Курсовая работа
по дисциплине“Эффективные алгоритмы исследования моделей естествознания”
на тему: «Асимптотическиерешения дифференциальных уравнений по малому параметру. Регулярные возмущения»
Содержание
Ведение
Применения регулярноговозмущения
1. Асимптотическоеповедение решений дифференциальных уравнений с малым параметром
1.1 Асимптотическоеповедение решений системы
2. Регулярныевозмущения
2.1 Асимптотические методы
2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши дляобыкновенных дифференциальных уравнений
2.3 Существование решении возмущенной задачи
Литература
Ведение
Невозможно представить себе современную науку без широкого примененияматематического моделирования. Сущность этой методологии состоит в заменеисходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшемизучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логическихалгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектированиясочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не ссамим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможностьбезболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать егосвойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то жевремя вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты смоделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительныхметодов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучатьобъекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам(преимущества эксперимента).
Неудивительно, что методология математического моделирования бурноразвивается, охватывая все новые сферы — от разработки технических систем иуправления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.
Сейчас математическое моделирование вступает в третийпринципиально важныйэтап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационногообщества.
Применениярегулярного возмущения
Выходныепучки лазеров часто имеют квазирегулярную модуляцию волнового фронта (ВФ). Вгазовых лазерах с движущейся активной средой такую модуляцию могут вызыватьнеоднородности, возникающие под действием периодической сопловой решетки [1],под влиянием страт и доменов в газовом разряде [2], в результате наложенияударных волн [3,4], а также под действием ряда других физических факторов.Модуляция ВФ выходных лазерных пучков в литературе чаще всего рассматриваетсякак фактор, влияющий, прежде всего на расходимость излучения.
Гораздоменьше внимания уделяется анализу метаморфоз структуры ВФ, условиям появления ивзаимосвязи каустических и фазовых дислокационных образований в лазерныхпучках. Такого рода образования регистрируются в излучении лазеров с самымиразными оптическими резонаторами [5,6]. В настоящей работе рассматриваютсякачественные изменения амплитудно-фазовой структуры лазерных пучков,первоначально обладающих плавной регулярной модуляцией ВФ.
Общеепредставление о характере рассматриваемых процессов можно получить на примереизвестной задачи [7] о распространении безграничной волны, фаза которой вначальной плоскости меняется по гармоническому закону. Амплитуда такой волныимеет следующий вид:
/>
где m — параметр,характеризующий глубину фазовой модуляции; х — поперечная координата; а — период модуляции. На расстоянии z от начальной плоскости поле можно представитьв виде суперпозиции плоских волн [7]:
/>
где /> - функцияБесселя порядка /> — волновое число. Это поле являетсячастным случаем самовоспроизводящихся полей, свойства которых нашли применениев лазерной технике [8,9]
Используя длярасчета характеристик поля его разложение по плоским волнам (2), а такжелучевой метод из работы [10], можно установить основные особенноститрансформации первоначального распределения амплитуды и фазы. Расчетыпоказывают, что даже при малой глубине модуляции фазы и равномерномраспределении интенсивности в начальной плоскости дифракционные эффектыприводят к значительному пространственному перераспределению интенсивности.
Перераспределениенаиболее заметно вблизи плоскостей /> Эти плоскости располагаются междуплоскостями, в которых, согласно эффекту Тальбо, воспроизводится первоначальноеравномерное распределение интенсивности. Так, при m = 0.1 контраст картиныраспределения интенсивности />, а при m = 0.5 контраст К = 2.82.С превышением определенной критической глубины модуляции в структуре волныпроисходят качественные изменения..
На рис.1приведены распределения амплитуды А и фазы Ф на расстояниях /> при разныхпервоначальных глубинах модуляции фазы. Видно, что при превышении критическойглубины модуляции появляются линии с нулевыми амплитудами. В распределении фазыим соответствуют КД, обусловленные скачкообразным изменением фазы на π. КДрасполагаются симметрично относительно осей клювообразных каустик. Клювыкаустик, находящиеся сначала вблизи плоскостей />, с дальнейшим увеличением глубиныфазовой модуляции приближаются к плоскостям воспроизведения первоначальнойструктуры. При этом растет и число КД.
