Содержание
Введение
§1. Характеры Дирихле и L-функцииДирихле
§2. Функция θ(x,χ), её функциональное уравнение
§3. Аналитическоепродолжение L-функции Дирихлена комплексную плоскость
§4.Функциональноеуравнение для L-функции Дирихле.Тривиальные нули L-функции Дирихле
§5.Нетривиальные нули L-функции Дирихле
5.1Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
5.2О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функцииДирихле 12
§6. Обобщенная гипотеза Римана
Библиографический список
Введение
Теория L-функцийДирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитическойтеории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функцийДирихле.
В аналитической теориичисел L-функция Дирихле играеттакую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именнозадач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях ив задачах, связанных с оценками арифметических сумм.
Предметом исследованияданной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результатыГурвица о выводе функционального уравнения для L-функцииДирихле и как следствие, показать, что L-функцииДирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел варифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А.Гурвицем.
В данной курсовойработе изложение материала отражает основные свойства L-функцийДирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функцийДирихле.
В заключении даннойработы приводится гипотеза о распределении нулейдзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Риманавходит в список семи «проблем тысячелетия».
§1.Характеры Дирихле и L-функцииДирихле
Преждевсего определим характеры по модулю k,равномустепени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры попроизвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равномустепени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.
Пустьk=ра, гдер> 2 — простое число, α≥1.Какизвестно, по модулю kсуществуютпервообразные корни, и пусть g—наименьший из них. Через indn будемобозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю kприосновании g, т.е. число γ = γ(п) = indn такое,что
/>(modk).
Определение1.1. Характером по модулю k=ра, р>2 — простое, α≥ 1, называется конечнозначнаямультипликативная периодическая функция χ(n),областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что
/>
где т — целое число.
Из определения характера видно, чтофункция />зависит отпараметра т, является периодической по т с периодом φ(k),т. е. существует, вообще говоря, φ(k)характеров по модулю k,которыеполучаются, если брать т равным 0, 1, ..., φ(k)- 1.
Пусть теперь k=2α, α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п/>существует система индексов γ0= γ0(п)и γ1 = γ1(n)помодулю k, т. е. такие числа γ0и γ1, что
/>
Такимобразом, числа γ0и γ1 определяются с точностьюдо слагаемых, кратных соответственно 2 и 2α-2.
Определение1.2. Характером по модулю к = 2α, α≥1, называетсяфункция /> областьюопределения которой является множество целых чисел п, определенная одной изследующих формул:
/>
/>
Гдеm0, m1целые числа.
Изопределения 1.2. видно, что функция /> зависитот параметров т0и m1являетсяпериодической по m0и m1,с периодами соответственно 2 и 2α-2 т. е. существует, вообщеговоря, φ(k), =
Ввидутого, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом,равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственносистема индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственносумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ(п):
1. /> по модулю k—периодическая с периодом kфункция, т. е.
/>;
2./>—мультипликативнаяфункция, т. е. />
Очевиднотакже, что
χ(1)= 1.
L-ряды Дирихле — функциикомплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле приисследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметическихпрогрессиях. Везде ниже под L-рядомбудем понимать L-ряд Дирихле.
Пустьk —натуральное число и χ — какой-либо характер по модулю k.
Определение1.3. L-функцией называется рядДирихле вида:
/>
Ввидутого, что|χ(n)|≤1,следует аналитичность L(s,χ) вполуплоскости Res>l.Для L(s,χ) имеетместо аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).
Лемма1.1. При Res > 1справедливо равенство
/>
Доказательство.При X > 1рассмотрим функцию
/>
Таккак Res > 1,то
/>
следовательно,
/>
(воспользовалисьмультипликативностью χ(n)и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,
/>
гдеσ=Res>l.Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.
Из(1) находим
/>
/>
т.е. L(s,χ)≠0 при Res>l.Если характер χ по модулю kявляетсяглавным, то L(s,χ) лишьпростым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).
Лемма1.2. Пусть χ(n) = χ0(n) по модулю k.Тогда при Res> 1
/>
Доказательстволеммы следует из (6) и определения главного характера χ0(n).
