерывности записать так:
/>
тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.
Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
Если существуют конечные пределы:
/>
причём не все три числа равны между собой, то аназывается точкой разрываI рода.
В частности, если левый и правый пределы функции в точке аравны между собой: , но не равны , то аназывается устранимой точкой разрыва.
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.
Пример 26.
/>
Решение. Находим
/>
Таким образом, функция при />не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, />является точкой разрыва II рода (рис. 4).
Пример 27.
/>
Решение.
/>
/>
Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, />является точкой разрыва I рода.
/>
Рис. 4 Рис. 5
Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода
/>
(рис. 5).
Пример 28.
/>
Решение. В точке функция не определена, так как, выполнив
/>
может быть сокращена на , так как />. Следовательно, при
/>Легко видеть, что />
Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при
/>
/>
/>при всех значениях x,не исключая и />. В этом случае графиком функции будет прямая линия .
Пример 29. Доказать, что функция />непрерывна в точке />.
Решение. Находим
/>
/>.
/>
/>
Значит, функция непрерывна в точке />.
Пример 30. Исследовать на непрерывность функцию
/>
и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва.
Решение. Знаменатель />при обращается в ноль, и значит, />при не существует. Следовательно, />точка разрыва функции.
Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при />.
/>
/>
/>
/>
Таким образом, пределы функции слева и справа при равны между собой, но в точке />функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6
/>
Рис. 6
Доопределив функцию в точке , положив />, получим непрерывную функцию
/>