Ихрасположение по отношению к образующим каустик соответствует рассчитанной наоснове интеграла Перси фазовой структуре поля, приведенной в работе [11].
/>
Рис. 1.Распределение амплитуды А (1,2) и фазы Ф (3,4) по поперечной координате х длябезграничной волны на расстоянии />/>стрелками указано положение клювовкаустик.
Продольнаяструктура распределения интенсивности излучения показана на рис. 2 для т = 1.2.Из него видно, что фазовая модуляция вызывает формирование каналов, вытянутыхвдоль направления распространения, в которых интенсивность излучениясущественно превышает среднюю. Оси этих областей совпадают с осями симметрииклювообразных каустик.
Если фазоваямодуляция в начальной плоскости осуществляется не по одной а по двум поперечнымкоординатам, то появляется возможность формирования винтовых дислокаций (ВД)волнового фронта. ВД отличаются от КД принципиально иной топологическойструктурой (при обходе вокруг ВД фаза меняется на 2п). На рис. 3, а приведенаструктура эквифазных линий ВФ в начальной плоскости когда распределение полязадается формулой
/>
Здесь функция/>)совпадает с функцией />при замене поперечной координаты хпоперечной координатой у С —константа.
Структураэквифазных линий в начальной плоскости на рис.3, а построена с помощью формулы(3) для С = 0.2 и m = 2. Ход линий свидетельствует о наличии плавных регулярныхвозмущений волнового фронта. На рис.3,6 изображена структура эквифазных линийна расстояниях
/>
ВДрасполагаются в точках пересечения эквифазных линий. Они образуют своеобразныеквадруполи каждый из которых состоит из четырех ВД. Две из них имеютположительный знак (являются «правыми»), две — отрицательный знак (являются«левыми»). Квадруполи окружают оси каустик.
/>
В отличие отКД каждая из которых строго говоря формируется в определенной плоскости z =const, ВД характеризуются определенной продольной длиной. Как и КД дислокациивинтового типа возникают лишь при превышении глубиной первоначальной модуляцииволнового фронта некоторого критического значения. Если обозначить через />разность междумаксимальной и минимальной фазами в начальной плоскости (при модуляции по однойкоординате /> совпадаетс ni) то ВД будут возникать когда />> />
/>
Всевышеперечисленные эффекты были проанализированы применительно кпространственно-ограниченному пучку с гауссовым профилем распределенияинтенсивности. В основу расчета была положена формула (2), в которой суперпозицияплоских волн была заменена системой распространяющихся под углом друг к другуraусовых мод свободного пространства [12]. Горловины мод располагались вначальной плоскости
Расчетыпоказали, что переход к более точной модели гауссова пучка с периодической модуляциейВФ не вносит существенных качественных изменений в данные о преобразованииамплитудно-фазового распределения, по крайней мере на расстояниях сопоставимыхс характерной длиной />. Как и в случае безграничнойволны дислокации ВФ начинают формироваться в ближней зоне, когда глубинамодуляции фазы превышает />. Сказанное иллюстрирует рис. 4,который является аналогом рис. 1 для гауссова пучка. Отношение радиуса пучка вгорловине /> кпериоду модуляции, а равно пяти.
/>
/>
Из сравнениярис. 1 и 4 видно, что имеющиеся в них различия проявляются в дифракционном«замывании» части дислокаций. Различия усиливаются с ростом координаты z помере того, как ухудшается периодическая воспроизводимость первоначальнойструктуры поля. Это видно, в частности, из рис. 5, на котором изображенопродольное распределение интенсивности для параметров />
Распределения,приведенные на рис.2 и 5, близки лишь в ближней зоне, для которой характерныузкие зоны, где концентрируется энергия светового потока. В дальней зонедифракции перекрытие гауссовых угловых компонент излучения ослабевает, иструктура излучения кардинальным образом отличается от структуры безграничнойволны: излучение представляет собой «веер» пучков, интенсивность которыхубывает с увеличением угла наклона.
