Алгебраическое доказательство теоремы пифагора
Теорема Пифагораформулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадратгипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2=А2+ В2, /1/
где: С — гипотенуза;
А и В — катеты.
Существуютпрямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целымичислами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматриваяуравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, чтосуществует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых ихстороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечноеколичество решений в целых числах.
Суть теоремыПифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А2 =С2 -В2 /2/
Длядоказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известныев математике метода решения алгебраических уравнений: метод решенияпараметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение/2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром Aи переменными B и С. Уравнение/2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чиселзапишем в виде:
А2=(C-B) (C+B) /3/
Используяметод замены переменных, обозначим:
C-B=M /4/
Из уравнения/4/ имеем:
C=B+M /5/
Из уравнений/3/, /4/ и /5/ имеем:
А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2/6/
Из уравнения/6/ имеем:
А2 — M2=2BM /7/
Отсюда: B =/> /8/
Из уравнений/5/ и /8/ имеем:
C= /> /9/
Такимобразом:
B =/> /10/
C /> /11/
Из уравнений/8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми,является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним измножителей, входящих в состав множителей числа А или A2.
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /10/и /11/ определяются числа B и Cкак переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.
Изизложенного следует:
Квадратпростого числа A равен разностиквадратов одной пары чисел B и C(при M=1).
Квадратсоставного числа A равен разностиквадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.
Все числаявляются пифагоровыми.
Такимобразом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и,следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которыхстороны А, В и С выражаются целыми числами.