--PAGE_BREAK--
Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор
Решение.
Для вывода уравнения плоскости возьмем на этой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами. Получим вектор
По условию
Ответ:
Пример 2. Даны две точки М1(3; -1; 2) М2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно вектору
Решение.
По условию вектор является нормальным вектором искомой плоскости Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору есть или
Ответ:
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам и
Решение.
Отложим векторы и в плоскости, проходящей через точку М1, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.
Получим, что три вектора , лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.
Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.
Ответ:
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору
Решение.
Отложим вектор и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М1 и М2.
Получим компланарные векторы Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь:
или
Ответ:
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).
Решение.
Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы
Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
или
Ответ:
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -2; 7) параллельно плоскости
Решение.
Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору
Ответ:
Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям и , то нормальные векторы и и вектор (М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно, или
Ответ:
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(1; -1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости , то нормальный вектор отложим в плоскости точек М1 и М2.
Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:
Три вектора и — компланарны, поэтому или
Ответ:
Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М2(1; 4; 3).
Решение.
Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде . Плоскость проходит через точку М2(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , к=-3,
Ответ:
Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(7; 2; -3) и М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох.
Решение.
Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид: (коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: Так как эта плоскость проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений:
Þ
Тогда или
Ответ:
Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
Решение.
Рассмотрим векторы , ,.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.
Тогда
Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.
Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.
Решение.
Уравнение плоскости в отрезках: По условию а=b
=
c
>0. Тогда уравнение плоскости можно записать Так как точка М1(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а, а=9. Следовательно,
Ответ:
Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей параллельно вектору
Решение.
Векторы и — нормальные векторы данных плоскостей.
Найдем их векторное произведение:
В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор
Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М1(х; у; 0), тогда
ÛМ1().
Так как векторы компланарны, то Þ
Ответ:
Прямая и плоскость в пространстве
1) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(x; y; z) параллельно направляющему вектору
2) уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2);
3) уравнения параметрическое уравнение прямой в пространстве.
4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями
L1: ,
L2: .
За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами :
, или в координатной форме
.
5) условие перпендикулярности двух прямых L1и L2.
6) условие параллельности двух прямых L1и L2в пространстве.
7) Общие уравнения прямой в пространстве
где коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:
L1: , L2: .
Решение.
Обозначим точки, через которые проходят прямые L1 и L2— М1(2; -1; 3) и М2(1; 2; -3). Им соответствует вектор
Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор . Таким образом, три вектора и направляющий вектор прямой
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем или
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости
Решение.
, . Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости:
Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.
Ответ:
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 2; -3) параллельно прямым , .
Решение.
Отложим в искомой плоскости точки М1(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы , .
Тогда три вектора и будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: , т.е.
Ответ:
Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно прямой .
Решение.
Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы и будут коллинеарные, т.е. . Отсюда получаем
Ответ:
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -2; 1) и прямую
Решение.
По уравнениям данной прямой находим точку прямой М2(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой .
Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости: , .
По условию компланарности трех векторов имеем:
или
Ответ:
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости
Решение.
Три вектора , компланарны только тогда, когда или
Ответ:
Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; -2; 1) перпендикулярно прямой
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором в одной плоскости. Следовательно, векторы , , компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем:
или
Ответ:
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 1; -1) и М2(3; 4; 1) параллельно прямой .
Решение.
Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор .
Векторы , , и компланарны. По условию компланарности трех векторов , , имеем:
или
Ответ:
Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0(2; 3; 1) на плоскость
Решение.
Нормальный вектор данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М0(2; 3; 1). Её уравнение
Ответ: .
Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М1(3; 2; 1) на прямую .
Решение.
1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору — направляющему вектору прямой):
или
2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М2(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М1(3; 2; 1) и М2(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой . Имеем . Следовательно, уравнение второй плоскости
или
Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения и будут уравнениями прямой l– искомого перпендикуляра.
Ответ:
Пример 11.Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-4; 3; 0) и параллельно прямой
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой ,
Тогда уравнение искомой прямой есть .
Ответ: .
Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М0(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым и .
Решение.
Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.
Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:
Ответ:
Пример 13. Задана плоскость Р: и прямая L: , причем LÎР.
Требуется найти:
a) угол между прямой и плоскостью;
b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.
Решение.
a) ,, ,
b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
, или параметрически х=1, у=2t, z=t-1.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х=1, у=-6, z=-4.
Ответ: а) b) (1; -6; -4).
Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:
Решение.
Найдем направляющие векторы данных прямых
,
Ответ:
Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость
Решение.
8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости
Получим .
9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставимх=t+4, у=2t, z=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.
10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х0=5, у0=-1, z
=0.
Ответ: (5; -1; 0). продолжение
--PAGE_BREAK--