Функціональне відображення поведінки споживача
1. Геометричне подання зміни попиту при зміні доходу й цін
Припустимо змінюється доход (/>). Його збільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності />. Нехай цими точками є точки />, />, />, /> на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву />. Така крива називається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.
/>/>
Рисунок 1. Рисунок 2
Припустимо, що змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2. Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)
/>.
Нехай /> зменшується. Тоді точка /> переходить у точку />, а точка /> – у точку /> – нову точку рівноваги, в якій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності />. Зменшимо ціну />. Тоді точка /> переміститься в точку />, а точка /> займе положення точки /> й т.д. З'єднавши точки />, />, />, />, /> одержимо криву ціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох товарів при зміні ціни />. На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається в точці />.
/>
Рисунок 3
Проаналізуємо більш детально процес переходу з точки />в точку />при зміні ціни />(рис. 4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через />, а змінену – через />. Проведемо пряму />паралельно прямій лінії цін />так, щоб вона мала точку дотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка />. Як у точці />, так й у точці />споживачеві забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривій байдужності. Перехід із точки />в />розглянемо поетапно: спочатку з />в точку />, потім із точки />у точку />. Перехід з А в точку В не супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту заміни. Перехід із точки />у точку />відповідає ефекту доходу й обумовлений зміною реального доходу при зміні цін.
/>
Рисунок 4
2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача
При будь-яких додатних цінах />і доході />розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.
Очевидно, що цей розв’язок залежить від />і />, тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту />або в розгорнутому вигляді:
/>.
Цей запис означає, що при цінах />і доході />вибирається споживчих благ у кількостях />.
Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін />й />: --PAGE_BREAK--
/>, де />.
Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.
Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів />і />. Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.
Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою />умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів />і оптимального множника Лагранжа />, тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту />та функції попиту та доходу/>. Поставимо />й />в
/>
або в розгорнутому вигляді
/>(1)
Позначимо /> і />.
Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів /> і />:
1. Розглянемо вплив зміни доходу /> на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по />, тоді одержимо
/>(2)
де /> і /> відображають ступінь чутливості стосовно зміни />.
Позначимо />, тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:
/>,
де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто
/>, де /> – вектор-рядок.
Припустимо, що />. Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні /> одержимо
/>
де /> – алгебраїчні доповнення елементів />, /> відповідно.
Якщо />, то />-й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли />/>-й товар називається малоцінним.
2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад />, на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по />, одержимо:
/>(3)
де /> – дельта Кронекера />. Запишемо систему (3) у такому вигляді:
/>.
Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто/>, тоді маємо при фіксованому /> такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького
/>
/>(4)
Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз />називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на />-й товар зміна попиту на />-й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на />-й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю />-го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).
Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх />та />таких, що />, тоді матриця />розміром />симетрична й від’ємно визначена, тобто />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Можна встановити властивості цієї матриці.
Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну />, яка є результатом варіації ціни />, за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення /> залишається незмінним.
При /> товари /> та /> прийнято вважати взаємозамінюючими, при /> – взаємодоповнюючими, а при /> – незалежними.
3 Коефіцієнт еластичності
Коефіцієнтом еластичності функції одного аргументу /> називається величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний приріст аргументу. Позначаючи еластичність через />, маємо за означенням
/>,
де /> – приріст аргументу;
/> – викликаний ним приріст функції.
Звичайно праву частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу на 1%.
При /> маємо
/>.
Якщо функція /> є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності
/>.
Функція попиту /> є векторною функцією, її можна розглядати як сукупність /> функцій попиту на окремі товари />, кожна з яких є функцією від /> змінної. Отже, для кожної з цих функцій існує /> частковий коефіцієнт еластичності.
Залежно від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.
Величини />, що показують, на скільки відсотків зміниться попит на />-й товар у розрахунку зміни ціни />-го товару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо /> – то перехресними коефіцієнтами).
Показники />, що характеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.
4 Алгоритми розв’язання задачі споживання
Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.
Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами полягає в тому, що, починаючи з деякої точки />, здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два класи.
До першого класу відносять методи, в яких точки />, що досліджуються, не виходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод Франка-Вульфа.
До другого класу методів відносять методи, під час використання яких досліджувані точки /> можуть як належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).
Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції в черговій точці /> не стане дорівнювати нулю або ж поки
/>,
де /> – достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.
Для чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції корисності /> за умови />.
Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного програмування.
Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:
1. Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить області припустимих розв’язків задачі.
2. Знайдемо градієнт цільової функції в точці />/>
/>.
3. Побудуємо лінійну функцію />
/>.
4. Знайдемо максимум /> при обмеженні />, тобто розв’яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор />, що доставляє максимум />.
5. Визначимо значення оптимального кроку обчислення /> за формулою
/>.
6. Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою
/>.
7. Знайдемо значення />, />.
8. Порівняємо отримані />, /> з точністю />. Якщо />, тоді /> і алгоритм переходить до пункту 2, якщо />, тоді отримано оптимальний розв’язок задачі /> і /> при />.