Фазоваямодуляция гауссова пучка по двум поперечным координатам, если ее глубинапревышает указанную выше критическую глубину, приводит к появлению на волновомфронте БД. Как и в безграничной волне, эти БД обладают определенной продольнойдлиной, увеличивающейся с ростом глубины модуляции. Это свойство БД значительнооблегчает их экспериментальное обнаружение. В дальней зоне дифракции вследствиеизменения фазы в начальной плоскости по двум координатам будут формироватьсядва веера пучков, располагающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Заметим взаключение, что результаты выполненного анализа могут быть частично перенесеныи на случай нерегулярной плавной модуляции ВФ, если длина рассматриваемойпространственной области сопоставима с величиной аЦк, где ап — характерныйразмер нерегулярных возмущений ВФ. В частности, это относится к образованию всветовом поле каналов с повышенной интенсивностью и к появлению дислокацийволнового фронта при превышении фазовыми возмущениями определенного значения.
Такимобразом, плавные возмущения ВФ играют важную роль в трансформацииамплитудно-фазового профиля излучения и в формировании каустических идислокационных образований. Появление каустик и дислокаций волнового фронтаносит пороговый характер и непосредственно связано с глубиной первоначальноймодуляции фазы. Для практики важным является то, что появление указанныхобразований в лазерном пучке сопряжено с формированием узких каналов, в которыхинтенсивность излучения значительно превышает среднюю.
Работавыполнена при финансовой поддержке государственной научно-технической программы«Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физическогоучебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия».
1. Асимптотическоеповедение решений дифференциальных уравнений с малым параметром
Многие колебательные системы описываются дифференциальнымиуравнениями с малым параметром при производных:
/>
или, в векторной форме
/>
/>
/>
где /> — малый положительный параметр, />—неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.
В работах (х) — (5) находится асимптотикарешений системы (1.1) в случае, когда при каждом zлюбое решение системы«быстрых движений» **
/>
при />приближается либо к устойчивому положениюравновесия, либо к устойчивому предельному циклу.
/>
Но возможныслучаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотическиустойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова,например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этихслучаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находитсярешение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений»гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы
Асимптотические формулы для решения этой системы находятся дляобласти, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрыхдвижений» при каждом векторе zзамкнуты (в случае невырожденного центра врассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы(1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затемсистема (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений(1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производнойи с пропущенной в основном члене Q(п — 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым(при п — 2 — в работе (12Г), при F~ О — в 'работах (8)— (п)) методом конечных разностей, является частным случаем системы(1.3). Поэтому результаты работ (8) — (12) (этирезультаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.
/>
Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любойнаперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в формеразложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнениябыл дан в работе Ю.А. Митрополъским.
/>
Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ (3)— (4) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова[работы (8) — (12)] относительно уравнения (1.5) былапоставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова вЛенинграде в середине апреля 1957 г.
Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценныеуказания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.
1.1 Асимптотическое поведение решений системы
Система (1.3) в векторной форме имеет вид:
/>
/>
глк, в быстром времени
/>
При е = 0 система (2.1') переходит в гамильтонову систему
/>
являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучениесистемы (2.2). Пусть функции
/>
определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частнымипроизводными в некоторой области Gэвклидова пространства E2+iпеременных х, у, zi,..., zi. Как известно, система(2.2) имеет первый интеграл
/>
и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторийсистемы(2.2) на кажтгой плоскости z= const области G.
Возьмем некоторую точку (х, у, z) из G, не являющуюсяположением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования иединственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, черезэту точку пройдет только одна фазовая траектория системы
(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:
/>
(см. (2.3)).
Докажем следующее утверждение.
Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G. Тогда в пространстве E2+iсуществует некотораяокрестность Gэтой траектории (2.4) такая, что
1) фазовые траектории системы(2.2), проходящиечерез точки G, замкнуты и целиком лежат в G;
2) уравнение (2.3) при каждой паре (/г,z) определяет одну итолько одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;
3) на каждой фазовойтраектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать поодной точке />, гладко зависящей от
/>
В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, впространстве E2+iсуществует некотораяокрестность Gтраектории (2.4) (GdG), в которой выполняетсяусловие 1). Выделим из Gту окрестность траектории (2.4), в которойвыполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающуюкаждую плоскость z= const области G
о о по нормали в точке (х, у, z) к фазовой траекториисистемы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеетвид:
/>
Следовательно, точка (х, у, z, h) эвклидова пространства£"2+z переменных х, у, z, hудовлетворяет системе
/>
Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всемисвоими частными производными в области Г: (#, у, z) £ G, —ос
/>
отличен от нуля в точке (х, у, z, /г), так как точка (х,?/,z) не является положениемравновесия системы (2.2). Поэтому, по теореме о неявных функциях, в некоторойокрестности Г° точки (х, у, z, h) (Г°С Г) система (2.5)разрешима относительно х и у:
/>
причем
/>
являются однозначными функциями от /г, zi,..., zx, непрерывными по совокупностиэтих переменных вместе со всеми своими первыми частными производными.Следовательно, целые фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки
/>
составляют искомую окрестность G траектории (2.4). Пусть
/>
— решение системы (2.2) с начальными условиями
/>
/>
Решение (2.6) системы (2.2) является периодическим, поскольку описываетзамкнутую траекторию (2.3). Тогда, полагая получим:
/>
2. Изучение системы (2.1). Исследуем решение
/>
системы (2.1) с начальными условиями
/>
на конечном промежутке времени Uo, L]. Имеет место
/>
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции 1 />
определены и непрерывны в /> вместе со всеми своими частнымипроизвооными до второго'порядка включительно, а функции /> непрерывны в /> вместе со всеми своимипервыми частными производными. Тогда существует число такое, что при любом /> на конечном промежутке времени[to, L]:
1) решение /> системы (2.1) остается в Gи функции h/> с точностью до величин порядка О(г) совпадают соответственно с функциями представляющими собой решениеследующей автономной системы не зависящих от е обыкновенных дифференциальныхуравнений, правые части которых выражаются через правые части системы (2.1):
/>
/> циал дуги фазовой траектории (2.3),интегрирование ведется при произвольно фиксированной паре
/>
Предполагаем, что решение системы
/>
(2.8)
имеет начальныезначения
2) Функции х (I, е), у (г, е) с точностью до величин порядка О (е) совпадают соответственнос функциями
/>
/>
/>
Здесь ф0определяется из соотношений постоянная величина, v (t, e) — решение уравнения:
/>
Доказательство. Прежде всего установим ряд свойств решения (2.6)системы (2.2), имеющих место при тех требованиях гладкости, которые указаны в формулировкетеоремы 1.
Свойство 1. Периодом решения (2.6) является функция
/>
/>следовательно, эта функция непрерывна в Gh вместе со всеми своимичастными производными до второго порядка включительно. Действительно, из (2.2)следует соотношение интегрирование которого дает формулу (2.9). Из указанной вусловиях теоремы гладкости функций
/>
следует соответствующая гладкость функции Т(h, z) в Gh.
Свойство 2. Функции /> определены и непрерывны в области— /> вместесо всеми своими частными производными до второго порядка включительно.
В самом деле, в силу указанной гладкости правых частей системы(2.2), из (2.5), по теореме о неявных функциях, следует, что функции а (/г, z), Р (/г, z) непрерывны в Ghвместе со всеми своимичастными производными до второго порядка включительно. Далее, из теорем осуществовании и единственности, о непрерывности и непрерывнойдифференцируемости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений поначальным значениям и по параметрам следует, что функции /> вместе со всеми своимичастными производными до второго порядка включительно, непрерывны в области — />. Следовательно,функции /> обладаютсвойством 2 как сложные функции.!
Свойство 3. Пусть D— некотораяограниченная замкнутая об
ласть, содержащаяся в Gh. Тогда на множестве — /> функции /> вместе совсеми своими частными производными до второго порядка включительно ограничены.
Свойство 3 является следствием свойства 2, так как периодичность функций/> позволяетрассматривать их в замкнутой и ограниченной области
/>
Свойство 4.
/>
так как решение (2.6) описывает фазовую траекторию (2.3).Дифференцирование соотношения (2.10) по Zjдает Свойство 5.
(2.10)
/>
где
(2.11)
/>
/>
/>
Свойство 6.