Следствие.L(s,χ)— аналитическая функция во всей s-плоскости,за исключением точки s= 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным
/>
Еслихарактер χ(n) являетсяпроизводным, aχ1(n)—примитивный характер по модулю k1,kt\k,отвечающийχ(n), тоL(s,χ)лишьпростым множителем отличается от L(s,χ1).
Лемма1.3. Пусть χ1— примитивный характер по модулю k1и χ — индуцированный χ1 производныйхарактер по модулю k, kt≠k. Тогда при Res >1
/>
Доказательстволеммы следует из (1) и свойств χ1 и χ.
Функцию L(s,χ) можно продолжить в полуплоскость Res >1
Лемма1.4. Пусть χ≠χ0, тогда при Res>0 справедливо равенство
/>
Где
/>
Доказательство.Пусть N ≥1, Res>l.Применяя преобразование Абеля, будем иметь
/>
Где
/>
Переходяк пределу N → +∞, получим (8) при Res>l.Но |S(x)|≤φ(k);поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Res >0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.
§2. Функция θ(x,χ), её функциональное уравнение
Функциональноеуравнение будет получено для L(s,χ)спримитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s,χ) будетпродолжена на всю s-плоскость прилюбом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным илинечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=–1
Преждечем вывести функциональное уравнение для L(s,χ)и продолжить L(s,χ)на всю s-плоскость, докажем вспомогательноеутверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).
Лемма2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k.Для четного характера χопределим функцию θ (x,χ) равенством
/>
адля нечетного характера х определим функцию θ1(x,χ) равенством
/>
Тогдадля введенных функций θ (x,χ) и θ1(x,χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):
/>
/>
гдеτ(χ) —сумма Гаусса.
Доказательство.Воспользуемся доказанным в лемме 3, IVравенством
/>
гдеx > 0, α — вещественное.
Имеем
/>
/>
чтодоказывает равенство (6).
Чтобыдоказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим xна х/к, α на m/k(указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся послеэтого ряды равномерно сходятся). Получим
/>
Отсюда,как и выше, выводим
/>
/>
/>
Леммадоказана.
§3. Аналитическоепродолжение L-функцииДирихлена комплексную плоскость
Получим аналитическоепродолжение функции L(s,χ) в область Res >0.
Лемма 3.1.Пусть χ(n)– неглавный характер по модулю m,
/>
Тогда при Res > 1 справедливо равенство
/>
Доказательство.Пусть N≥1, Res >1. Применяя частноесуммирование, будем иметь
/>
Гдеc(x)=S(x)-1.Так как |c(x)|≤x, то, переходя к пределу N/>, получим
/>
Чтои требовалось доказать.
§4.Функциональноеуравнение для L-функцииДирихле. Тривиальные нули L-функцииДирихле
Теорема4.1. (функциональное уравнение). Пусть χ— примитивный характер по модулю k,
/>
/>
Тогдасправедливо равенство
/>
Доказательство,по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции(теорема 1, IV).
Предположим,что χ(-1)=+1. Имеем
/>
Умножаяпоследнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1получим
/>
Ввидутого, что χ — четный характер, имеем
/>
/>
Разбиваяпоследний интеграл на два, производя в одном из них замену переменнойинтегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем
/>
/>
Праваячасть этого равенства является аналитической функцией при любом sи,следовательно, дает аналитическое продолжение L(s,χ) навсю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0,то L(s,χ) — регулярная всюду функция. Далее, при замене sна 1 — sиχ на />, правая часть(10) умножается на />, таккак χ(— 1)=1 и,следовательно, τ(χ)τ(/>)= τ(χ)/>= k.Отсюдаполучаем утверждение теоремы при δ = 0.
Предположим,что χ(—1) = —1. Имеем
/>
Следовательно,при Res > 1
/>
Последнееравенство дает регулярное продолжение L(s,χ) на всю s-плоскость;правая часть его при замене sна 1 — s и χ на/>, умножается на i/> ввидутого, что
τ(χ)τ(/>)= —k.
Отсюдаполучаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.
Следствие.L(s,χ) —целая функция; если χ(—1) = +1, то единственными нулями L(s,χ) при Res ≤0 являются полюсы Г />, т. е. точки s= 0,—2, —4, ...;
еслиχ (—1) = —1, тоединственными нулями L(s,χ) приRe s≤0 являются полюсы Г /> т. е. точки s= —1, —3, —5,… .
дирихле тривиальный вейерштрасс риман
§5.Нетривиальные нули L-функцииДирихле
Тривиальныенули L-функции Дирихле
ξ(s,χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s,χ) при Res≤0 являются полюсы />, т. е. точки s=0,—2. —4, ...; если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s,χ) при Res≤0 являются полюсы /> т.е. точки s= —1,-3, -5,… .
5.1ТеоремаВейерштрасса о разложении в произведение целых функций
Теорема5.1. Пусть a1,..., ап,… — бесконечная последовательностькомплексных чисел, причем
0
Иlim/> =0.
Тогдасуществует целая функция G(s),которая имеет своими нулями только числа ап (если среди апесть равные, то нуль G(s)будет иметь соответствующую кратность).
Следствие5.1. Пусть последовательность чисел a1,..., ап,… удовлетворяет условиям теоремы 5.1.,и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд
/>
Тогдафункция G1(s),
/>
удовлетворяеттеореме5. 1.
Теорема5.2. Каждая целая функция G(s)может быть представлена в виде
/>
гдеH(s)—целая функция, а числа 0, a1,a2,..., а…,-— нули G(s),расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того,последовательность аn, п =1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то
/>
Доказательство.Нули G(s)немогут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастаниямодулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1(s), имеющую своими нулями нули G(s).Полагая
/> при s≠an,
/>
видим, что φ(s)— целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s)— целая функция. Но тогда φ(s)= eH(s),гдеH(s)—целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теоремадоказана.
Теорема5.3. Пусть G(s)—целая функция конечного порядка α и G(0)≠0,sn—последовательность всех нулей G(s),причем 0
/>
Гдеp≥0— наименьшее целое число,для которого
/>
g(s)—многочлен степени g≤αи α = max(g, β) Если, кроме того, длялюбого с > 0 найдется бесконечная последовательность r1,r2,...,rn, ..., rn/> +∞, такая,что
max |G(s)|>/>,|s| = rn, n = 1, 2, …,
тоα=β и ряд/> расходится.
5.2О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функцииДирихле
Изследствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s,χ), χ—примитивный характер, имеет в полуплоскости Res или /> называютсятривиальными; тривиальным также называется нуль s= 0. Кроме тривиальных функция L(s,χ) имеетподобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе(критическая полоса) 0 ≤ Res ≤1.
Теорема5.1. Пусть χ—примитивный характер. Тогда функция ξ(s,χ) является целойфункцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρnтаких,что 0≤Reρn≤1, ρn≠0,причем ряд />расходится, аряд
/>
сходитсяпри любом ε > 0. Нули ξ(s,χ) являютсянетривиальными нулями L(s,χ).
Доказательство.При Re≥1/2
/>
/>
Последняяоценка |ξ(s,χ)| всилу функционального уравнения (9) из §4 и равенства
/>
справедлива также при Res+∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s,χ)≠0 приRe s>l,то из
/>
следует, что ξ(s,χ) ≠0при Res
§6. Обобщенная гипотезаРимана
Функцияζ(s) определена для всех комплексных s≠1, и имеет нули для отрицательных целых s= —2,—4, —6… Из функционального уравнения
/>,
иявного выражения
/>
приRe s>1следует, что все остальные нули, т.е. нетривиальные, расположены в полосе 0≤Res ≤1 симметрично относительно критической линии />. ГипотезаРимана утверждает, что:
Все нетривиальные нулидзета-функции имеют действительную часть, равную />.
Обобщённая гипотезаРимана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, тоесть L-функций Дирихле
Библиографическийсписок
1. А.Л.Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.— М.: Наука. Главнаяредакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.
2. С.М.Воронин, А.А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994.-376с.