--PAGE_BREAK--Средняя арифметическая простая
Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.
Формула средней арифметической простой имеет вид:
,
где — средняя величина; х – значение осредняемого признака (варианта), — число единиц изучаемой совокупности.
Средняя арифметическая взвешенная
В отличие от простой средней средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого значения признака f≠1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:
,
где — число групп, х – значение осредняемого признака, f— вес значения признака (частота, если f– число единиц совокупности; частость, если f— доля единиц с вариантой х в общем объёме совокупности).
Средняя гармоническая
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей (т.е. тогда, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель).
Средняя гармоническая взвешенная
Произведение xfдаёт объём осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается w. Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объём осредняемого признака w, то для расчёта средней применяется гармоническая взвешенная:
,
где х – значение осредняемого признака х (варианта); w– вес варианты х, объем осредняемого признака.
Средняя гармоническая не взвешенная (простая)
Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:
,
где х – значение осредняемого признака; n– число значений х.
Т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.
На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения wдля единиц совокупности равны.
Средняя квадратическая и средняя кубическая
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной.
Средняя квадратическая простая
Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид:
,
где — квадрат значений осредняемого признака; — число единиц совокупности.
Средняя квадратическая взвешенная
Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается fраз:
,
где f– вес варианты х.
Средняя кубическая простая и взвешенная
Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:
,
где — значения признака, n— их число.
Средняя кубическая взвешенная:
,
где f-вес варианты х.
Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.
Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).
продолжение
--PAGE_BREAK--Средняя геометрическая
Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчёта применяют среднюю геометрическую.
Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:
где n— число вариантов; П — знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.
Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.
Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.
Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.
Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.
Практическое задание
Задача №1
Определить средний курс покупки и средний курс продажи одного и $ США
№ отд.банка
Покупка
Продажа
Курс руб.за$
Объем покупки в $
Курс руб. за $
Получено от продажи. руб.
1
28,2
12306
29,8
458175,0
2
27,9
14508
30,1
337270,5
3
28,1
12635
30,2
305110,6
4
27,8
15551
29,9
398178,3
Итого
112
55000
120
1498734,4
Средний курс покупки
Средний курс продажи
Задача №2
Динамика объема собственной продукции общественного питания Челябинской области за 1996-2004 года представлена в таблице в сопоставимых ценах (млн. руб.)
годы
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
А
1,36
1,45
1,67
1,82
2,04
В
3,06
3,34
3,63
3,96
4,41
С
2,04
2,175
2,505
2,73
1,5
3,34
3,63
3,96
4,41
Произвести смыкание рядов А и В. Для анализа ряда динамики производства готовой продукции вычислить:
продолжение
--PAGE_BREAK--1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста цепные и базисные 2. Среднегодовое производство готовой продукции 3. Среднегодовой темп роста и прироста продукции фирмы 4. Произвести аналитическое выравнивание ряда динамики и вычислить прогноз на 2005 год 5. Изобразить графически ряд динамики 6. Сделать вывод по результатам динамики
Годы
у
уiБ
уiЦ
Тр Б
Тр Ц
Тпр Б%
Тпр Ц%
1996
2,04
1997
2,175
0,135
0,135
1,066
1,066
6,6
6,6
1998
2,505
0,465
0,33
1,227
1,151
22,7
15,1
1999
2,73
0,69
0,225
1,338
1,089
33,8
8,9
2000
1,5
0,54
1,23
0,735
0,549
-26,5
-45,1
20001
3,34
1,3
1,84
1,637
2,226
63,7
122,6
2002
3,63
1,59
0,29
1,779
1,086
77,9
8,6
2003
3,96
1,92
0,33
1,941
1,090
94,1
9
2004
4,41
2,37
0,45
2,161
1,113
116,1
11,3
Итого:
26,29
–
4,83
–
–
–
–
1) уiБ= уi-у1 уiЦ = уi-у1
продолжение
--PAGE_BREAK--y2 Б = 2,175 – 2,04 y2 Ц = 2,175 – 2, 04 = 0,135
y3Б = 2,505 – 2,04 y3 Ц = 2, 505 – 2,175 = 0,33
y4 Б = 2,73– 2,04 y4 Ц = 2, 73 – 2,505 = 0,225
y5 Б = 1,5 – 2,04 y5 Ц = 1, 5 – 2,73 = 1,23
y6 Б = 3,34 – 2,04 y6 Ц = 3, 34 – 1,5 = 1,84
y7 Б = 3,6 3 – 2,04 y7 Ц = 3, 6 3 – 3,34 = 0,29
y8 Б = 3,96 – 2,04 y8 Ц = 3, 96 – 3,63 = 0,33
y9 Б = 4,41–2,04 y9 Ц = 4, 41 – 3,96 = 0,45
Тр Б Тр Ц
Тр Б2 Тр Ц2
Тр Б3 Тр Ц3
Тр Б4 Тр Ц4
Тр Б5 Тр Ц5
Тр Б6 Тр Ц6
Тр Б7 Тр Ц7
Тр Б8 Тр Ц8
Тр Б9 Тр Ц9
Тр Б = (ТпрБ *100%) – 100%
Тр Б2 = (1,066*100%) – 100% = 6,6%
Тр Ц3 = (1,151*100%) – 100% = 15,1%
2) yмлн.руб. – средняя производительность продукции
3) Тр
4)
Года
y
t
t2
yt
yt
(yt-y)
(yt-yt)
(y-yt)
1996
2,04
-4
16
-8,16
1,745
0,087
1,382
0,776
1997
2,175
-3
9
-6,525
2,039
0,018
0,777
0,556
1998
2,505
-2
4
-5,01
2,333
0,029
0,345
0,173
1999
2,73
-1
1
-2,73
2,627
0,010
0,086
0,036
2000
1,5
2,921
2,019
2,019
20001
3,34
1
1
3,34
3,215
0,015
0,086
0,175
2002
3,63
2
4
7,26
3,509
0,014
0,345
0,502
2003
3,96
3
9
11,88
3,803
0,024
0,777
1,079
2004
4,41
4
16
17,64
4,097
0,097
1,382
2,217
Итого:
26,29
–
60
17,695
26,29
2,313
5,18
7,533
2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745
2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039
(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087
(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382
(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776
Tp
Бy
15,6765,59
y2005=2,921+1,496*4=2,921+5,984=8,905
t2=2,306
8,905+2,306*1,496=12,354
8,905-2,306*1,496=5,456
5,456 2005 12,354
Задача №3
Статистические данные оптовых поставок продовольственных и непродовольственных и розничную торговую сеть области в 2003 и 2004 годах представлены в соответствующих графиках.
По данным таблицы 1 и 2 требуется
продолжение
--PAGE_BREAK--