(2.12)
/>
/>
Свойство 8, Для любой функции y(х, у, z), непрерывной в G, справедливоравенство
/>
где
/>
/>
и интегрирование ведется при произвольно фиксированных
/>
Действительно, вдоль траекторий (2.3), в силу (2.7) и свойства 6,имеем:
/>
что дает:
/>
Перейдем к непосредственному изучению системы (2.1). Заменимпеременные х, 2/,%,..., Ziпеременными ф, /?, z,,..., z\ по формуле:
/>
что, в силу (2.10), дает:
/>
Преобразование (2.13) — невырожденное в рассматриваемой областипоскольку там
/>
(см. свойство7). В силу (2.12), замена (2.13) переводит систему (2.1) в следующую:
/>
Система (2.14) является линейной алгебраической по отношению к функциям
/>
с определителем
/>
и поэтому онаединственным образом разрешима относительно этих функций. По правилу Крамера имеем:
/>
или, в силусвойств 7, 6, 5:
/>
/>
Пусть при
/>
/>
Из последнего соотношения следует:
/>
/>
/>
/>
Так как в противном случае
что противоречит определению
/>
Оценим
/>
В силу (2.19), (2.20) и (2.22),
или, по формуле конечных приращений,
/>
(применимость формулы конечных приращений следует из (2.24)).Следовательно, в силу ограниченности функций w(v), В (φ, v, е) и всех их частныхпроизводных в области значений, по (2.33), (2.34) имеем:
/>
Поэтому
/>
Из (2.36) следует:
/>
Соотношения (2.33), (2.34), (2.37), (2.38) полностью доказываюттеорему об усреднении (м° = max (М5, Мв), е0= min(a,^)).
Вернемся к доказательству теоремы 1. Так как система (2.15) типа(2.19), то, по теореме об усреднении, существует число е0> 0такое, что при любых eg (0, е0], t6 [*> L] решение {ф (t, е), h(t, е), z(t, г)} системы (2.15) сначальными условиями
/>
и решение {ф (t, e), h(t), z(t)} усредненной системы (2.17)с теми же начальными условиями
/>
связаны следующим образом: точка {h(t, e), z(t, г)} остается в некоторой ивыполняются соотношения:
/>
/>
/>
окрестность решения)). А так как, по (2.13),
/>
/>
и так как точка {h(£, е), z(t, е)} остается в GhpCZ Gh, то на отрезке [tQ, L] при любом 8 g (0, е0]решение {х (t, е),?/ (£, е), z (£, г)} системы(2.1) остается в G, причем, по свойству 3,
В силу же (2.13),
/>
и потому соотношения (2.39), (2.40) доказывают первую частьтеоремы 1. Докажем вторую часть теоремы 1. По формуле конечных приращений, из (2.41)получаем:
/>
Возникает вопрос, как ведут себя решения системы (2.1) во всейуказанной окрестности Go (включая и положения равновесия {/ (z), g(z), z} системы (2.3)). На этотвопрос отвечают теорема 1 и нижеследующие теоремы 2 и 3.
ТЕОРЕМА 2. Пусть в окрестности Goвыполнены условиятеоремы 1,касающиеся гладкости правых частей системы (2.1). Тогда найдетсячисло 8° у> О, такое, что при любом г £ (0, е°] (е°а) на конечном промежутке времени [to,L] решение {х (t, е), у (t, е), z(t, г)} системы (2.1) с начальнымиусловиями вырожденной системы
/>
/>
/>
остается в Goи с точностью до величин порядка О (г) совпадаетс решением
проходящим при t— toчерез то же положениеравновесия
(предполагается, что решение {х (t), у (t), z(t)} остается в Gна [t, L]). Доказательство. Ненарушая общности рассуждений, будем считать, что в Go
/>
1 1 так как замена переменных х, у, zx,..., ztна х, у, z1?… z> и Н
на Я1, где
/>
/>
сохраняет видсистемы (2.1), но дает условия (2.54). Следовательно, в силу.
Это решение на конечном промежутке времени [t, L] составляет некоторое замкнутоеограниченное множество FQCZ Gи поэтому найдется ро> 0 такое, что G00 С G(GQ— р0-окрестностьF).
/>
/>
Положим
/>
В силу (2.56) и (2.1), вдоль решения {х (£, е), у(t, е), z(t, &)} имеем:
/>
Следовательно, по формуле Тейлора, примененной к функциям
/>
относительно х, у в G00, в силу (2.54), (2.58),получим на [t, t^ (г)]:
/>
(формула Тейлора применима в G00 относительно х, у, таккак прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки (я, у, z) и (0, 0, z) из Goo, содержится в Goo, поскольку каждоесечение области G00 плоскостью z= const представляет собой круг с центром в точке (0, 0,z), по определению Goo).
Функция О2 (х, у, е), в силу указанной вусловиях теоремы гладкости правых частей системы (2.1), является однороднойквадратичной относительно х, у, е с ограниченными в Goo коэффициентами, и поэтому
/>
/>
постояннаявеличина).
С другой стороны, по формуле Тейлора, в силу (2.54) имеем в G00
/>
/>
и так как при (х, у, z)
/>
то соотношение (2.61), в силу (2.57), дает на [£0,t(е)]:
/>
Но, по (2.56) — (2.58) и (2.63),
/>
/>
/>
Соотношения
дают:
/>
/>
откуда следует, что на отрезке
/>
Но так как, в силу
/>
/>
т. е. окончательно, по (2.64), (2.67),
/>
2. Регулярныевозмущения.
2.1Асимптотические методы
Пусть заданобанахово пространство /> и отображение />.
Определение. Будем ряд /> называть асимптотическимрядом для функции />, если для любого/> найдутся числа /> и /> такие, что
/> при /> (2.1)
Пример 1. Если функция /> имеет производные всех порядковв точке />, то справедливо формулаТейлора
/> (2.2)
Ряд Тейлора /> может расходиться на любомотрезке />, но он будетасимптотическим рядом для функции />.Действительно,
/> (2.3)
Пример 2. Рассмотрим функцию
/>
Интегрируя почастям, получаем
/>
Такимобразом,
/>
Ряд /> расходится при любом />, но являетсяасимптотическим для функции />, таккак
/>
Замечание.Асимптотический рядможет быть полезен при вычислении значений функции при малых или большихзначениях параметра.
Рассмотримфункцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при />
/>
Вычисляячастичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности />, получаем первые 20 чисел
0.0015633, -0.0004366,0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,
-0.000186, 0.0000177,-0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,
0.0000793, -0.0001299,0.0002257, -0.0004145, 0.0008020
Наилучшееприближение дает девятая частичная сумма.
На рис. 1изображен графически характер приближения частичных сумм к значению/>. На горизонтали осиоткладывается номер />, по вертикаличастичная сумма />.
/>
рис. 1
Пусть />банаховы пространства /> и при />/> заданосемейство операторов />. Рассмотрим при /> уравнение />. Допустим, что этоуравнение при каждом /> имеетединственное решение />. Уравнение /> будем называть вырожденным.Допустим, что вырожденное уравнение имеет единственное решение />. Будем говорить, чтовырождение регулярное, если
/> при /> (2.4)
Если (18.4)не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.
Распространенаеще и такая терминология: Уравнение /> называютуравнением возмущений для уравнения />.Если условие (2.4) выполнено, то говорят о регулярныхвозмущениях. В противном случае речь идет о сингулярныхвозмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики.В следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях дляобыкновенных дифференциальных уравнений.
2.2 Регулярные возмущениярешений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотримзадачу Коши />
/> (2.2.1)
Функция /> непрерывна по переменной /> и бесконечно дифференцируемаяпо переменным /> и /> при />, />, />.
Предполагается,что вырожденная задача />
/> (2.2.2)
имеетединственное решение при />, причем/>.
Полагая
/> (2.2.3)
ивоспользовавшись тем, что функция />удовлетворяетуравнению (2.2.2) запишем систему уравнений для функции /> в виде
/> (2.2.4)
где
/> (2.2.5)
/> (2.2.6)
Будем искатьрешение задачи Коши (2.1.4) в виде формального ряда по степеням малогопараметра />
/> (2.2.7)
Дляопределения неизвестных функций /> получаемрекуррентную систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)
/> (2.2.8)
/>
Уравнение(2.2.8) называют уравнением в вариациях.
Вычислим двепервых функции />
/>
/> (2.2.9)
Подставляяразложения (2.2.7) и (2.2.8) в уравнения (2.2.4), получаем рекуррентную системууравнений
/> (2.2.10)
Все уравнения(2.2.4) имеют одинаковую структуру
/>, /> (2.1.11)
Столбцы фундаментальнойматрицы /> образуютфундаментальную систему решений. При помощи формулы Коши получимрешение в виде
/> (2.2.12)
Линейныйоператор />
/> (2.2.13)
Покажем, чторяд (2.2.3) асимптотический для решения />.Положим
/> (2.2.14)
Применяяформулу Тейлора, получаем
/>(2.2.15)
где функции /> те же, что и в формуле(19.8), а
/> (2.2.16)
Подставляяпредставление (2.2.14) в уравнение (2.2.4), воспользовавшись представлением(2.2.15) и формулами (2.2.8), получаем уравнение для функции />.
/> (2.2.17)
где
/> (2.2.18)
Из формулы (2.2.6)получаем
/>
и формула(2.2.18) может быть записана в виде
/> (2.2.19)
Так каквторые производные функции /> ограничены,то функция /> удовлетворяет условиюЛипшица и
/> (2.2.20)
Вспоминаяопределение оператора />, получаемфункциональное уравнение
/> (2.2.21)
Используяпринцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (2.1.21) при /> имеет единственноерешение, и справедливо неравенство />. Темсамым будет доказано, что ряд /> являетсяасимптотическим рядом для функции />,являющейся решением задачи Коши (2.2.1).
Пусть />. Так как частныепроизводные равномерно непрерывны, то из (2.2.17)- (2.2.20) получаем оценки
/>
при />. Таким образом, шаррадиуса /> отображается в себя при/>.
Используя (2.2.20), получаем
/>
Используяравномерную непрерывность частных производных, получаем
/>
/>
Уменьшая,если нужно, /> получаем, что при /> оператор /> является операторомсжатия. Следовательно,
/>
и ряд />асимптотический для решения/> задачи Коши (2.1.1).
2.3 Существование решении возмущенной задачи
Результаты, полученные обладают той особенностью, чтосправедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте[0,T], определяемом свойствамиправой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью какневозмущенного, так и возмущенного уравнений.
Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущеннойзадачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области Gпространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T.Величину T в данном случае можно,например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточномалых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле(1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 1.2. Пусть в области
/>
/> непрерывны и равномерноограничены:
/>
Пусть решение y(t) задачи (2.3.2) существует,единственно на [0,T] и принадлежит />. Тогда при каждомдостаточно малом μ решение y(t,μ) задачи (2.3.1) такжесуществует, единственно на [0,T] принадлежит G, и имеет месторавномерный относительно />предельный переход
/> (2.3.8)
Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции />. Имеем
/>
Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению
/> (2.3.9)
где /> причем />. Здесь и в
дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будемобозначать
ω(μ), ω1(μ) и т. д. Применим куравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует насегменте [0, Т] и />.Это очевидно, равносильно утверждениютеоремы 1.2.
Построим последовательные приближения обычным образом
/>
Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для /> кривая />, где />при достаточно маломμ. также принадлежит G для />
Положим />Тогда
/> (2.3.10)
|
В равномерной сходимости последовательности (k)▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9)можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появитьсяравенство. Поэтому />, что равносильно (2.3.8).
Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, ноаналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y— вектор.
2.3.2 Теорема2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении,во и в начальных условиях, т. е. имеет вид
/>
Литература
1. Понтрягин Л.С.Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малымпараметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем,21(1957), 605—626.
2. Мищенко Е.Ф.,Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкиек разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.
3. Мищенко Е.Ф.,Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальныхуравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР,серия матем., 21 (1957), 627—654.
4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С.Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений смалым параметром пр" производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем.,23(1959), 643—660.
5. Тихонов А. И-,Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных,Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.
6. Боголюбов Н.И.,Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва,1955.
7. Митропольскнй Ю.А.,Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.